Theorem clwwlknon 30023

Description: The set of closed walks on vertex 𝑋 of length 𝑁 in a graph 𝐺 as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon	⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋

Proof of Theorem clwwlknon

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2738	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑋))
2	1	rabbidv 3427	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
3		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4	3	rabeqdv 3435	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
5		clwwlknonmpo 30022	. . 3 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
6		ovex 7457	. . . 4 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ V
7	6	rabex 5339	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V
8	2, 4, 5, 7	ovmpo 7586	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
9	5	mpondm0 7666	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ∅)
10		isclwwlkn 29960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
11		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12	11	clwwlkbp 29918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅))
13		fstwrdne 14563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
14	13	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
16	15	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17	10, 16	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
18	17	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
19		eleq1 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))
20	19	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))
21	18, 20	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
22		clwwlknnn 29966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → 𝑁 ∈ ℕ0)
25	21, 24	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
26	25	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑤‘0) = 𝑋 → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
27	26	con3rr3 155	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑋))
28	27	ralrimiv 3135	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑋)
29		rabeq0 4389	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑋)
30	28, 29	sylibr 233	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅)
31	9, 30	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
32	8, 31	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  ∅c0 4325  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14347  Word cword 14522  Vtxcvtx 28932  ClWWalkscclwwlk 29914   ClWWalksN cclwwlkn 29957  ClWWalksNOncclwwlknon 30020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-clwwlk 29915  df-clwwlkn 29958  df-clwwlknon 30021

This theorem is referenced by:  isclwwlknon  30024  clwwlknonfin  30027  clwwlknon1  30030  clwwlknon2  30035  clwwlknondisj  30044  clwwlkvbij  30046  extwwlkfab  30285  clwwlknonclwlknonf1o  30295