Theorem usgrvd0nedg 29943

Description: If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdusgradjvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrvd0nedg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Proof of Theorem usgrvd0nedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdusgradjvtx.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdusgradjvtx.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	vtxdusgradjvtx 29942	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = (♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}))
4	3	eqeq1d 2767	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 ↔ (♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0))
5	1	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6	5	rabex 5311	. . . 4 ⊢ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V
7		hasheq0 14419	. . . 4 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V → ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅)
9		rabeq0 4345	. . . 4 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
10		ralnex 3093	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
11	10	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
13	9, 12	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅ → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
14	8, 13	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
15	4, 14	sylbid 243	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418  Vcvv 3457  ∅c0 4286  {cpr 4593  ‘cfv 6540  0cc0 11117  ♯chash 14386  Vtxcvtx 29403  Edgcedg 29454  USGraphcusgr 29559  VtxDegcvtxdg 29875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-uz 12881  df-xadd 13156  df-fz 13554  df-hash 14387  df-edg 29455  df-uhgr 29465  df-ushgr 29466  df-upgr 29489  df-umgr 29490  df-uspgr 29560  df-usgr 29561  df-nbgr 29743  df-vtxdg 29876

This theorem is used by: (None)