MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbumgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbumgr 29173
Description: The set of neighbors of an arbitrary class in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nbuhgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbumgr (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgr
StepHypRef Expression
1 nbuhgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 nbuhgr.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2nbumgrvtx 29172 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
43expcom 413 . 2 (𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5 df-nel 3044 . . . . . 6 (𝑁𝑉 ↔ ¬ 𝑁𝑉)
61nbgrnvtx0 29165 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
75, 6sylbir 234 . . . . 5 𝑁𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
87adantr 480 . . . 4 ((¬ 𝑁𝑉𝐺 ∈ UMGraph) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
91, 2umgrpredgv 28966 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → (𝑁𝑉𝑛𝑉))
109simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → 𝑁𝑉)
1110ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸𝑁𝑉))
1211adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑉𝐺 ∈ UMGraph) → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸𝑁𝑉))
1312con3d 152 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑉𝐺 ∈ UMGraph) → (¬ 𝑁𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
1413ex 412 . . . . . . . 8 (𝑛𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ 𝑁𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
1514com13 88 . . . . . . 7 𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑛𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
1615imp 406 . . . . . 6 ((¬ 𝑁𝑉𝐺 ∈ UMGraph) → (𝑛𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
1716ralrimiv 3142 . . . . 5 ((¬ 𝑁𝑉𝐺 ∈ UMGraph) → ∀𝑛𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
18 rabeq0 4385 . . . . 5 ({𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑛𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
1917, 18sylibr 233 . . . 4 ((¬ 𝑁𝑉𝐺 ∈ UMGraph) → {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅)
208, 19eqtr4d 2771 . . 3 ((¬ 𝑁𝑉𝐺 ∈ UMGraph) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
2120ex 412 . 2 𝑁𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
224, 21pm2.61i 182 1 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wnel 3043  wral 3058  {crab 3429  c0 4323  {cpr 4631  cfv 6548  (class class class)co 7420  Vtxcvtx 28822  Edgcedg 28873  UMGraphcumgr 28907   NeighbVtx cnbgr 29158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323  df-edg 28874  df-upgr 28908  df-umgr 28909  df-nbgr 29159
This theorem is referenced by:  nbusgr  29175
  Copyright terms: Public domain W3C validator