Theorem clwwlknon 30175

Description: The set of closed walks on vertex 𝑋 of length 𝑁 in a graph 𝐺 as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon	⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋

Proof of Theorem clwwlknon

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2749	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑋))
2	1	rabbidv 3397	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
3		oveq1 7367	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4	3	rabeqdv 3405	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
5		clwwlknonmpo 30174	. . 3 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
6		ovex 7393	. . . 4 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ V
7	6	rabex 5276	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V
8	2, 4, 5, 7	ovmpo 7520	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
9	5	mpondm0 7600	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
10		isclwwlkn 30112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
11		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12	11	clwwlkbp 30070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅))
13		fstwrdne 14508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
14	13	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17	10, 16	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
18	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
19		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))
21	18, 20	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
22		clwwlknnn 30118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
25	21, 24	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
26	25	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑤‘0) = 𝑋 → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
27	26	con3rr3 155	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑋))
28	27	ralrimiv 3129	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑋)
29		rabeq0 4329	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑋)
30	28, 29	sylibr 234	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅)
31	9, 30	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
32	8, 31	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  ℕ₀cn0 12428  ♯chash 14283  Word cword 14466  Vtxcvtx 29079  ClWWalkscclwwlk 30066   ClWWalksN cclwwlkn 30109  ClWWalksNOncclwwlknon 30172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-clwwlk 30067  df-clwwlkn 30110  df-clwwlknon 30173

This theorem is referenced by:  isclwwlknon  30176  clwwlknonfin  30179  clwwlknon1  30182  clwwlknon2  30187  clwwlknondisj  30196  clwwlkvbij  30198  extwwlkfab  30437  clwwlknonclwlknonf1o  30447