MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmm0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmm0cl 21268
Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmcl.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmcl.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmm0cl.z 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
dsmm0cl (𝜑0𝐻)

Proof of Theorem dsmm0cl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . . 4 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 dsmmcl.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
3 dsmmcl.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 dsmmcl.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 18645 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Mnd)
6 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7 dsmm0cl.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
86, 7mndidcl 18627 . . 3 (𝑃 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑃))
95, 8syl 17 . 2 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑃))
101, 2, 3, 4prds0g 18646 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑃))
1110, 7eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝑅) = 0 )
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → (0g𝑅) = 0 )
1312fveq1d 6883 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑎) = ( 0𝑎))
144ffnd 6708 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
15 fvco2 6977 . . . . . . . 8 ((𝑅 Fn 𝐼𝑎𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
1614, 15sylan 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
1713, 16eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → ( 0𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
18 nne 2945 . . . . . 6 (¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ ( 0𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
1917, 18sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐼) → ¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))
2019ralrimiva 3147 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝐼 ¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))
21 rabeq0 4382 . . . 4 ({𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = ∅ ↔ ∀𝑎𝐼 ¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))
2220, 21sylibr 233 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = ∅)
23 0fin 9159 . . 3 ∅ ∈ Fin
2422, 23eqeltrdi 2842 . 2 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
25 eqid 2733 . . 3 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
26 dsmmcl.h . . 3 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
271, 25, 6, 26, 2, 14dsmmelbas 21267 . 2 (𝜑 → ( 0𝐻 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
289, 24, 27mpbir2and 712 1 (𝜑0𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  {crab 3433  c0 4320  ccom 5676   Fn wfn 6530  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  Basecbs 17131  0gc0g 17372  Xscprds 17378  Mndcmnd 18612  m cdsmm 21259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-fz 13472  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-hom 17208  df-cco 17209  df-0g 17374  df-prds 17380  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-dsmm 21260
This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21271
  Copyright terms: Public domain W3C validator