Theorem nbumgr 29921

Description: The set of neighbors of an arbitrary class in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbumgr	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbuhgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbuhgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbumgrvtx 29920	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
4	3	expcom 419	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5		df-nel 3063	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ 𝑉 ↔ ¬ 𝑁 ∈ 𝑉)
6	1	nbgrnvtx0 29913	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
7	5, 6	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
9	1, 2	umgrpredgv 29711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉))
10	9	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ 𝑉)
11	10	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ 𝑉))
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ 𝑉))
13	12	con3d 153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
14	13	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
15	14	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑛 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
16	15	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝑛 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
17	16	ralrimiv 3154	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ∀𝑛 ∈ 𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
18		rabeq0 4338	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
19	17, 18	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅)
20	8, 19	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
21	20	ex 418	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
22	4, 21	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062  ∀wral 3077  {crab 3413  ∅c0 4279  {cpr 4586  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Vtxcvtx 29567  Edgcedg 29618  UMGraphcumgr 29652   NeighbVtx cnbgr 29906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-hash 14468  df-edg 29619  df-upgr 29653  df-umgr 29654  df-nbgr 29907

This theorem is used by:  nbusgr  29923