Theorem cshws0 17139

Description: The size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting an empty word is 0. (Contributed by AV, 8-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshws0	⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem cshws0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrepswhash1.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
2		0ex 5307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
3		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
4	2, 3	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 ∈ V)
5		hasheq0 14402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
6	5	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
8	7	ibi 267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
9	8	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
10		fzo0 13723	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^0) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
12	11	rexeqdv 3327	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 ↔ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤))
13	12	rabbidv 3444	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤})
14		rex0 4360	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
16	15	ralrimivw 3150	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
17		rabeq0 4388	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
18	16, 17	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
19	13, 18	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
20	1, 19	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑀 = ∅)
21	20	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = (♯‘∅))
22		hash0 14406	. 2 ⊢ (♯‘∅) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2793	1 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370

This theorem is referenced by: (None)