Theorem dya2iocuni 34639

Description: Every open set of (ℝ × ℝ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This union must be a countable union by dya2iocct 34636. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocuni	⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑐,𝑣,𝐴   𝑅,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑐)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem dya2iocuni

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4033	. . . 4 ⊢ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ ran 𝑅
2		sxbrsiga.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		dya2ioc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4		dya2ioc.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
5	2, 3, 4	dya2iocrfn 34635	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼)
6		zex 12599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
7	6, 6	mpoex 8075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ∈ V
8	3, 7	eqeltri 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ V
9	8	rnex 7906	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝐼 ∈ V
10	9, 9	xpex 7751	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V
11		fnex 7215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∧ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
12	5, 10, 11	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ V
13	12	rnex 7906	. . . . 5 ⊢ ran 𝑅 ∈ V
14	13	elpw2 5304	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ↔ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ ran 𝑅)
15	1, 14	mpbir 234	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅)
17		rex0 4314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)
18		rexeq 3317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)))
19	17, 18	mtbiri 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
20	19	ralrimivw 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
21		rabeq0 4344	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
22	20, 21	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅)
23	22	unieqd 4884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∪ ∅)
24		uni0 4900	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
25	23, 24	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅)
26		0ss 4356	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
27	25, 26	eqsstrdi 3980	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
28		elequ2 2156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↔ 𝑧 ∈ 𝑝))
29		sseq1 3961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑏 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑝 ⊆ 𝐴))
30	28, 29	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → ((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
31	30	rexbidv 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
32	31	elrab 3649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ↔ (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
33		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ 𝐴)
34	33	reximi 3101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑝 ⊆ 𝐴)
35		r19.9rzv 4465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑝 ⊆ 𝐴))
36	34, 35	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ 𝐴))
37	36	adantld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ 𝐴))
38	32, 37	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → 𝑝 ⊆ 𝐴))
39	38	ralrimiv 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑝 ⊆ 𝐴)
40		unissb 4905	. . . . . 6 ⊢ (∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑝 ⊆ 𝐴)
41	39, 40	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
42	27, 41	pm2.61ine 3039	. . . 4 ⊢ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
44	2, 3, 4	dya2iocnei 34638	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
45		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ∈ ran 𝑅)
46		ssel2 3931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑝) → 𝑚 ∈ 𝐴)
47	46	ancoms 463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
48	47	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑚 ∈ 𝐴)
49		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
50		elequ1 2148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → (𝑧 ∈ 𝑝 ↔ 𝑚 ∈ 𝑝))
51	50	anbi1d 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
52	51	rspcev 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
53	48, 49, 52	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
54	45, 53	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
55	54, 32	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
56		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑚 ∈ 𝑝)
57	55, 56	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∧ 𝑚 ∈ 𝑝))
58	57	reximi2 3096	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
59	44, 58	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
60		eluni2 4875	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
61	59, 60	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
62	43, 61	eqelssd 3957	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴)
63		unieq 4882	. . . 4 ⊢ (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → ∪ 𝑐 = ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
64	63	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → (∪ 𝑐 = 𝐴 ↔ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴))
65	64	rspcev 3580	. 2 ⊢ (({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)
66	16, 62, 65	syl2anc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871   × cxp 5659  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1c1 11100   + caddc 11102   / cdiv 11870  2c2 12294  ℤcz 12590  (,)cioo 13371  [,)cico 13373  ↑cexp 14096  topGenctg 17489   ×_t ctx 23696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-refld 21734  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-cmp 23523  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-fcls 24077  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-cfil 25393  df-cmet 25395  df-cms 25473  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697  df-cxp 26698  df-logb 26906

This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  34640  sxbrsigalem1  34641