Theorem dsmm0cl 21761

Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmm0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dsmm0cl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmm0cl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmcl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		dsmmcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		dsmmcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
5	1, 2, 3, 4	prdsmndd 18784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		dsmm0cl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
8	6, 7	mndidcl 18763	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑃))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑃))
10	1, 2, 3, 4	prds0g 18785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑃))
11	10, 7	eqtr4di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = 0 )
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (0g ∘ 𝑅) = 0 )
13	12	fveq1d 6907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = ( 0 ‘𝑎))
14	4	ffnd 6736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
15		fvco2 7005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
16	14, 15	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
17	13, 16	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
18		nne 2943	. . . . . 6 ⊢ (¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ( 0 ‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
19	17, 18	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
20	19	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐼 ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
21		rabeq0 4387	. . . 4 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐼 ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
22	20, 21	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = ∅)
23		0fi 9083	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
24	22, 23	eqeltrdi 2848	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
25		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
26		dsmmcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
27	1, 25, 6, 26, 2, 14	dsmmelbas 21760	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐻 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
28	9, 24, 27	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  {crab 3435  ∅c0 4332   ∘ ccom 5688   Fn wfn 6555  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  0_gc0g 17485  X_scprds 17491  Mndcmnd 18748   ⊕_m cdsmm 21752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-dsmm 21753

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21764