Theorem dya2iocuni 34582

Description: Every open set of (ℝ × ℝ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This union must be a countable union by dya2iocct 34579. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocuni	⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑐,𝑣,𝐴   𝑅,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑐)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem dya2iocuni

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4034	. . . 4 ⊢ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ ran 𝑅
2		sxbrsiga.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		dya2ioc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4		dya2ioc.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
5	2, 3, 4	dya2iocrfn 34578	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼)
6		zex 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
7	6, 6	mpoex 8060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ∈ V
8	3, 7	eqeltri 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ V
9	8	rnex 7891	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝐼 ∈ V
10	9, 9	xpex 7736	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V
11		fnex 7201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∧ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
12	5, 10, 11	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ V
13	12	rnex 7891	. . . . 5 ⊢ ran 𝑅 ∈ V
14	13	elpw2 5291	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ↔ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ ran 𝑅)
15	1, 14	mpbir 233	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅)
17		rex0 4314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)
18		rexeq 3317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)))
19	17, 18	mtbiri 329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
20	19	ralrimivw 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
21		rabeq0 4343	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
22	20, 21	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅)
23	22	unieqd 4879	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∪ ∅)
24		uni0 4895	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
25	23, 24	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅)
26		0ss 4355	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
27	25, 26	eqsstrdi 3981	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
28		elequ2 2158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↔ 𝑧 ∈ 𝑝))
29		sseq1 3962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑏 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑝 ⊆ 𝐴))
30	28, 29	anbi12d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → ((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
31	30	rexbidv 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
32	31	elrab 3651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ↔ (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
33		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ 𝐴)
34	33	reximi 3101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑝 ⊆ 𝐴)
35		r19.9rzv 4460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑝 ⊆ 𝐴))
36	34, 35	imbitrrid 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ 𝐴))
37	36	adantld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ 𝐴))
38	32, 37	biimtrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → 𝑝 ⊆ 𝐴))
39	38	ralrimiv 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑝 ⊆ 𝐴)
40		unissb 4900	. . . . . 6 ⊢ (∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑝 ⊆ 𝐴)
41	39, 40	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
42	27, 41	pm2.61ine 3041	. . . 4 ⊢ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
44	2, 3, 4	dya2iocnei 34581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
45		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ∈ ran 𝑅)
46		ssel2 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑝) → 𝑚 ∈ 𝐴)
47	46	ancoms 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
48	47	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑚 ∈ 𝐴)
49		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
50		elequ1 2150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → (𝑧 ∈ 𝑝 ↔ 𝑚 ∈ 𝑝))
51	50	anbi1d 640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
52	51	rspcev 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
53	48, 49, 52	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
54	45, 53	jca 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
55	54, 32	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
56		simprl 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑚 ∈ 𝑝)
57	55, 56	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∧ 𝑚 ∈ 𝑝))
58	57	reximi2 3096	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
59	44, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
60		eluni2 4870	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
61	59, 60	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
62	43, 61	eqelssd 3958	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴)
63		unieq 4877	. . . 4 ⊢ (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → ∪ 𝑐 = ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
64	63	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → (∪ 𝑐 = 𝐴 ↔ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴))
65	64	rspcev 3582	. 2 ⊢ (({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)
66	16, 62, 65	syl2anc 593	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3415  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   × cxp 5646  ran crn 5649   Fn wfn 6516  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  1c1 11085   + caddc 11087   / cdiv 11855  2c2 12282  ℤcz 12578  (,)cioo 13359  [,)cico 13361  ↑cexp 14084  topGenctg 17476   ×_t ctx 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-addf 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15090  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16107  df-sin 16109  df-cos 16110  df-pi 16112  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-hom 17320  df-cco 17321  df-rest 17461  df-topn 17462  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-topgen 17482  df-pt 17483  df-prds 17486  df-xrs 17542  df-qtop 17547  df-imas 17548  df-xps 17550  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18828  df-mulg 19120  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-fbas 21428  df-fg 21429  df-cnfld 21432  df-refld 21664  df-top 22961  df-topon 22978  df-topsp 23000  df-bases 23013  df-cld 23086  df-ntr 23087  df-cls 23088  df-nei 23165  df-lp 23203  df-perf 23204  df-cn 23294  df-cnp 23295  df-haus 23382  df-cmp 23454  df-tx 23629  df-hmeo 23822  df-fil 23913  df-fm 24005  df-flim 24006  df-flf 24007  df-fcls 24008  df-xms 24387  df-ms 24388  df-tms 24389  df-cncf 24947  df-cfil 25324  df-cmet 25326  df-cms 25404  df-limc 25935  df-dv 25936  df-log 26628  df-cxp 26629  df-logb 26837

This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  34583  sxbrsigalem1  34584