MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknondisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknondisj 28194
Description: The sets of closed walks on different vertices are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 3-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 28-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknondisj Disj 𝑥𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉

Proof of Theorem clwwlknondisj
Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknon 28173 . . . . . 6 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}
2 clwwlknon 28173 . . . . . 6 (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}
31, 2ineq12i 4125 . . . . 5 ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦})
4 inrab 4221 . . . . . 6 ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)}
5 eqtr2 2761 . . . . . . . . 9 (((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
65con3i 157 . . . . . . . 8 𝑥 = 𝑦 → ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
76ralrimivw 3106 . . . . . . 7 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
8 rabeq0 4299 . . . . . . 7 ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦))
97, 8sylibr 237 . . . . . 6 𝑥 = 𝑦 → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑥 ∧ (𝑤‘0) = 𝑦)} = ∅)
104, 9syl5eq 2790 . . . . 5 𝑥 = 𝑦 → ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑦}) = ∅)
113, 10syl5eq 2790 . . . 4 𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
1211orri 862 . . 3 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
1312rgen2w 3074 . 2 𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅)
14 oveq1 7220 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
1514disjor 5033 . 2 (Disj 𝑥𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥 = 𝑦 ∨ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∩ (𝑦(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ∅))
1613, 15mpbir 234 1 Disj 𝑥𝑉 (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wral 3061  {crab 3065  cin 3865  c0 4237  Disj wdisj 5018  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729   ClWWalksN cclwwlkn 28107  ClWWalksNOncclwwlknon 28170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-clwwlk 28065  df-clwwlkn 28108  df-clwwlknon 28171
This theorem is referenced by:  numclwwlk4  28469
  Copyright terms: Public domain W3C validator