Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmm0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmm0cl 20505
 Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmcl.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmcl.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmm0cl.z 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
dsmm0cl (𝜑0𝐻)

Proof of Theorem dsmm0cl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . . 4 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 dsmmcl.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
3 dsmmcl.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 dsmmcl.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 18010 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Mnd)
6 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7 dsmm0cl.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
86, 7mndidcl 17992 . . 3 (𝑃 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑃))
95, 8syl 17 . 2 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑃))
101, 2, 3, 4prds0g 18011 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑃))
1110, 7eqtr4di 2811 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝑅) = 0 )
1211adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → (0g𝑅) = 0 )
1312fveq1d 6660 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑎) = ( 0𝑎))
144ffnd 6499 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
15 fvco2 6749 . . . . . . . 8 ((𝑅 Fn 𝐼𝑎𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
1614, 15sylan 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
1713, 16eqtr3d 2795 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → ( 0𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
18 nne 2955 . . . . . 6 (¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ ( 0𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)))
1917, 18sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐼) → ¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))
2019ralrimiva 3113 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝐼 ¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))
21 rabeq0 4280 . . . 4 ({𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = ∅ ↔ ∀𝑎𝐼 ¬ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))
2220, 21sylibr 237 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = ∅)
23 0fin 8740 . . 3 ∅ ∈ Fin
2422, 23eqeltrdi 2860 . 2 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
25 eqid 2758 . . 3 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
26 dsmmcl.h . . 3 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
271, 25, 6, 26, 2, 14dsmmelbas 20504 . 2 (𝜑 → ( 0𝐻 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ ( 0𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
289, 24, 27mpbir2and 712 1 (𝜑0𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  {crab 3074  ∅c0 4225   ∘ ccom 5528   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  Basecbs 16541  0gc0g 16771  Xscprds 16777  Mndcmnd 17977   ⊕m cdsmm 20496 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-prds 16779  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-dsmm 20497 This theorem is referenced by:  dsmmsubg  20508
 Copyright terms: Public domain W3C validator