Theorem dsmm0cl 21679

Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmm0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dsmm0cl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmm0cl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmcl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		dsmmcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		dsmmcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
5	1, 2, 3, 4	prdsmndd 18680	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		dsmm0cl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
8	6, 7	mndidcl 18659	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑃))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑃))
10	1, 2, 3, 4	prds0g 18681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑃))
11	10, 7	eqtr4di 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = 0 )
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (0g ∘ 𝑅) = 0 )
13	12	fveq1d 6830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = ( 0 ‘𝑎))
14	4	ffnd 6657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
15		fvco2 6925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
16	14, 15	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
17	13, 16	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
18		nne 2933	. . . . . 6 ⊢ (¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ( 0 ‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
19	17, 18	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
20	19	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐼 ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
21		rabeq0 4337	. . . 4 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐼 ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
22	20, 21	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = ∅)
23		0fi 8971	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
24	22, 23	eqeltrdi 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
25		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
26		dsmmcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
27	1, 25, 6, 26, 2, 14	dsmmelbas 21678	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐻 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
28	9, 24, 27	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  {crab 3396  ∅c0 4282   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  Basecbs 17122  0_gc0g 17345  X_scprds 17351  Mndcmnd 18644   ⊕_m cdsmm 21670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-prds 17353  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-dsmm 21671

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21682