Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls1 32837
Description: The unit ideal 𝐡 is the only ideal whose closure in the Zariski topology is the empty set. Stronger form of the Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
zarcls1.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zarcls1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‰β€˜πΌ) = βˆ… ↔ 𝐼 = 𝐡))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls1
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…)
2 sseq2 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘š β†’ (𝐼 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐼 βŠ† π‘š))
3 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
43mxidlprm 32574 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ π‘š ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
54ad5ant14 756 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ π‘š ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
6 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ 𝐼 βŠ† π‘š)
72, 5, 6elrabd 3684 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ π‘š ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
8 zarclsx.1 . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
10 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐼 βŠ† 𝑗))
1110rabbidv 3440 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
1211adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
13 simp-4r 782 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
14 fvex 6901 . . . . . . . . . . . 12 (PrmIdealβ€˜π‘…) ∈ V
1514rabex 5331 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗} ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗} ∈ V)
179, 12, 13, 16fvmptd 7002 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
187, 17eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ π‘š ∈ (π‘‰β€˜πΌ))
19 ne0i 4333 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (π‘‰β€˜πΌ) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
21 crngring 20061 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22 zarcls1.1 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2322ssmxidl 32578 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)𝐼 βŠ† π‘š)
24233expa 1118 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)𝐼 βŠ† π‘š)
2521, 24sylanl1 678 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)𝐼 βŠ† π‘š)
2620, 25r19.29a 3162 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
2726adantlr 713 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
2827neneqd 2945 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ Β¬ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…)
291, 28pm2.65da 815 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐼 β‰  𝐡)
30 nne 2944 . . 3 (Β¬ 𝐼 β‰  𝐡 ↔ 𝐼 = 𝐡)
3129, 30sylib 217 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) β†’ 𝐼 = 𝐡)
32 fveq2 6888 . . . 4 (𝐼 = 𝐡 β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = (π‘‰β€˜π΅))
3332adantl 482 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = (π‘‰β€˜π΅))
348a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
35 sseq1 4006 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐡 β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐡 βŠ† 𝑗))
3635adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐡) β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐡 βŠ† 𝑗))
3736rabbidv 3440 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐡) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗})
38 eqid 2732 . . . . . . . 8 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
3938, 22lidl1 20837 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
4014rabex 5331 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} ∈ V)
4234, 37, 39, 41fvmptd 7002 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜π΅) = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗})
43 prmidlidl 32550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
4422, 38lidlss 20825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
4645adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
47 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑗)
4846, 47eqssd 3998 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 = 𝐡)
49 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5022, 49prmidlnr 32545 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 β‰  𝐡)
5150adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 β‰  𝐡)
5251neneqd 2945 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ Β¬ 𝑗 = 𝐡)
5348, 52pm2.65da 815 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ 𝐡 βŠ† 𝑗)
5453ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘— ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) Β¬ 𝐡 βŠ† 𝑗)
55 rabeq0 4383 . . . . . . 7 ({𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} = βˆ… ↔ βˆ€π‘— ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) Β¬ 𝐡 βŠ† 𝑗)
5654, 55sylibr 233 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} = βˆ…)
5742, 56eqtrd 2772 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜π΅) = βˆ…)
5821, 57syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘‰β€˜π΅) = βˆ…)
5958ad2antrr 724 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (π‘‰β€˜π΅) = βˆ…)
6033, 59eqtrd 2772 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…)
6131, 60impbida 799 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‰β€˜πΌ) = βˆ… ↔ 𝐼 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  LSSumclsm 19496  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  LIdealclidl 20775  PrmIdealcprmidl 32541  MaxIdealcmxidl 32563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-lpidl 20873  df-prmidl 32542  df-mxidl 32564
This theorem is referenced by:  zarclssn  32841  zartopn  32843  zarcmplem  32849
  Copyright terms: Public domain W3C validator