Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls1 32849
Description: The unit ideal 𝐡 is the only ideal whose closure in the Zariski topology is the empty set. Stronger form of the Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
zarcls1.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zarcls1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‰β€˜πΌ) = βˆ… ↔ 𝐼 = 𝐡))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls1
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…)
2 sseq2 4009 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘š β†’ (𝐼 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐼 βŠ† π‘š))
3 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
43mxidlprm 32586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ π‘š ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
54ad5ant14 757 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ π‘š ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
6 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ 𝐼 βŠ† π‘š)
72, 5, 6elrabd 3686 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ π‘š ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
8 zarclsx.1 . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
10 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐼 βŠ† 𝑗))
1110rabbidv 3441 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
1211adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
13 simp-4r 783 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
14 fvex 6905 . . . . . . . . . . . 12 (PrmIdealβ€˜π‘…) ∈ V
1514rabex 5333 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗} ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗} ∈ V)
179, 12, 13, 16fvmptd 7006 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
187, 17eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ π‘š ∈ (π‘‰β€˜πΌ))
19 ne0i 4335 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (π‘‰β€˜πΌ) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
21 crngring 20068 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22 zarcls1.1 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2322ssmxidl 32590 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)𝐼 βŠ† π‘š)
24233expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)𝐼 βŠ† π‘š)
2521, 24sylanl1 679 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)𝐼 βŠ† π‘š)
2620, 25r19.29a 3163 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
2726adantlr 714 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
2827neneqd 2946 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ Β¬ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…)
291, 28pm2.65da 816 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐼 β‰  𝐡)
30 nne 2945 . . 3 (Β¬ 𝐼 β‰  𝐡 ↔ 𝐼 = 𝐡)
3129, 30sylib 217 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) β†’ 𝐼 = 𝐡)
32 fveq2 6892 . . . 4 (𝐼 = 𝐡 β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = (π‘‰β€˜π΅))
3332adantl 483 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = (π‘‰β€˜π΅))
348a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
35 sseq1 4008 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐡 β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐡 βŠ† 𝑗))
3635adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐡) β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐡 βŠ† 𝑗))
3736rabbidv 3441 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐡) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗})
38 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
3938, 22lidl1 20845 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
4014rabex 5333 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} ∈ V)
4234, 37, 39, 41fvmptd 7006 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜π΅) = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗})
43 prmidlidl 32562 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
4422, 38lidlss 20833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
4645adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
47 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑗)
4846, 47eqssd 4000 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 = 𝐡)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5022, 49prmidlnr 32557 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 β‰  𝐡)
5150adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 β‰  𝐡)
5251neneqd 2946 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ Β¬ 𝑗 = 𝐡)
5348, 52pm2.65da 816 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ 𝐡 βŠ† 𝑗)
5453ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘— ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) Β¬ 𝐡 βŠ† 𝑗)
55 rabeq0 4385 . . . . . . 7 ({𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} = βˆ… ↔ βˆ€π‘— ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) Β¬ 𝐡 βŠ† 𝑗)
5654, 55sylibr 233 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} = βˆ…)
5742, 56eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜π΅) = βˆ…)
5821, 57syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘‰β€˜π΅) = βˆ…)
5958ad2antrr 725 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (π‘‰β€˜π΅) = βˆ…)
6033, 59eqtrd 2773 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…)
6131, 60impbida 800 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‰β€˜πΌ) = βˆ… ↔ 𝐼 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  LSSumclsm 19502  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  LIdealclidl 20783  PrmIdealcprmidl 32553  MaxIdealcmxidl 32575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-rpss 7713  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-lpidl 20881  df-prmidl 32554  df-mxidl 32576
This theorem is referenced by:  zarclssn  32853  zartopn  32855  zarcmplem  32861
  Copyright terms: Public domain W3C validator