Theorem clwwlknon 30560

Description: The set of closed walks on vertex 𝑋 of length 𝑁 in a graph 𝐺 as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon	⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋

Proof of Theorem clwwlknon

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2772	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑋))
2	1	rabbidv 3419	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
3		oveq1 7420	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4	3	rabeqdv 3427	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
5		clwwlknonmpo 30559	. . 3 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
6		ovex 7446	. . . 4 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ V
7	6	rabex 5303	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V
8	2, 4, 5, 7	ovmpo 7573	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
9	5	mpondm0 7654	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
10		isclwwlkn 30497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
11		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12	11	clwwlkbp 30455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅))
13		fstwrdne 14620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
14	13	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
15	12, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17	10, 16	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
18	17	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
19		eleq1 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))
20	19	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))
21	18, 20	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
22		clwwlknnn 30503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
25	21, 24	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
26	25	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑤‘0) = 𝑋 → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
27	26	con3rr3 156	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑋))
28	27	ralrimiv 3153	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑋)
29		rabeq0 4338	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑋)
30	28, 29	sylibr 237	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅)
31	9, 30	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
32	8, 31	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  ℕ₀cn0 12528  ♯chash 14394  Word cword 14578  Vtxcvtx 29453  ClWWalkscclwwlk 30451   ClWWalksN cclwwlkn 30494  ClWWalksNOncclwwlknon 30557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-clwwlk 30452  df-clwwlkn 30495  df-clwwlknon 30558

This theorem is used by:  isclwwlknon  30561  clwwlknonfin  30564  clwwlknon1  30567  clwwlknon2  30572  clwwlknondisj  30581  clwwlkvbij  30583  extwwlkfab  30832  clwwlknonclwlknonf1o  30842