Theorem dsmm0cl 21890

Description: The all-zero vector is contained in the finite hull, since its support is empty and therefore finite. This theorem along with the next one effectively proves that the finite hull is a "submonoid", although that does not exist as a defined concept yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmm0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dsmm0cl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmm0cl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmcl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		dsmmcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		dsmmcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
5	1, 2, 3, 4	prdsmndd 18823	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		dsmm0cl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
8	6, 7	mndidcl 18802	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑃))
9	5, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑃))
10	1, 2, 3, 4	prds0g 18824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑃))
11	10, 7	eqtr4di 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = 0 )
12	11	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (0g ∘ 𝑅) = 0 )
13	12	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = ( 0 ‘𝑎))
14	4	ffnd 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
15		fvco2 6978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
16	14, 15	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
17	13, 16	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
18		nne 2962	. . . . . 6 ⊢ (¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ( 0 ‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
19	17, 18	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
20	19	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐼 ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
21		rabeq0 4345	. . . 4 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐼 ¬ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))
22	20, 21	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = ∅)
23		0fi 9035	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
24	22, 23	eqeltrdi 2871	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
25		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
26		dsmmcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
27	1, 25, 6, 26, 2, 14	dsmmelbas 21889	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 ∈ 𝐻 ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ( 0 ‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
28	9, 24, 27	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416  ∅c0 4286   ∘ ccom 5665   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  X_scprds 17493  Mndcmnd 18787   ⊕_m cdsmm 21881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-prds 17495  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-dsmm 21882

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21893