Theorem zarcls1 34268

Description: The unit ideal 𝐵 is the only ideal whose closure in the Zariski topology is the empty set. Stronger form of the Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarcls1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarcls1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem zarcls1

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 780	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = ∅)
2		sseq2 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐼 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑚))
3		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
4	3	mxidlprm 33762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
5	4	ad5ant14 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
6		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
7	2, 5, 6	elrabd 3651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
8		zarclsx.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
10		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑗))
11	10	rabbidv 3422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
12	11	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) ∧ 𝑖 = 𝐼) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
13		simp-4r 795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14		fvex 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
15	14	rabex 5308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗} ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗} ∈ V)
17	9, 12, 13, 16	fvmptd 6997	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → (𝑉‘𝐼) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
18	7, 17	eleqtrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (𝑉‘𝐼))
19		ne0i 4293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑉‘𝐼) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
21		crngring 20333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22		zarcls1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
23	22	ssmxidl 33766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
24	23	3expa 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
25	21, 24	sylanl1 692	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
26	20, 25	r19.29a 3172	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
27	26	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
28	27	neneqd 2962	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ¬ (𝑉‘𝐼) = ∅)
29	1, 28	pm2.65da 828	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) → ¬ 𝐼 ≠ 𝐵)
30		nne 2961	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ≠ 𝐵 ↔ 𝐼 = 𝐵)
31	29, 30	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) → 𝐼 = 𝐵)
32		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 𝐵 → (𝑉‘𝐼) = (𝑉‘𝐵))
33	32	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = (𝑉‘𝐵))
34	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
35		sseq1 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐵 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑗))
36	35	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑗))
37	36	rabbidv 3422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗})
38		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
39	38, 22	lidl1 21370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	14	rabex 5308	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} ∈ V)
42	34, 37, 39, 41	fvmptd 6997	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘𝐵) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗})
43		prmidlidl 21480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	22, 38	lidlss 21347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
46	45	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
47		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝐵 ⊆ 𝑗)
48	46, 47	eqssd 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 = 𝐵)
49		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
50	22, 49	prmidlnr 21475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ≠ 𝐵)
51	50	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 ≠ 𝐵)
52	51	neneqd 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → ¬ 𝑗 = 𝐵)
53	48, 52	pm2.65da 828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
54	53	ralrimiva 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
55		rabeq0 4344	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
56	54, 55	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} = ∅)
57	42, 56	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘𝐵) = ∅)
58	21, 57	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑉‘𝐵) = ∅)
59	58	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐵) = ∅)
60	33, 59	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = ∅)
61	31, 60	impbida 812	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  LSSumclsm 19710  mulGrpcmgp 20222  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322  LIdealclidl 21341  PrmIdealcprmidl 21471  MaxIdealcmxidl 33751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-lsm 19712  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-prmidl 21472  df-lpidl 21501  df-mxidl 33752

This theorem is used by:  zarclssn  34272  zartopn  34274  zarcmplem  34280