Theorem dya2iocuni 34682

Description: Every open set of (ℝ × ℝ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This union must be a countable union by dya2iocct 34679. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocuni	⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑐,𝑣,𝐴   𝑅,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑛)   𝑅(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛)   𝐼(𝑛, 𝑐)   𝐽(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛, 𝑐)

Proof of Theorem dya2iocuni

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4033	. . . 4 ⊢ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ ran 𝑅
2		sxbrsiga.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		dya2ioc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4		dya2ioc.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
5	2, 3, 4	dya2iocrfn 34678	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼)
6		zex 12606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
7	6, 6	mpoex 8074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ∈ V
8	3, 7	eqeltri 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ V
9	8	rnex 7905	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝐼 ∈ V
10	9, 9	xpex 7750	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V
11		fnex 7215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∧ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
12	5, 10, 11	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ V
13	12	rnex 7905	. . . . 5 ⊢ ran 𝑅 ∈ V
14	13	elpw2 5304	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ↔ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ ran 𝑅)
15	1, 14	mpbir 234	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅)
17		rex0 4314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)
18		rexeq 3318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)))
19	17, 18	mtbiri 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
20	19	ralrimivw 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
21		rabeq0 4344	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
22	20, 21	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅)
23	22	unieqd 4884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∪ ∅)
24		uni0 4900	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
25	23, 24	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅)
26		0ss 4356	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
27	25, 26	eqsstrdi 3980	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
28		elequ2 2157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↔ 𝑧 ∈ 𝑝))
29		sseq1 3961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑏 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑝 ⊆ 𝐴))
30	28, 29	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → ((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
31	30	rexbidv 3188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
32	31	elrab 3649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ↔ (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
33		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ 𝐴)
34	33	reximi 3102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑝 ⊆ 𝐴)
35		r19.9rzv 4465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑝 ⊆ 𝐴))
36	34, 35	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ 𝐴))
37	36	adantld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ 𝐴))
38	32, 37	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → 𝑝 ⊆ 𝐴))
39	38	ralrimiv 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑝 ⊆ 𝐴)
40		unissb 4905	. . . . . 6 ⊢ (∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑝 ⊆ 𝐴)
41	39, 40	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
42	27, 41	pm2.61ine 3040	. . . 4 ⊢ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
44	2, 3, 4	dya2iocnei 34681	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
45		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ∈ ran 𝑅)
46		ssel2 3931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑝) → 𝑚 ∈ 𝐴)
47	46	ancoms 463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
48	47	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑚 ∈ 𝐴)
49		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
50		elequ1 2149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → (𝑧 ∈ 𝑝 ↔ 𝑚 ∈ 𝑝))
51	50	anbi1d 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
52	51	rspcev 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
53	48, 49, 52	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
54	45, 53	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
55	54, 32	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
56		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑚 ∈ 𝑝)
57	55, 56	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∧ 𝑚 ∈ 𝑝))
58	57	reximi2 3097	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
59	44, 58	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
60		eluni2 4875	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
61	59, 60	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
62	43, 61	eqelssd 3957	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴)
63		unieq 4882	. . . 4 ⊢ (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → ∪ 𝑐 = ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
64	63	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → (∪ 𝑐 = 𝐴 ↔ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴))
65	64	rspcev 3580	. 2 ⊢ (({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)
66	16, 62, 65	syl2anc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871   × cxp 5658  ran crn 5661   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1c1 11107   + caddc 11109   / cdiv 11877  2c2 12301  ℤcz 12597  (,)cioo 13378  [,)cico 13380  ↑cexp 14104  topGenctg 17496   ×_t ctx 23728

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-refld 21766  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-cmp 23555  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-fcls 24109  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-cfil 25425  df-cmet 25427  df-cms 25505  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-cxp 26733  df-logb 26941

This theorem is used by:  dya2iocucvr  34683  sxbrsigalem1  34684