Theorem usgrvd0nedg 29468

Description: If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdusgradjvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrvd0nedg	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Proof of Theorem usgrvd0nedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdusgradjvtx.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdusgradjvtx.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	vtxdusgradjvtx 29467	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = (♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}))
4	3	eqeq1d 2732	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 ↔ (♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0))
5	1	fvexi 6875	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6	5	rabex 5297	. . . 4 ⊢ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V
7		hasheq0 14335	. . . 4 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V → ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅)
9		rabeq0 4354	. . . 4 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
10		ralnex 3056	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
11	10	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
13	9, 12	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸} = ∅ → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
14	8, 13	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
15	4, 14	sylbid 240	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408  Vcvv 3450  ∅c0 4299  {cpr 4594  ‘cfv 6514  0cc0 11075  ♯chash 14302  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  USGraphcusgr 29083  VtxDegcvtxdg 29400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-xadd 13080  df-fz 13476  df-hash 14303  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-ushgr 28993  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-uspgr 29084  df-usgr 29085  df-nbgr 29267  df-vtxdg 29401

This theorem is referenced by: (None)