Theorem zarcls1 34571

Description: The unit ideal 𝐵 is the only ideal whose closure in the Zariski topology is the empty set. Stronger form of the Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarcls1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarcls1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem zarcls1

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = ∅)
2		sseq2 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐼 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑚))
3		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
4	3	mxidlprm 34065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
5	4	ad5ant14 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
6		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
7	2, 5, 6	elrabd 3650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
8		zarclsx.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
10		sseq1 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑗))
11	10	rabbidv 3423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) ∧ 𝑖 = 𝐼) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
13		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14		fvex 6921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
15	14	rabex 5304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗} ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗} ∈ V)
17	9, 12, 13, 16	fvmptd 7024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → (𝑉‘𝐼) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
18	7, 17	eleqtrrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (𝑉‘𝐼))
19		ne0i 4290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑉‘𝐼) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
21		crngring 20502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22		zarcls1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
23	22	ssmxidl 34069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
24	23	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
25	21, 24	sylanl1 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
26	20, 25	r19.29a 3174	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
27	26	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
28	27	neneqd 2964	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ¬ (𝑉‘𝐼) = ∅)
29	1, 28	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) → ¬ 𝐼 ≠ 𝐵)
30		nne 2963	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ≠ 𝐵 ↔ 𝐼 = 𝐵)
31	29, 30	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) → 𝐼 = 𝐵)
32		fveq2 6908	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 𝐵 → (𝑉‘𝐼) = (𝑉‘𝐵))
33	32	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = (𝑉‘𝐵))
34	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
35		sseq1 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐵 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑗))
36	35	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑗))
37	36	rabbidv 3423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗})
38		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
39	38, 22	lidl1 21543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	14	rabex 5304	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} ∈ V)
42	34, 37, 39, 41	fvmptd 7024	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘𝐵) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗})
43		prmidlidl 21655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	22, 38	lidlss 21520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
47		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝐵 ⊆ 𝑗)
48	46, 47	eqssd 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 = 𝐵)
49		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
50	22, 49	prmidlnr 21650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ≠ 𝐵)
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 ≠ 𝐵)
52	51	neneqd 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → ¬ 𝑗 = 𝐵)
53	48, 52	pm2.65da 829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
54	53	ralrimiva 3158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
55		rabeq0 4341	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
56	54, 55	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} = ∅)
57	42, 56	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘𝐵) = ∅)
58	21, 57	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑉‘𝐵) = ∅)
59	58	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐵) = ∅)
60	33, 59	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = ∅)
61	31, 60	impbida 813	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  LSSumclsm 19878  mulGrpcmgp 20390  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490  LIdealclidl 21514  PrmIdealcprmidl 21646  MaxIdealcmxidl 34054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-ac2 10568  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-rpss 7763  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-ac 10222  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cntz 19561  df-lsm 19880  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-rsp 21517  df-prmidl 21647  df-lpidl 21676  df-mxidl 34055

This theorem is used by:  zarclssn  34575  zartopn  34577  zarcmplem  34583