Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrvd0nedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrvd0nedg 27330
 Description: If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
usgrvd0nedg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Proof of Theorem usgrvd0nedg
StepHypRef Expression
1 vtxdusgradjvtx.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdusgradjvtx.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2vtxdusgradjvtx 27329 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = (♯‘{𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}))
43eqeq1d 2800 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 ↔ (♯‘{𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0))
51fvexi 6659 . . . . 5 𝑉 ∈ V
65rabex 5199 . . . 4 {𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V
7 hasheq0 13722 . . . 4 ({𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V → ((♯‘{𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅))
86, 7ax-mp 5 . . 3 ((♯‘{𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅)
9 rabeq0 4292 . . . 4 ({𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑣𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
10 ralnex 3199 . . . . . 6 (∀𝑣𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
1110biimpi 219 . . . . 5 (∀𝑣𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (∀𝑣𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
139, 12syl5bi 245 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅ → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
148, 13syl5bi 245 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑣𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
154, 14sylbid 243 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441  ∅c0 4243  {cpr 4527  ‘cfv 6324  0cc0 10528  ♯chash 13688  Vtxcvtx 26796  Edgcedg 26847  USGraphcusgr 26949  VtxDegcvtxdg 27262 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-n0 11888  df-xnn0 11958  df-z 11972  df-uz 12234  df-xadd 12498  df-fz 12888  df-hash 13689  df-edg 26848  df-uhgr 26858  df-ushgr 26859  df-upgr 26882  df-umgr 26883  df-uspgr 26950  df-usgr 26951  df-nbgr 27130  df-vtxdg 27263 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator