Theorem zarcls1 31819

Description: The unit ideal 𝐵 is the only ideal whose closure in the Zariski topology is the empty set. Stronger form of the Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarcls1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarcls1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls1

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 766	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = ∅)
2		sseq2 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐼 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑚))
3		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
4	3	mxidlprm 31640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
5	4	ad5ant14 755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
6		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
7	2, 5, 6	elrabd 3626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
8		zarclsx.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
10		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑗))
11	10	rabbidv 3414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) ∧ 𝑖 = 𝐼) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
13		simp-4r 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14		fvex 6787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
15	14	rabex 5256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗} ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗} ∈ V)
17	9, 12, 13, 16	fvmptd 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → (𝑉‘𝐼) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
18	7, 17	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (𝑉‘𝐼))
19		ne0i 4268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑉‘𝐼) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
21		crngring 19795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22		zarcls1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
23	22	ssmxidl 31642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
24	23	3expa 1117	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
25	21, 24	sylanl1 677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
26	20, 25	r19.29a 3218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
27	26	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
28	27	neneqd 2948	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ¬ (𝑉‘𝐼) = ∅)
29	1, 28	pm2.65da 814	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) → ¬ 𝐼 ≠ 𝐵)
30		nne 2947	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ≠ 𝐵 ↔ 𝐼 = 𝐵)
31	29, 30	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) → 𝐼 = 𝐵)
32		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 𝐵 → (𝑉‘𝐼) = (𝑉‘𝐵))
33	32	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = (𝑉‘𝐵))
34	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
35		sseq1 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐵 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑗))
36	35	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑗))
37	36	rabbidv 3414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗})
38		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
39	38, 22	lidl1 20491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	14	rabex 5256	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} ∈ V)
42	34, 37, 39, 41	fvmptd 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘𝐵) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗})
43		prmidlidl 31619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	22, 38	lidlss 20481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
47		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝐵 ⊆ 𝑗)
48	46, 47	eqssd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 = 𝐵)
49		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
50	22, 49	prmidlnr 31614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ≠ 𝐵)
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 ≠ 𝐵)
52	51	neneqd 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → ¬ 𝑗 = 𝐵)
53	48, 52	pm2.65da 814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
54	53	ralrimiva 3103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
55		rabeq0 4318	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
56	54, 55	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} = ∅)
57	42, 56	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘𝐵) = ∅)
58	21, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑉‘𝐵) = ∅)
59	58	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐵) = ∅)
60	33, 59	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = ∅)
61	31, 60	impbida 798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  LSSumclsm 19239  mulGrpcmgp 19720  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  LIdealclidl 20432  PrmIdealcprmidl 31610  MaxIdealcmxidl 31631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-ac2 10219  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-rpss 7576  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-ac 9872  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-lpidl 20514  df-prmidl 31611  df-mxidl 31632

This theorem is referenced by:  zarclssn  31823  zartopn  31825  zarcmplem  31831