MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknon 29944
Description: The set of closed walks on vertex 𝑋 of length 𝑁 in a graph 𝐺 as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknon (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋}
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑀,𝑋

Proof of Theorem clwwlknon
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2737 . . . 4 (𝑣 = 𝑋 β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑣 ↔ (π‘€β€˜0) = 𝑋))
21rabbidv 3427 . . 3 (𝑣 = 𝑋 β†’ {𝑀 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑣} = {𝑀 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋})
3 oveq1 7423 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
43rabeqdv 3435 . . 3 (𝑛 = 𝑁 β†’ {𝑀 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋} = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋})
5 clwwlknonmpo 29943 . . 3 (ClWWalksNOnβ€˜πΊ) = (𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ), 𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑀 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑣})
6 ovex 7449 . . . 4 (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ V
76rabex 5329 . . 3 {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋} ∈ V
82, 4, 5, 7ovmpo 7578 . 2 ((𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋})
95mpondm0 7658 . . 3 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = βˆ…)
10 isclwwlkn 29881 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 𝑁))
11 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
1211clwwlkbp 29839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 β‰  βˆ…))
13 fstwrdne 14537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 β‰  βˆ…) β†’ (π‘€β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
14133adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 β‰  βˆ…) β†’ (π‘€β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘€β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
1615adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘€) = 𝑁) β†’ (π‘€β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
1710, 16sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (π‘€β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
1817adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) β†’ (π‘€β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
19 eleq1 2813 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜0) = 𝑋 β†’ ((π‘€β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
2019adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
2118, 20mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
22 clwwlknnn 29887 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2322nnnn0d 12562 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2423adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2521, 24jca 510 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) β†’ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
2625ex 411 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 β†’ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0)))
2726con3rr3 155 . . . . 5 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ Β¬ (π‘€β€˜0) = 𝑋))
2827ralrimiv 3135 . . . 4 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) Β¬ (π‘€β€˜0) = 𝑋)
29 rabeq0 4380 . . . 4 ({𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋} = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) Β¬ (π‘€β€˜0) = 𝑋)
3028, 29sylibr 233 . . 3 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋} = βˆ…)
319, 30eqtr4d 2768 . 2 (Β¬ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋})
328, 31pm2.61i 182 1 (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463  βˆ…c0 4318  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  β„•0cn0 12502  β™―chash 14321  Word cword 14496  Vtxcvtx 28853  ClWWalkscclwwlk 29835   ClWWalksN cclwwlkn 29878  ClWWalksNOncclwwlknon 29941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-clwwlk 29836  df-clwwlkn 29879  df-clwwlknon 29942
This theorem is referenced by:  isclwwlknon  29945  clwwlknonfin  29948  clwwlknon1  29951  clwwlknon2  29956  clwwlknondisj  29965  clwwlkvbij  29967  extwwlkfab  30206  clwwlknonclwlknonf1o  30216
  Copyright terms: Public domain W3C validator