MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshws0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshws0 17042
Description: The size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting an empty word is 0. (Contributed by AV, 8-Nov-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwrepswhash1.m 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
Assertion
Ref Expression
cshws0 (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem cshws0
StepHypRef Expression
1 cshwrepswhash1.m . . . 4 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
2 0ex 5300 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
3 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 = ∅ → (𝑊 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
42, 3mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 = ∅ → 𝑊 ∈ V)
5 hasheq0 14326 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ V → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
65bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ V → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
74, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 = ∅ → (𝑊 = ∅ ↔ (♯‘𝑊) = 0))
87ibi 267 . . . . . . . . 9 (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
98oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
10 fzo0 13659 . . . . . . . 8 (0..^0) = ∅
119, 10eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
1211rexeqdv 3320 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤 ↔ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤))
1312rabbidv 3434 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤})
14 rex0 4352 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
1615ralrimivw 3144 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
17 rabeq0 4379 . . . . . 6 ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤)
1816, 17sylibr 233 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ ∅ (𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
1913, 18eqtrd 2766 . . . 4 (𝑊 = ∅ → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤} = ∅)
201, 19eqtrid 2778 . . 3 (𝑊 = ∅ → 𝑀 = ∅)
2120fveq2d 6888 . 2 (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = (♯‘∅))
22 hash0 14330 . 2 (♯‘∅) = 0
2321, 22eqtrdi 2782 1 (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑀) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468  c0 4317  cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  ..^cfzo 13630  chash 14293  Word cword 14468   cyclShift ccsh 14742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator