Theorem cshws0 17149

Description: The size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting an empty word is 0. (Contributed by AV, 8-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshws0	⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem cshws0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrepswhash1.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
2		0ex 5261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
3		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
4	2, 3	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 ∈ V)
5		hasheq0 14387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
6	5	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
7	4, 6	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
8	7	ibi 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
9	8	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
10		fzo0 13700	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^0) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
12	11	rexeqdv 3324	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 ↔ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤))
13	12	rabbidv 3424	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤})
14		rex0 4316	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
16	15	ralrimivw 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
17		rabeq0 4345	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
18	16, 17	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
19	13, 18	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
20	1, 19	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑀 = ∅)
21	20	fveq2d 6875	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = (♯‘∅))
22		hash0 14391	. 2 ⊢ (♯‘∅) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2816	1 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457  ∅c0 4288  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  ..^cfzo 13670  ♯chash 14354  Word cword 14538   cyclShift ccsh 14813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355

This theorem is referenced by: (None)