MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrnloop0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrnloop0ALT 29237
Description: Alternate proof of usgrnloop0 29236, not using umgrnloop0 29141. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrnloopv.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgrnloop0ALT (𝐺 ∈ USGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem usgrnloop0ALT
StepHypRef Expression
1 neirr 2947 . . . . 5 ¬ 𝑈𝑈
2 usgrnloopv.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
32usgrnloop 29234 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈, 𝑈} → 𝑈𝑈))
41, 3mtoi 199 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈, 𝑈})
5 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐸𝑥) = {𝑈}) → (𝐸𝑥) = {𝑈})
6 dfsn2 4644 . . . . . . 7 {𝑈} = {𝑈, 𝑈}
75, 6eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐸𝑥) = {𝑈}) → (𝐸𝑥) = {𝑈, 𝑈})
87ex 412 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐸𝑥) = {𝑈} → (𝐸𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
98reximdv 3168 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈} → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
104, 9mtod 198 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈})
11 ralnex 3070 . . 3 (∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸𝑥) = {𝑈} ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈})
1210, 11sylibr 234 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸𝑥) = {𝑈})
13 rabeq0 4394 . 2 ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸𝑥) = {𝑈})
1412, 13sylibr 234 1 (𝐺 ∈ USGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  dom cdm 5689  cfv 6563  iEdgciedg 29029  USGraphcusgr 29181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-usgr 29183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator