Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls1 32490
Description: The unit ideal 𝐡 is the only ideal whose closure in the Zariski topology is the empty set. Stronger form of the Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
zarcls1.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zarcls1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‰β€˜πΌ) = βˆ… ↔ 𝐼 = 𝐡))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls1
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…)
2 sseq2 3975 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘š β†’ (𝐼 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐼 βŠ† π‘š))
3 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
43mxidlprm 32277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ π‘š ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
54ad5ant14 757 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ π‘š ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…))
6 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ 𝐼 βŠ† π‘š)
72, 5, 6elrabd 3652 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ π‘š ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
8 zarclsx.1 . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
10 sseq1 3974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐼 βŠ† 𝑗))
1110rabbidv 3418 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
1211adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
13 simp-4r 783 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
14 fvex 6860 . . . . . . . . . . . 12 (PrmIdealβ€˜π‘…) ∈ V
1514rabex 5294 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗} ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗} ∈ V)
179, 12, 13, 16fvmptd 6960 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐼 βŠ† 𝑗})
187, 17eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ π‘š ∈ (π‘‰β€˜πΌ))
19 ne0i 4299 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (π‘‰β€˜πΌ) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) ∧ π‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 βŠ† π‘š) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
21 crngring 19983 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22 zarcls1.1 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2322ssmxidl 32279 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)𝐼 βŠ† π‘š)
24233expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)𝐼 βŠ† π‘š)
2521, 24sylanl1 679 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)𝐼 βŠ† π‘š)
2620, 25r19.29a 3160 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
2726adantlr 714 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) β‰  βˆ…)
2827neneqd 2949 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) ∧ 𝐼 β‰  𝐡) β†’ Β¬ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…)
291, 28pm2.65da 816 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐼 β‰  𝐡)
30 nne 2948 . . 3 (Β¬ 𝐼 β‰  𝐡 ↔ 𝐼 = 𝐡)
3129, 30sylib 217 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…) β†’ 𝐼 = 𝐡)
32 fveq2 6847 . . . 4 (𝐼 = 𝐡 β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = (π‘‰β€˜π΅))
3332adantl 483 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = (π‘‰β€˜π΅))
348a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
35 sseq1 3974 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐡 β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐡 βŠ† 𝑗))
3635adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐡) β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ↔ 𝐡 βŠ† 𝑗))
3736rabbidv 3418 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐡) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗})
38 eqid 2737 . . . . . . . 8 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
3938, 22lidl1 20706 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
4014rabex 5294 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} ∈ V)
4234, 37, 39, 41fvmptd 6960 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜π΅) = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗})
43 prmidlidl 32256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
4422, 38lidlss 20696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
4645adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
47 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑗)
4846, 47eqssd 3966 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 = 𝐡)
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5022, 49prmidlnr 32251 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 β‰  𝐡)
5150adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 β‰  𝐡)
5251neneqd 2949 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑗) β†’ Β¬ 𝑗 = 𝐡)
5348, 52pm2.65da 816 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ 𝐡 βŠ† 𝑗)
5453ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘— ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) Β¬ 𝐡 βŠ† 𝑗)
55 rabeq0 4349 . . . . . . 7 ({𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} = βˆ… ↔ βˆ€π‘— ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) Β¬ 𝐡 βŠ† 𝑗)
5654, 55sylibr 233 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝐡 βŠ† 𝑗} = βˆ…)
5742, 56eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜π΅) = βˆ…)
5821, 57syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘‰β€˜π΅) = βˆ…)
5958ad2antrr 725 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (π‘‰β€˜π΅) = βˆ…)
6033, 59eqtrd 2777 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (π‘‰β€˜πΌ) = βˆ…)
6131, 60impbida 800 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‰β€˜πΌ) = βˆ… ↔ 𝐼 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  .rcmulr 17141  LSSumclsm 19423  mulGrpcmgp 19903  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  LIdealclidl 20647  PrmIdealcprmidl 32247  MaxIdealcmxidl 32268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-rpss 7665  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-lpidl 20729  df-prmidl 32248  df-mxidl 32269
This theorem is referenced by:  zarclssn  32494  zartopn  32496  zarcmplem  32502
  Copyright terms: Public domain W3C validator