Theorem dsmm0cl 21672

Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmm0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dsmm0cl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmm0cl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmcl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		dsmmcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		dsmmcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
5	1, 2, 3, 4	prdsmndd 18673	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		dsmm0cl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
8	6, 7	mndidcl 18652	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑃))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑃))
10	1, 2, 3, 4	prds0g 18674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑃))
11	10, 7	eqtr4di 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = 0 )
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (0g ∘ 𝑅) = 0 )
13	12	fveq1d 6819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = ( 0 ‘𝑎))
14	4	ffnd 6647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
15		fvco2 6914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
16	14, 15	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
17	13, 16	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
18		nne 2932	. . . . . 6 ⊢ (¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ( 0 ‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
19	17, 18	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
20	19	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐼 ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
21		rabeq0 4333	. . . 4 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐼 ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
22	20, 21	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = ∅)
23		0fi 8959	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
24	22, 23	eqeltrdi 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
25		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
26		dsmmcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
27	1, 25, 6, 26, 2, 14	dsmmelbas 21671	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐻 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
28	9, 24, 27	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  ∅c0 4278   ∘ ccom 5615   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  X_scprds 17344  Mndcmnd 18637   ⊕_m cdsmm 21663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-prds 17346  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-dsmm 21664

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21675