Theorem clwwlknondisj 30143

Description: The sets of closed walks on different vertices are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 3-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknondisj	⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉

Proof of Theorem clwwlknondisj

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon 30122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}
2		clwwlknon 30122	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}
3	1, 2	ineq12i 4239	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦})
4		inrab 4335	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)}
5		eqtr2 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
6	5	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
7	6	ralrimivw 3156	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
8		rabeq0 4411	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
9	7, 8	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)} = ∅)
10	4, 9	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}) = ∅)
11	3, 10	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
12	11	orri 861	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
13	12	rgen2w 3072	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
14		oveq1 7455	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
15	14	disjor 5148	. 2 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅))
16	13, 15	mpbir 231	1 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537  ∀wral 3067  {crab 3443   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  Disj wdisj 5133  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184   ClWWalksN cclwwlkn 30056  ClWWalksNOncclwwlknon 30119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-clwwlk 30014  df-clwwlkn 30057  df-clwwlknon 30120

This theorem is referenced by:  numclwwlk4  30418