MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmm0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmm0cl 21681
Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h 𝐻 = (Baseβ€˜(𝑆 βŠ•m 𝑅))
dsmmcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
dsmmcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
dsmm0cl.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
dsmm0cl (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmm0cl
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . . 4 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 dsmmcl.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 dsmmcl.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 dsmmcl.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 18734 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Mnd)
6 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 dsmm0cl.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
86, 7mndidcl 18716 . . 3 (𝑃 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
95, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
101, 2, 3, 4prds0g 18735 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘ƒ))
1110, 7eqtr4di 2786 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = 0 )
1211adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (0g ∘ 𝑅) = 0 )
1312fveq1d 6904 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘Ž) = ( 0 β€˜π‘Ž))
144ffnd 6728 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
15 fvco2 7000 . . . . . . . 8 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
1614, 15sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ 𝑅)β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
1713, 16eqtr3d 2770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ( 0 β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
18 nne 2941 . . . . . 6 (Β¬ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ↔ ( 0 β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
1917, 18sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ Β¬ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
2019ralrimiva 3143 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 Β¬ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
21 rabeq0 4388 . . . 4 ({π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} = βˆ… ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 Β¬ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
2220, 21sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} = βˆ…)
23 0fin 9202 . . 3 βˆ… ∈ Fin
2422, 23eqeltrdi 2837 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)
25 eqid 2728 . . 3 (𝑆 βŠ•m 𝑅) = (𝑆 βŠ•m 𝑅)
26 dsmmcl.h . . 3 𝐻 = (Baseβ€˜(𝑆 βŠ•m 𝑅))
271, 25, 6, 26, 2, 14dsmmelbas 21680 . 2 (πœ‘ β†’ ( 0 ∈ 𝐻 ↔ ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ( 0 β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)))
289, 24, 27mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  {crab 3430  βˆ…c0 4326   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187  0gc0g 17428  Xscprds 17434  Mndcmnd 18701   βŠ•m cdsmm 21672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-dsmm 21673
This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21684
  Copyright terms: Public domain W3C validator