Theorem clwwlknon 30674

Description: The set of closed walks on vertex 𝑋 of length 𝑁 in a graph 𝐺 as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon	⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋

Proof of Theorem clwwlknon

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2773	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑋))
2	1	rabbidv 3420	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
3		oveq1 7425	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4	3	rabeqdv 3428	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
5		clwwlknonmpo 30673	. . 3 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
6		ovex 7451	. . . 4 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ V
7	6	rabex 5300	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V
8	2, 4, 5, 7	ovmpo 7578	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
9	5	mpondm0 7659	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
10		isclwwlkn 30611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
11		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12	11	clwwlkbp 30569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅))
13		fstwrdne 14693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
14	13	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
15	12, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17	10, 16	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
18	17	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
19		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))
20	19	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))
21	18, 20	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
22		clwwlknnn 30617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
25	21, 24	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
26	25	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑤‘0) = 𝑋 → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
27	26	con3rr3 156	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑋))
28	27	ralrimiv 3154	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑋)
29		rabeq0 4338	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑋)
30	28, 29	sylibr 237	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅)
31	9, 30	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
32	8, 31	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  ℕ₀cn0 12599  ♯chash 14467  Word cword 14651  Vtxcvtx 29567  ClWWalkscclwwlk 30565   ClWWalksN cclwwlkn 30608  ClWWalksNOncclwwlknon 30671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-clwwlk 30566  df-clwwlkn 30609  df-clwwlknon 30672

This theorem is used by:  isclwwlknon  30675  clwwlknonfin  30678  clwwlknon1  30681  clwwlknon2  30686  clwwlknondisj  30695  clwwlkvbij  30697  extwwlkfab  30946  clwwlknonclwlknonf1o  30956