Theorem nbumgr 29108

Description: The set of neighbors of an arbitrary class in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbumgr	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbuhgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbuhgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbumgrvtx 29107	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
4	3	expcom 413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5		df-nel 3041	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ 𝑉 ↔ ¬ 𝑁 ∈ 𝑉)
6	1	nbgrnvtx0 29100	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
7	5, 6	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
9	1, 2	umgrpredgv 28904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉))
10	9	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ 𝑉)
11	10	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ 𝑉))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ 𝑉))
13	12	con3d 152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
14	13	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
15	14	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑛 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
16	15	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝑛 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
17	16	ralrimiv 3139	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ∀𝑛 ∈ 𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
18		rabeq0 4379	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
19	17, 18	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅)
20	8, 19	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
22	4, 21	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3040  ∀wral 3055  {crab 3426  ∅c0 4317  {cpr 4625  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Vtxcvtx 28760  Edgcedg 28811  UMGraphcumgr 28845   NeighbVtx cnbgr 29093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-hash 14294  df-edg 28812  df-upgr 28846  df-umgr 28847  df-nbgr 29094

This theorem is referenced by:  nbusgr  29110