Theorem cshws0 17136

Description: The size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting an empty word is 0. (Contributed by AV, 8-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshws0	⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem cshws0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrepswhash1.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
2		0ex 5313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
3		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
4	2, 3	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 ∈ V)
5		hasheq0 14399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
6	5	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
8	7	ibi 267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
9	8	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
10		fzo0 13720	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^0) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
12	11	rexeqdv 3325	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 ↔ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤))
13	12	rabbidv 3441	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤})
14		rex0 4366	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
16	15	ralrimivw 3148	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
17		rabeq0 4394	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
18	16, 17	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
19	13, 18	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
20	1, 19	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑀 = ∅)
21	20	fveq2d 6911	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = (♯‘∅))
22		hash0 14403	. 2 ⊢ (♯‘∅) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2791	1 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   cyclShift ccsh 14823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367

This theorem is referenced by: (None)