MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmm0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmm0cl 21630
Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h 𝐻 = (Baseβ€˜(𝑆 βŠ•m 𝑅))
dsmmcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
dsmmcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
dsmm0cl.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
dsmm0cl (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmm0cl
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . . 4 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 dsmmcl.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 dsmmcl.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 dsmmcl.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 18697 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Mnd)
6 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 dsmm0cl.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
86, 7mndidcl 18679 . . 3 (𝑃 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
95, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
101, 2, 3, 4prds0g 18698 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘ƒ))
1110, 7eqtr4di 2784 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = 0 )
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (0g ∘ 𝑅) = 0 )
1312fveq1d 6886 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘Ž) = ( 0 β€˜π‘Ž))
144ffnd 6711 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
15 fvco2 6981 . . . . . . . 8 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
1614, 15sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
1713, 16eqtr3d 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ( 0 β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
18 nne 2938 . . . . . 6 (Β¬ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ↔ ( 0 β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
1917, 18sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ Β¬ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
2019ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 Β¬ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
21 rabeq0 4379 . . . 4 ({π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} = βˆ… ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 Β¬ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
2220, 21sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} = βˆ…)
23 0fin 9170 . . 3 βˆ… ∈ Fin
2422, 23eqeltrdi 2835 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)
25 eqid 2726 . . 3 (𝑆 βŠ•m 𝑅) = (𝑆 βŠ•m 𝑅)
26 dsmmcl.h . . 3 𝐻 = (Baseβ€˜(𝑆 βŠ•m 𝑅))
271, 25, 6, 26, 2, 14dsmmelbas 21629 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ 𝐻 ↔ ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)))
289, 24, 27mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426  βˆ…c0 4317   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  Basecbs 17150  0gc0g 17391  Xscprds 17397  Mndcmnd 18664   βŠ•m cdsmm 21621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-prds 17399  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-dsmm 21622
This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21633
  Copyright terms: Public domain W3C validator