Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls1 31222
Description: The unit ideal 𝐵 is the only ideal whose closure in the Zariski topology is the empty set. Stronger form of the Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
zarcls1.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zarcls1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉𝐼) = ∅) ∧ 𝐼𝐵) → (𝑉𝐼) = ∅)
2 sseq2 3944 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝐼𝑗𝐼𝑚))
3 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
43mxidlprm 31048 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
54ad5ant14 757 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
6 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝐼𝑚)
72, 5, 6elrabd 3633 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝑚 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗})
8 zarclsx.1 . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗})
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
10 sseq1 3943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑗𝐼𝑗))
1110rabbidv 3430 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗})
1211adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) ∧ 𝑖 = 𝐼) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗})
13 simp-4r 783 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14 fvex 6662 . . . . . . . . . . . 12 (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
1514rabex 5202 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗} ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗} ∈ V)
179, 12, 13, 16fvmptd 6756 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → (𝑉𝐼) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼𝑗})
187, 17eleqtrrd 2896 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → 𝑚 ∈ (𝑉𝐼))
19 ne0i 4253 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝑉𝐼) → (𝑉𝐼) ≠ ∅)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝑚) → (𝑉𝐼) ≠ ∅)
21 crngring 19305 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22 zarcls1.1 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
2322ssmxidl 31050 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼𝑚)
24233expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼𝑚)
2521, 24sylanl1 679 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼𝑚)
2620, 25r19.29a 3251 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼𝐵) → (𝑉𝐼) ≠ ∅)
2726adantlr 714 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉𝐼) = ∅) ∧ 𝐼𝐵) → (𝑉𝐼) ≠ ∅)
2827neneqd 2995 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉𝐼) = ∅) ∧ 𝐼𝐵) → ¬ (𝑉𝐼) = ∅)
291, 28pm2.65da 816 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉𝐼) = ∅) → ¬ 𝐼𝐵)
30 nne 2994 . . 3 𝐼𝐵𝐼 = 𝐵)
3129, 30sylib 221 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉𝐼) = ∅) → 𝐼 = 𝐵)
32 fveq2 6649 . . . 4 (𝐼 = 𝐵 → (𝑉𝐼) = (𝑉𝐵))
3332adantl 485 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉𝐼) = (𝑉𝐵))
348a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗}))
35 sseq1 3943 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐵 → (𝑖𝑗𝐵𝑗))
3635adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → (𝑖𝑗𝐵𝑗))
3736rabbidv 3430 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗})
38 eqid 2801 . . . . . . . 8 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3938, 22lidl1 19989 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4014rabex 5202 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗} ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗} ∈ V)
4234, 37, 39, 41fvmptd 6756 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑉𝐵) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗})
43 prmidlidl 31027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4422, 38lidlss 19979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗𝐵)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗𝐵)
4645adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵𝑗) → 𝑗𝐵)
47 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵𝑗) → 𝐵𝑗)
4846, 47eqssd 3935 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵𝑗) → 𝑗 = 𝐵)
49 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5022, 49prmidlnr 31022 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗𝐵)
5150adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵𝑗) → 𝑗𝐵)
5251neneqd 2995 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵𝑗) → ¬ 𝑗 = 𝐵)
5348, 52pm2.65da 816 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝐵𝑗)
5453ralrimiva 3152 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵𝑗)
55 rabeq0 4295 . . . . . . 7 ({𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗} = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵𝑗)
5654, 55sylibr 237 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵𝑗} = ∅)
5742, 56eqtrd 2836 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑉𝐵) = ∅)
5821, 57syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝑉𝐵) = ∅)
5958ad2antrr 725 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉𝐵) = ∅)
6033, 59eqtrd 2836 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉𝐼) = ∅)
6131, 60impbida 800 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  wss 3884  c0 4246  cmpt 5113  cfv 6328  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  LSSumclsm 18754  mulGrpcmgp 19235  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294  LIdealclidl 19938  PrmIdealcprmidl 31018  MaxIdealcmxidl 31039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-rpss 7433  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-ac 9531  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942  df-rsp 19943  df-lpidl 20012  df-prmidl 31019  df-mxidl 31040
This theorem is referenced by:  zarclssn  31226  zartopn  31228  zarcmplem  31234
  Copyright terms: Public domain W3C validator