Theorem dya2iocuni 31541

Description: Every open set of (ℝ × ℝ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This union must be a countable union by dya2iocct 31538. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocuni	⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑐,𝑣,𝐴   𝑅,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑐)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem dya2iocuni

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4055	. . . 4 ⊢ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ ran 𝑅
2		sxbrsiga.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		dya2ioc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4		dya2ioc.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
5	2, 3, 4	dya2iocrfn 31537	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼)
6		zex 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
7	6, 6	mpoex 7776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ∈ V
8	3, 7	eqeltri 2909	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ V
9	8	rnex 7616	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝐼 ∈ V
10	9, 9	xpex 7475	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V
11		fnex 6979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∧ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
12	5, 10, 11	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ V
13	12	rnex 7616	. . . . 5 ⊢ ran 𝑅 ∈ V
14	13	elpw2 5247	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ↔ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ ran 𝑅)
15	1, 14	mpbir 233	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅)
17		rex0 4316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)
18		rexeq 3406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)))
19	17, 18	mtbiri 329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
20	19	ralrimivw 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
21		rabeq0 4337	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
22	20, 21	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅)
23	22	unieqd 4851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∪ ∅)
24		uni0 4865	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
25	23, 24	syl6eq 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅)
26		0ss 4349	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
27	25, 26	eqsstrdi 4020	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
28		elequ2 2125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↔ 𝑧 ∈ 𝑝))
29		sseq1 3991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑏 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑝 ⊆ 𝐴))
30	28, 29	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → ((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
31	30	rexbidv 3297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
32	31	elrab 3679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ↔ (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
33		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ 𝐴)
34	33	reximi 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑝 ⊆ 𝐴)
35		r19.9rzv 4444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑝 ⊆ 𝐴))
36	34, 35	syl5ibr 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ 𝐴))
37	36	adantld 493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ 𝐴))
38	32, 37	syl5bi 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → 𝑝 ⊆ 𝐴))
39	38	ralrimiv 3181	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑝 ⊆ 𝐴)
40		unissb 4869	. . . . . 6 ⊢ (∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑝 ⊆ 𝐴)
41	39, 40	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
42	27, 41	pm2.61ine 3100	. . . 4 ⊢ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
44	2, 3, 4	dya2iocnei 31540	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
45		simpl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ∈ ran 𝑅)
46		ssel2 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑝) → 𝑚 ∈ 𝐴)
47	46	ancoms 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
48	47	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑚 ∈ 𝐴)
49		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
50		elequ1 2117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → (𝑧 ∈ 𝑝 ↔ 𝑚 ∈ 𝑝))
51	50	anbi1d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
52	51	rspcev 3622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
53	48, 49, 52	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
54	45, 53	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
55	54, 32	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
56		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑚 ∈ 𝑝)
57	55, 56	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∧ 𝑚 ∈ 𝑝))
58	57	reximi2 3244	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
59	44, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
60		eluni2 4841	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
61	59, 60	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
62	43, 61	eqelssd 3987	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴)
63		unieq 4848	. . . 4 ⊢ (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → ∪ 𝑐 = ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
64	63	eqeq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → (∪ 𝑐 = 𝐴 ↔ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴))
65	64	rspcev 3622	. 2 ⊢ (({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)
66	16, 62, 65	syl2anc 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  ∪ cuni 4837   × cxp 5552  ran crn 5555   Fn wfn 6349  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  1c1 10537   + caddc 10539   / cdiv 11296  2c2 11691  ℤcz 11980  (,)cioo 12737  [,)cico 12739  ↑cexp 13428  topGenctg 16710   ×_t ctx 22167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-pi 15425  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-refld 20748  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-cmp 21994  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-fcls 22548  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-cfil 23857  df-cmet 23859  df-cms 23937  df-limc 24463  df-dv 24464  df-log 25139  df-cxp 25140  df-logb 25342

This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  31542  sxbrsigalem1  31543