Theorem cshws0 17120

Description: The size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting an empty word is 0. (Contributed by AV, 8-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshws0	⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem cshws0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrepswhash1.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
2		0ex 5256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
3		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
4	2, 3	mpbiri 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 ∈ V)
5		hasheq0 14373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
6	5	bicomd 225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
8	7	ibi 269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
9	8	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
10		fzo0 13686	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^0) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
12	11	rexeqdv 3320	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 ↔ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤))
13	12	rabbidv 3420	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤})
14		rex0 4312	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
16	15	ralrimivw 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
17		rabeq0 4341	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
18	16, 17	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
19	13, 18	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
20	1, 19	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑀 = ∅)
21	20	fveq2d 6867	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = (♯‘∅))
22		hash0 14377	. 2 ⊢ (♯‘∅) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413  Vcvv 3453  ∅c0 4285  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  Word cword 14523   cyclShift ccsh 14798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341

This theorem is referenced by: (None)