Theorem dsmm0cl 21780

Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmm0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dsmm0cl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmm0cl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmcl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		dsmmcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		dsmmcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
5	1, 2, 3, 4	prdsmndd 18795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		dsmm0cl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
8	6, 7	mndidcl 18774	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑃))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑃))
10	1, 2, 3, 4	prds0g 18796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑃))
11	10, 7	eqtr4di 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = 0 )
12	11	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (0g ∘ 𝑅) = 0 )
13	12	fveq1d 6864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = ( 0 ‘𝑎))
14	4	ffnd 6687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
15		fvco2 6959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
16	14, 15	sylan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
17	13, 16	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
18		nne 2960	. . . . . 6 ⊢ (¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ( 0 ‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
19	17, 18	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
20	19	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐼 ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
21		rabeq0 4339	. . . 4 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐼 ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
22	20, 21	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = ∅)
23		0fi 9017	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
24	22, 23	eqeltrdi 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
25		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
26		dsmmcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
27	1, 25, 6, 26, 2, 14	dsmmelbas 21779	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐻 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
28	9, 24, 27	mpbir2and 723	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  {crab 3413  ∅c0 4283   ∘ ccom 5647   Fn wfn 6511  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Fincfn 8921  Basecbs 17236  0_gc0g 17459  X_scprds 17465  Mndcmnd 18759   ⊕_m cdsmm 21771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-prds 17467  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-dsmm 21772

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21783