Theorem zarcls1 34046

Description: The unit ideal 𝐵 is the only ideal whose closure in the Zariski topology is the empty set. Stronger form of the Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarcls1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarcls1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls1

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = ∅)
2		sseq2 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐼 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑚))
3		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
4	3	mxidlprm 33562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
5	4	ad5ant14 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
6		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
7	2, 5, 6	elrabd 3650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
8		zarclsx.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
10		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑗))
11	10	rabbidv 3408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) ∧ 𝑖 = 𝐼) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
13		simp-4r 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14		fvex 6855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
15	14	rabex 5286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗} ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗} ∈ V)
17	9, 12, 13, 16	fvmptd 6957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → (𝑉‘𝐼) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
18	7, 17	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (𝑉‘𝐼))
19		ne0i 4295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑉‘𝐼) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
21		crngring 20192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22		zarcls1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
23	22	ssmxidl 33566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
24	23	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
25	21, 24	sylanl1 681	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
26	20, 25	r19.29a 3146	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
27	26	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
28	27	neneqd 2938	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ¬ (𝑉‘𝐼) = ∅)
29	1, 28	pm2.65da 817	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) → ¬ 𝐼 ≠ 𝐵)
30		nne 2937	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ≠ 𝐵 ↔ 𝐼 = 𝐵)
31	29, 30	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) → 𝐼 = 𝐵)
32		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 𝐵 → (𝑉‘𝐼) = (𝑉‘𝐵))
33	32	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = (𝑉‘𝐵))
34	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
35		sseq1 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐵 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑗))
36	35	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑗))
37	36	rabbidv 3408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗})
38		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
39	38, 22	lidl1 21200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	14	rabex 5286	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} ∈ V)
42	34, 37, 39, 41	fvmptd 6957	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘𝐵) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗})
43		prmidlidl 33536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	22, 38	lidlss 21179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
47		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝐵 ⊆ 𝑗)
48	46, 47	eqssd 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 = 𝐵)
49		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
50	22, 49	prmidlnr 33531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ≠ 𝐵)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 ≠ 𝐵)
52	51	neneqd 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → ¬ 𝑗 = 𝐵)
53	48, 52	pm2.65da 817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
54	53	ralrimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
55		rabeq0 4342	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
56	54, 55	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} = ∅)
57	42, 56	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘𝐵) = ∅)
58	21, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑉‘𝐵) = ∅)
59	58	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐵) = ∅)
60	33, 59	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = ∅)
61	31, 60	impbida 801	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  LSSumclsm 19575  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  LIdealclidl 21173  PrmIdealcprmidl 33527  MaxIdealcmxidl 33551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-rpss 7678  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-ac 10038  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176  df-lpidl 21289  df-prmidl 33528  df-mxidl 33552

This theorem is referenced by:  zarclssn  34050  zartopn  34052  zarcmplem  34058