Theorem clwwlknondisj 29628

Description: The sets of closed walks on different vertices are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 3-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknondisj	⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉

Proof of Theorem clwwlknondisj

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon 29607	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}
2		clwwlknon 29607	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}
3	1, 2	ineq12i 4211	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦})
4		inrab 4307	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)}
5		eqtr2 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
6	5	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
7	6	ralrimivw 3149	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
8		rabeq0 4385	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
9	7, 8	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)} = ∅)
10	4, 9	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}) = ∅)
11	3, 10	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
12	11	orri 859	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
13	12	rgen2w 3065	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
14		oveq1 7419	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
15	14	disjor 5129	. 2 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅))
16	13, 15	mpbir 230	1 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540  ∀wral 3060  {crab 3431   ∩ cin 3948  ∅c0 4323  Disj wdisj 5114  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113   ClWWalksN cclwwlkn 29541  ClWWalksNOncclwwlknon 29604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-clwwlk 29499  df-clwwlkn 29542  df-clwwlknon 29605

This theorem is referenced by:  numclwwlk4  29903