MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrvd0nedg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem usgrvd0nedg 28787
Description: If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdusgradjvtx.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdusgradjvtx.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
usgrvd0nedg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,π‘ˆ   𝑣,𝑉
Proof of Theorem usgrvd0nedg
StepHypRef Expression
1 vtxdusgradjvtx.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 vtxdusgradjvtx.e . . . 4 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2vtxdusgradjvtx 28786 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸}))
43eqeq1d 2734 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0))
51fvexi 6905 . . . . 5 𝑉 ∈ V
65rabex 5332 . . . 4 {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V
7 hasheq0 14322 . . . 4 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} = βˆ…))
86, 7ax-mp 5 . . 3 ((β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} = βˆ…)
9 rabeq0 4384 . . . 4 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
10 ralnex 3072 . . . . . 6 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
1110biimpi 215 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
139, 12biimtrid 241 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} = βˆ… β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
148, 13biimtrid 241 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
154, 14sylbid 239 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  0cc0 11109  β™―chash 14289  Vtxcvtx 28253  Edgcedg 28304  USGraphcusgr 28406  VtxDegcvtxdg 28719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-xadd 13092  df-fz 13484  df-hash 14290  df-edg 28305  df-uhgr 28315  df-ushgr 28316  df-upgr 28339  df-umgr 28340  df-uspgr 28407  df-usgr 28408  df-nbgr 28587  df-vtxdg 28720
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator