Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocuni 31154
Description: Every open set of (ℝ × ℝ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This union must be a countable union by dya2iocct 31151. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocuni (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑐,𝑣,𝐴   𝑅,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑐)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem dya2iocuni
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3983 . . . 4 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ ran 𝑅
2 sxbrsiga.0 . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 dya2ioc.1 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4 dya2ioc.2 . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
52, 3, 4dya2iocrfn 31150 . . . . . . 7 𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼)
6 zex 11844 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ V
76, 6mpoex 7640 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ∈ V
83, 7eqeltri 2881 . . . . . . . . 9 𝐼 ∈ V
98rnex 7480 . . . . . . . 8 ran 𝐼 ∈ V
109, 9xpex 7340 . . . . . . 7 (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V
11 fnex 6853 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∧ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
125, 10, 11mp2an 688 . . . . . 6 𝑅 ∈ V
1312rnex 7480 . . . . 5 ran 𝑅 ∈ V
1413elpw2 5146 . . . 4 ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ↔ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ ran 𝑅)
151, 14mpbir 232 . . 3 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅
1615a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅)
17 rex0 4243 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧𝑏𝑏𝐴)
18 rexeq 3368 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧𝑏𝑏𝐴)))
1917, 18mtbiri 328 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
2019ralrimivw 3152 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
21 rabeq0 4264 . . . . . . . . 9 ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
2220, 21sylibr 235 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
2322unieqd 4761 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
24 uni0 4778 . . . . . . 7 ∅ = ∅
2523, 24syl6eq 2849 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
26 0ss 4276 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
2725, 26syl6eqss 3948 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
28 elequ2 2098 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑝 → (𝑧𝑏𝑧𝑝))
29 sseq1 3919 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑝 → (𝑏𝐴𝑝𝐴))
3028, 29anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑝 → ((𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
3130rexbidv 3262 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑝 → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
3231elrab 3621 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ↔ (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑝𝑝𝐴) → 𝑝𝐴)
3433reximi 3209 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴) → ∃𝑧𝐴 𝑝𝐴)
35 r19.9rzv 4365 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝𝐴 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑝𝐴))
3634, 35syl5ibr 247 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴) → 𝑝𝐴))
3736adantld 491 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝𝐴))
3832, 37syl5bi 243 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → 𝑝𝐴))
3938ralrimiv 3150 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑝𝐴)
40 unissb 4782 . . . . . 6 ( {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑝𝐴)
4139, 40sylibr 235 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
4227, 41pm2.61ine 3070 . . . 4 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴
4342a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
442, 3, 4dya2iocnei 31153 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → ∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚𝑝𝑝𝐴))
45 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝 ∈ ran 𝑅)
46 ssel2 3890 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝐴𝑚𝑝) → 𝑚𝐴)
4746ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑝𝑝𝐴) → 𝑚𝐴)
4847adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑚𝐴)
49 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑚𝑝𝑝𝐴))
50 elequ1 2090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑚 → (𝑧𝑝𝑚𝑝))
5150anbi1d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑚 → ((𝑧𝑝𝑝𝐴) ↔ (𝑚𝑝𝑝𝐴)))
5251rspcev 3561 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝐴 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴))
5348, 49, 52syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴))
5445, 53jca 512 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
5554, 32sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
56 simprl 767 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑚𝑝)
5755, 56jca 512 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∧ 𝑚𝑝))
5857reximi2 3210 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚𝑝𝑝𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
5944, 58syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
60 eluni2 4755 . . . 4 (𝑚 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
6159, 60sylibr 235 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
6243, 61eqelssd 3915 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴)
63 unieq 4759 . . . 4 (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → 𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
6463eqeq1d 2799 . . 3 (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → ( 𝑐 = 𝐴 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴))
6564rspcev 3561 . 2 (({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
6616, 62, 65syl2anc 584 1 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  wrex 3108  {crab 3111  Vcvv 3440  wss 3865  c0 4217  𝒫 cpw 4459   cuni 4751   × cxp 5448  ran crn 5451   Fn wfn 6227  cfv 6232  (class class class)co 7023  cmpo 7025  1c1 10391   + caddc 10393   / cdiv 11151  2c2 11546  cz 11835  (,)cioo 12592  [,)cico 12594  cexp 13283  topGenctg 16544   ×t ctx 21856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261  df-pi 15263  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-refld 20435  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-cmp 21683  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-fcls 22237  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-cfil 23545  df-cmet 23547  df-cms 23625  df-limc 24151  df-dv 24152  df-log 24825  df-cxp 24826  df-logb 25028
This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  31155  sxbrsigalem1  31156
  Copyright terms: Public domain W3C validator