Theorem dya2iocuni 34957

Description: Every open set of (ℝ × ℝ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This union must be a countable union by dya2iocct 34954. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocuni	⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑐,𝑣,𝐴   𝑅,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑛)   𝑅(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛)   𝐼(𝑛, 𝑐)   𝐽(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛, 𝑐)

Proof of Theorem dya2iocuni

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4005	. . . 4 ⊢ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ ran 𝑅
2		sxbrsiga.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		dya2ioc.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4		dya2ioc.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
5	2, 3, 4	dya2iocrfn 34953	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼)
6		zex 12702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
7	6, 6	mpoex 8092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ∈ V
8	3, 7	eqeltri 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ V
9	8	rnex 7922	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝐼 ∈ V
10	9, 9	xpex 7767	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V
11		fnex 7223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∧ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
12	5, 10, 11	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 ∈ V
13	12	rnex 7922	. . . . 5 ⊢ ran 𝑅 ∈ V
14	13	elpw2 5295	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ↔ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ ran 𝑅)
15	1, 14	mpbir 234	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅)
17		rex0 4307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)
18		rexeq 3315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)))
19	17, 18	mtbiri 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
20	19	ralrimivw 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
21		rabeq0 4337	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴))
22	20, 21	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅)
23	22	unieqd 4879	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∪ ∅)
24		uni0 4895	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
25	23, 24	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = ∅)
26		0ss 4349	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
27	25, 26	eqsstrdi 3952	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
28		elequ2 2159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↔ 𝑧 ∈ 𝑝))
29		sseq1 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (𝑏 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑝 ⊆ 𝐴))
30	28, 29	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → ((𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
31	30	rexbidv 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑝 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
32	31	elrab 3644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ↔ (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
33		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ 𝐴)
34	33	reximi 3100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑝 ⊆ 𝐴)
35		r19.9rzv 4460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑝 ⊆ 𝐴))
36	34, 35	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑝 ⊆ 𝐴))
37	36	adantld 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ⊆ 𝐴))
38	32, 37	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → 𝑝 ⊆ 𝐴))
39	38	ralrimiv 3153	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑝 ⊆ 𝐴)
40		unissb 4900	. . . . . 6 ⊢ (∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑝 ⊆ 𝐴)
41	39, 40	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
42	27, 41	pm2.61ine 3038	. . . 4 ⊢ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ⊆ 𝐴)
44	2, 3, 4	dya2iocnei 34956	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
45		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ∈ ran 𝑅)
46		ssel2 3903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑚 ∈ 𝑝) → 𝑚 ∈ 𝐴)
47	46	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
48	47	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑚 ∈ 𝐴)
49		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
50		elequ1 2151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → (𝑧 ∈ 𝑝 ↔ 𝑚 ∈ 𝑝))
51	50	anbi1d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → ((𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
52	51	rspcev 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
53	48, 49, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴))
54	45, 53	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)))
55	54, 32	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
56		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → 𝑚 ∈ 𝑝)
57	55, 56	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴)) → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∧ 𝑚 ∈ 𝑝))
58	57	reximi2 3095	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
59	44, 58	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
60		eluni2 4870	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)}𝑚 ∈ 𝑝)
61	59, 60	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
62	43, 61	eqelssd 3929	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴)
63		unieq 4877	. . . 4 ⊢ (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → ∪ 𝑐 = ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)})
64	63	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} → (∪ 𝑐 = 𝐴 ↔ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴))
65	64	rspcev 3576	. 2 ⊢ (({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴)} = 𝐴) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)
66	16, 62, 65	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   × cxp 5648  ran crn 5651   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  1c1 11201   + caddc 11203   / cdiv 11973  2c2 12397  ℤcz 12693  (,)cioo 13476  [,)cico 13478  ↑cexp 14204  topGenctg 17608   ×_t ctx 23879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-refld 21911  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-fcls 24260  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-cfil 25576  df-cmet 25578  df-cms 25656  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093

This theorem is used by:  dya2iocucvr  34958  sxbrsigalem1  34959