Theorem zarcls1 34060

Description: The unit ideal 𝐵 is the only ideal whose closure in the Zariski topology is the empty set. Stronger form of the Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarcls1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarcls1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls1

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 774	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = ∅)
2		sseq2 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐼 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑚))
3		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
4	3	mxidlprm 33560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
5	4	ad5ant14 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
6		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝐼 ⊆ 𝑚)
7	2, 5, 6	elrabd 3638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
8		zarclsx.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
10		sseq1 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐼 ⊆ 𝑗))
11	10	rabbidv 3399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) ∧ 𝑖 = 𝐼) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
13		simp-4r 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
14		fvex 6847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) ∈ V
15	14	rabex 5274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗} ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗} ∈ V)
17	9, 12, 13, 16	fvmptd 6950	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → (𝑉‘𝐼) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐼 ⊆ 𝑗})
18	7, 17	eleqtrrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ (𝑉‘𝐼))
19		ne0i 4276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑉‘𝐼) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ⊆ 𝑚) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
21		crngring 20224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22		zarcls1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
23	22	ssmxidl 33564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
24	23	3expa 1124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
25	21, 24	sylanl1 686	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)𝐼 ⊆ 𝑚)
26	20, 25	r19.29a 3148	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
27	26	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → (𝑉‘𝐼) ≠ ∅)
28	27	neneqd 2940	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) ∧ 𝐼 ≠ 𝐵) → ¬ (𝑉‘𝐼) = ∅)
29	1, 28	pm2.65da 822	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) → ¬ 𝐼 ≠ 𝐵)
30		nne 2939	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ≠ 𝐵 ↔ 𝐼 = 𝐵)
31	29, 30	sylib 219	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑉‘𝐼) = ∅) → 𝐼 = 𝐵)
32		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 𝐵 → (𝑉‘𝐼) = (𝑉‘𝐵))
33	32	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = (𝑉‘𝐵))
34	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
35		sseq1 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐵 → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑗))
36	35	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → (𝑖 ⊆ 𝑗 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑗))
37	36	rabbidv 3399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = 𝐵) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗})
38		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
39	38, 22	lidl1 21233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (LIdeal‘𝑅))
40	14	rabex 5274	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} ∈ V)
42	34, 37, 39, 41	fvmptd 6950	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘𝐵) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗})
43		prmidlidl 33534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	22, 38	lidlss 21212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 ⊆ 𝐵)
47		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝐵 ⊆ 𝑗)
48	46, 47	eqssd 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 = 𝐵)
49		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
50	22, 49	prmidlnr 33529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ≠ 𝐵)
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → 𝑗 ≠ 𝐵)
52	51	neneqd 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑗) → ¬ 𝑗 = 𝐵)
53	48, 52	pm2.65da 822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
54	53	ralrimiva 3132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
55		rabeq0 4323	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ¬ 𝐵 ⊆ 𝑗)
56	54, 55	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝐵 ⊆ 𝑗} = ∅)
57	42, 56	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘𝐵) = ∅)
58	21, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑉‘𝐵) = ∅)
59	58	ad2antrr 732	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐵) = ∅)
60	33, 59	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (𝑉‘𝐼) = ∅)
61	31, 60	impbida 806	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((𝑉‘𝐼) = ∅ ↔ 𝐼 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  LSSumclsm 19607  mulGrpcmgp 20119  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  LIdealclidl 21206  PrmIdealcprmidl 33525  MaxIdealcmxidl 33549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-ac2 10383  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-rpss 7673  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-ac 10036  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cntz 19290  df-lsm 19609  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208  df-rsp 21209  df-lpidl 21322  df-prmidl 33526  df-mxidl 33550

This theorem is referenced by:  zarclssn  34064  zartopn  34066  zarcmplem  34072