Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls1 31222
 Description: The unit ideal 𝐵 is the only ideal whose closure in the Zariski topology is the empty set. Stronger form of the Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
zarcls1.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zarcls1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉𝐼) = ∅) ∧ 𝐼𝐵) → (𝑉𝐼) = ∅)
2 sseq2 3944 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝐼𝑗𝐼𝑚))
3 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
43mxidlprm 31048 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
54ad5ant14 757 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
6 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝐼𝑚)
72, 5, 6elrabd 3633 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝑚 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗})
8 zarclsx.1 . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
10 sseq1 3943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑗𝐼𝑗))
1110rabbidv 3430 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗})
1211adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) ∧ 𝑖 = 𝐼) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗})
13 simp-4r 783 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14 fvex 6662 . . . . . . . . . . . 12 (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
1514rabex 5202 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗} ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗} ∈ V)
179, 12, 13, 16fvmptd 6756 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → (𝑉𝐼) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗})
187, 17eleqtrrd 2896 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝑚 ∈ (𝑉𝐼))
19 ne0i 4253 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝑉𝐼) → (𝑉𝐼) ≠ ∅)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → (𝑉𝐼) ≠ ∅)
21 crngring 19305 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22 zarcls1.1 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
2322ssmxidl 31050 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼𝑚)
24233expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼𝑚)
2521, 24sylanl1 679 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼𝑚)
2620, 25r19.29a 3251 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) → (𝑉𝐼) ≠ ∅)
2726adantlr 714 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉𝐼) = ∅) ∧ 𝐼𝐵) → (𝑉𝐼) ≠ ∅)
2827neneqd 2995 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉𝐼) = ∅) ∧ 𝐼𝐵) → ¬ (𝑉𝐼) = ∅)
291, 28pm2.65da 816 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉𝐼) = ∅) → ¬ 𝐼𝐵)
30 nne 2994 . . 3 𝐼𝐵𝐼 = 𝐵)
3129, 30sylib 221 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉𝐼) = ∅) → 𝐼 = 𝐵)
32 fveq2 6649 . . . 4 (𝐼 = 𝐵 → (𝑉𝐼) = (𝑉𝐵))
3332adantl 485 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉𝐼) = (𝑉𝐵))
348a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
35 sseq1 3943 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐵 → (𝑖𝑗𝐵𝑗))
3635adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → (𝑖𝑗𝐵𝑗))
3736rabbidv 3430 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗})
38 eqid 2801 . . . . . . . 8 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3938, 22lidl1 19989 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4014rabex 5202 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗} ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗} ∈ V)
4234, 37, 39, 41fvmptd 6756 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑉𝐵) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗})
43 prmidlidl 31027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4422, 38lidlss 19979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗𝐵)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗𝐵)
4645adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵𝑗) → 𝑗𝐵)
47 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵𝑗) → 𝐵𝑗)
4846, 47eqssd 3935 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵𝑗) → 𝑗 = 𝐵)
49 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5022, 49prmidlnr 31022 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗𝐵)
5150adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵𝑗) → 𝑗𝐵)
5251neneqd 2995 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵𝑗) → ¬ 𝑗 = 𝐵)
5348, 52pm2.65da 816 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝐵𝑗)
5453ralrimiva 3152 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵𝑗)
55 rabeq0 4295 . . . . . . 7 ({𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗} = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵𝑗)
5654, 55sylibr 237 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗} = ∅)
5742, 56eqtrd 2836 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑉𝐵) = ∅)
5821, 57syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝑉𝐵) = ∅)
5958ad2antrr 725 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉𝐵) = ∅)
6033, 59eqtrd 2836 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉𝐼) = ∅)
6131, 60impbida 800 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  LSSumclsm 18754  mulGrpcmgp 19235  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294  LIdealclidl 19938  PrmIdealcprmidl 31018  MaxIdealcmxidl 31039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-rpss 7433  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-ac 9531  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942  df-rsp 19943  df-lpidl 20012  df-prmidl 31019  df-mxidl 31040 This theorem is referenced by:  zarclssn  31226  zartopn  31228  zarcmplem  31234
 Copyright terms: Public domain W3C validator