Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocuni 34285
Description: Every open set of (ℝ × ℝ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This union must be a countable union by dya2iocct 34282. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocuni (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑐,𝑣,𝐴   𝑅,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑐)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem dya2iocuni
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4080 . . . 4 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ ran 𝑅
2 sxbrsiga.0 . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 dya2ioc.1 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4 dya2ioc.2 . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
52, 3, 4dya2iocrfn 34281 . . . . . . 7 𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼)
6 zex 12622 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ V
76, 6mpoex 8104 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ∈ V
83, 7eqeltri 2837 . . . . . . . . 9 𝐼 ∈ V
98rnex 7932 . . . . . . . 8 ran 𝐼 ∈ V
109, 9xpex 7773 . . . . . . 7 (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V
11 fnex 7237 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∧ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
125, 10, 11mp2an 692 . . . . . 6 𝑅 ∈ V
1312rnex 7932 . . . . 5 ran 𝑅 ∈ V
1413elpw2 5334 . . . 4 ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ↔ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ ran 𝑅)
151, 14mpbir 231 . . 3 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅
1615a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅)
17 rex0 4360 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧𝑏𝑏𝐴)
18 rexeq 3322 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧𝑏𝑏𝐴)))
1917, 18mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
2019ralrimivw 3150 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
21 rabeq0 4388 . . . . . . . . 9 ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
2220, 21sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
2322unieqd 4920 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
24 uni0 4935 . . . . . . 7 ∅ = ∅
2523, 24eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
26 0ss 4400 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
2725, 26eqsstrdi 4028 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
28 elequ2 2123 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑝 → (𝑧𝑏𝑧𝑝))
29 sseq1 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑝 → (𝑏𝐴𝑝𝐴))
3028, 29anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑝 → ((𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
3130rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑝 → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
3231elrab 3692 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ↔ (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑝𝑝𝐴) → 𝑝𝐴)
3433reximi 3084 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴) → ∃𝑧𝐴 𝑝𝐴)
35 r19.9rzv 4500 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝𝐴 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑝𝐴))
3634, 35imbitrrid 246 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴) → 𝑝𝐴))
3736adantld 490 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝𝐴))
3832, 37biimtrid 242 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → 𝑝𝐴))
3938ralrimiv 3145 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑝𝐴)
40 unissb 4939 . . . . . 6 ( {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑝𝐴)
4139, 40sylibr 234 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
4227, 41pm2.61ine 3025 . . . 4 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴
4342a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
442, 3, 4dya2iocnei 34284 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → ∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚𝑝𝑝𝐴))
45 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝 ∈ ran 𝑅)
46 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝐴𝑚𝑝) → 𝑚𝐴)
4746ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑝𝑝𝐴) → 𝑚𝐴)
4847adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑚𝐴)
49 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑚𝑝𝑝𝐴))
50 elequ1 2115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑚 → (𝑧𝑝𝑚𝑝))
5150anbi1d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑚 → ((𝑧𝑝𝑝𝐴) ↔ (𝑚𝑝𝑝𝐴)))
5251rspcev 3622 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝐴 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴))
5348, 49, 52syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴))
5445, 53jca 511 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
5554, 32sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
56 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑚𝑝)
5755, 56jca 511 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∧ 𝑚𝑝))
5857reximi2 3079 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚𝑝𝑝𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
5944, 58syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
60 eluni2 4911 . . . 4 (𝑚 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
6159, 60sylibr 234 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
6243, 61eqelssd 4005 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴)
63 unieq 4918 . . . 4 (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → 𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
6463eqeq1d 2739 . . 3 (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → ( 𝑐 = 𝐴 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴))
6564rspcev 3622 . 2 (({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
6616, 62, 65syl2anc 584 1 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   × cxp 5683  ran crn 5686   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1c1 11156   + caddc 11158   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  cexp 14102  topGenctg 17482   ×t ctx 23568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-fcls 23949  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-cfil 25289  df-cmet 25291  df-cms 25369  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  34286  sxbrsigalem1  34287
  Copyright terms: Public domain W3C validator