Theorem nbumgr 29985

Description: The set of neighbors of an arbitrary class in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbuhgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbuhgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbumgr	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑛,𝐸

Proof of Theorem nbumgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbuhgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		nbuhgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbumgrvtx 29984	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
4	3	expcom 419	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
5		df-nel 3066	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ 𝑉 ↔ ¬ 𝑁 ∈ 𝑉)
6	1	nbgrnvtx0 29977	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
7	5, 6	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = ∅)
9	1, 2	umgrpredgv 29775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉))
10	9	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ 𝑉)
11	10	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ 𝑉))
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ({𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ 𝑉))
13	12	con3d 153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
14	13	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
15	14	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑛 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)))
16	15	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝑛 ∈ 𝑉 → ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸))
17	16	ralrimiv 3157	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ∀𝑛 ∈ 𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
18		rabeq0 4341	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑉 ¬ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸)
19	17, 18	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸} = ∅)
20	8, 19	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})
21	20	ex 418	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸}))
22	4, 21	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑁, 𝑛} ∈ 𝐸})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  ∀wral 3080  {crab 3416  ∅c0 4281  {cpr 4590  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Vtxcvtx 29631  Edgcedg 29682  UMGraphcumgr 29716   NeighbVtx cnbgr 29970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-edg 29683  df-upgr 29717  df-umgr 29718  df-nbgr 29971

This theorem is used by:  nbusgr  29987