Theorem nbumgr 29073

Description: The set of neighbors of an arbitrary class in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbumgr	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbuhgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbuhgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbumgrvtx 29072	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
4	3	expcom 413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5		df-nel 3039	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ 𝑉 ↔ ¬ 𝑁 ∈ 𝑉)
6	1	nbgrnvtx0 29065	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
7	5, 6	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
9	1, 2	umgrpredgv 28869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉))
10	9	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ 𝑉)
11	10	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ 𝑉))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ 𝑉))
13	12	con3d 152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
14	13	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
15	14	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑛 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
16	15	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝑛 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
17	16	ralrimiv 3137	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ∀𝑛 ∈ 𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
18		rabeq0 4376	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
19	17, 18	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅)
20	8, 19	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
22	4, 21	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3038  ∀wral 3053  {crab 3424  ∅c0 4314  {cpr 4622  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Vtxcvtx 28725  Edgcedg 28776  UMGraphcumgr 28810   NeighbVtx cnbgr 29058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-edg 28777  df-upgr 28811  df-umgr 28812  df-nbgr 29059

This theorem is referenced by:  nbusgr  29075