Theorem clwwlknondisj 28475

Description: The sets of closed walks on different vertices are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 3-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknondisj	⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉

Proof of Theorem clwwlknondisj

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon 28454	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}
2		clwwlknon 28454	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}
3	1, 2	ineq12i 4144	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦})
4		inrab 4240	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)}
5		eqtr2 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
6	5	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
7	6	ralrimivw 3104	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
8		rabeq0 4318	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
9	7, 8	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)} = ∅)
10	4, 9	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}) = ∅)
11	3, 10	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
12	11	orri 859	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
13	12	rgen2w 3077	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
14		oveq1 7282	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
15	14	disjor 5054	. 2 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅))
16	13, 15	mpbir 230	1 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539  ∀wral 3064  {crab 3068   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  Disj wdisj 5039  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   ClWWalksN cclwwlkn 28388  ClWWalksNOncclwwlknon 28451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-clwwlk 28346  df-clwwlkn 28389  df-clwwlknon 28452

This theorem is referenced by:  numclwwlk4  28750