Theorem cshws0 16655

Description: The size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting an empty word is 0. (Contributed by AV, 8-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshws0	⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem cshws0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrepswhash1.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
2		0ex 5200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
3		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
4	2, 3	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 ∈ V)
5		hasheq0 13930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ V → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
6	5	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
8	7	ibi 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
9	8	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
10		fzo0 13266	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^0) = ∅
11	9, 10	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
12	11	rexeqdv 3326	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 ↔ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤))
13	12	rabbidv 3390	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤})
14		rex0 4272	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
16	15	ralrimivw 3106	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
17		rabeq0 4299	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
18	16, 17	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
19	13, 18	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
20	1, 19	syl5eq 2790	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑀 = ∅)
21	20	fveq2d 6721	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = (♯‘∅))
22		hash0 13934	. 2 ⊢ (♯‘∅) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408  ∅c0 4237  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  ..^cfzo 13238  ♯chash 13896  Word cword 14069   cyclShift ccsh 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897

This theorem is referenced by: (None)