Theorem clwwlknondisj 30092

Description: The sets of closed walks on different vertices are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 3-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknondisj	⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉

Proof of Theorem clwwlknondisj

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon 30071	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}
2		clwwlknon 30071	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}
3	1, 2	ineq12i 4193	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦})
4		inrab 4291	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)}
5		eqtr2 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
6	5	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
7	6	ralrimivw 3136	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
8		rabeq0 4363	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
9	7, 8	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)} = ∅)
10	4, 9	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}) = ∅)
11	3, 10	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
12	11	orri 862	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
13	12	rgen2w 3056	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
14		oveq1 7412	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
15	14	disjor 5101	. 2 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅))
16	13, 15	mpbir 231	1 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540  ∀wral 3051  {crab 3415   ∩ cin 3925  ∅c0 4308  Disj wdisj 5086  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129   ClWWalksN cclwwlkn 30005  ClWWalksNOncclwwlknon 30068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-clwwlk 29963  df-clwwlkn 30006  df-clwwlknon 30069

This theorem is referenced by:  numclwwlk4  30367