Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocuni 34117
Description: Every open set of (ℝ × ℝ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This union must be a countable union by dya2iocct 34114. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocuni (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑐,𝑣,𝐴   𝑅,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑐)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem dya2iocuni
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4076 . . . 4 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ ran 𝑅
2 sxbrsiga.0 . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 dya2ioc.1 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4 dya2ioc.2 . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
52, 3, 4dya2iocrfn 34113 . . . . . . 7 𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼)
6 zex 12619 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ V
76, 6mpoex 8093 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ∈ V
83, 7eqeltri 2822 . . . . . . . . 9 𝐼 ∈ V
98rnex 7923 . . . . . . . 8 ran 𝐼 ∈ V
109, 9xpex 7761 . . . . . . 7 (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V
11 fnex 7234 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∧ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
125, 10, 11mp2an 690 . . . . . 6 𝑅 ∈ V
1312rnex 7923 . . . . 5 ran 𝑅 ∈ V
1413elpw2 5352 . . . 4 ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ↔ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ ran 𝑅)
151, 14mpbir 230 . . 3 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅
1615a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅)
17 rex0 4360 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧𝑏𝑏𝐴)
18 rexeq 3311 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧𝑏𝑏𝐴)))
1917, 18mtbiri 326 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
2019ralrimivw 3140 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
21 rabeq0 4389 . . . . . . . . 9 ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
2322unieqd 4926 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
24 uni0 4943 . . . . . . 7 ∅ = ∅
2523, 24eqtrdi 2782 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
26 0ss 4401 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
2725, 26eqsstrdi 4034 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
28 elequ2 2114 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑝 → (𝑧𝑏𝑧𝑝))
29 sseq1 4005 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑝 → (𝑏𝐴𝑝𝐴))
3028, 29anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑝 → ((𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
3130rexbidv 3169 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑝 → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
3231elrab 3681 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ↔ (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
33 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑝𝑝𝐴) → 𝑝𝐴)
3433reximi 3074 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴) → ∃𝑧𝐴 𝑝𝐴)
35 r19.9rzv 4504 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝𝐴 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑝𝐴))
3634, 35imbitrrid 245 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴) → 𝑝𝐴))
3736adantld 489 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝𝐴))
3832, 37biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → 𝑝𝐴))
3938ralrimiv 3135 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑝𝐴)
40 unissb 4947 . . . . . 6 ( {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑝𝐴)
4139, 40sylibr 233 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
4227, 41pm2.61ine 3015 . . . 4 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴
4342a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
442, 3, 4dya2iocnei 34116 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → ∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚𝑝𝑝𝐴))
45 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝 ∈ ran 𝑅)
46 ssel2 3974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝐴𝑚𝑝) → 𝑚𝐴)
4746ancoms 457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑝𝑝𝐴) → 𝑚𝐴)
4847adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑚𝐴)
49 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑚𝑝𝑝𝐴))
50 elequ1 2106 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑚 → (𝑧𝑝𝑚𝑝))
5150anbi1d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑚 → ((𝑧𝑝𝑝𝐴) ↔ (𝑚𝑝𝑝𝐴)))
5251rspcev 3608 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝐴 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴))
5348, 49, 52syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴))
5445, 53jca 510 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
5554, 32sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
56 simprl 769 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑚𝑝)
5755, 56jca 510 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∧ 𝑚𝑝))
5857reximi2 3069 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚𝑝𝑝𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
5944, 58syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
60 eluni2 4917 . . . 4 (𝑚 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
6159, 60sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
6243, 61eqelssd 4001 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴)
63 unieq 4924 . . . 4 (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → 𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
6463eqeq1d 2728 . . 3 (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → ( 𝑐 = 𝐴 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴))
6564rspcev 3608 . 2 (({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
6616, 62, 65syl2anc 582 1 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462  wss 3947  c0 4325  𝒫 cpw 4607   cuni 4913   × cxp 5680  ran crn 5683   Fn wfn 6549  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  1c1 11159   + caddc 11161   / cdiv 11921  2c2 12319  cz 12610  (,)cioo 13378  [,)cico 13380  cexp 14081  topGenctg 17452   ×t ctx 23555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-refld 21601  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-fcls 23936  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-cfil 25274  df-cmet 25276  df-cms 25354  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583  df-cxp 26584  df-logb 26793
This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  34118  sxbrsigalem1  34119
  Copyright terms: Public domain W3C validator