Theorem usgrvd0nedg 29609

Description: If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdusgradjvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrvd0nedg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Proof of Theorem usgrvd0nedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdusgradjvtx.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdusgradjvtx.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	vtxdusgradjvtx 29608	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = (♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}))
4	3	eqeq1d 2738	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 ↔ (♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0))
5	1	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6	5	rabex 5284	. . . 4 ⊢ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V
7		hasheq0 14288	. . . 4 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V → ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅)
9		rabeq0 4340	. . . 4 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
10		ralnex 3062	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
11	10	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
13	9, 12	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅ → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
14	8, 13	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
15	4, 14	sylbid 240	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440  ∅c0 4285  {cpr 4582  ‘cfv 6492  0cc0 11028  ♯chash 14255  Vtxcvtx 29071  Edgcedg 29122  USGraphcusgr 29224  VtxDegcvtxdg 29541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-uz 12754  df-xadd 13029  df-fz 13426  df-hash 14256  df-edg 29123  df-uhgr 29133  df-ushgr 29134  df-upgr 29157  df-umgr 29158  df-uspgr 29225  df-usgr 29226  df-nbgr 29408  df-vtxdg 29542

This theorem is referenced by: (None)