Theorem usgrvd0nedg 29512

Description: If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdusgradjvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrvd0nedg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Proof of Theorem usgrvd0nedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdusgradjvtx.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdusgradjvtx.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	vtxdusgradjvtx 29511	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = (♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}))
4	3	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 ↔ (♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0))
5	1	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6	5	rabex 5275	. . . 4 ⊢ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V
7		hasheq0 14270	. . . 4 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V → ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅)
9		rabeq0 4335	. . . 4 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
10		ralnex 3058	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
11	10	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
13	9, 12	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅ → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
14	8, 13	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
15	4, 14	sylbid 240	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436  ∅c0 4280  {cpr 4575  ‘cfv 6481  0cc0 11006  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28974  Edgcedg 29025  USGraphcusgr 29127  VtxDegcvtxdg 29444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-xadd 13012  df-fz 13408  df-hash 14238  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-ushgr 29037  df-upgr 29060  df-umgr 29061  df-uspgr 29128  df-usgr 29129  df-nbgr 29311  df-vtxdg 29445

This theorem is referenced by: (None)