MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrvd0nedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrvd0nedg 28530
Description: If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdusgradjvtx.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdusgradjvtx.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
usgrvd0nedg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,π‘ˆ   𝑣,𝑉

Proof of Theorem usgrvd0nedg
StepHypRef Expression
1 vtxdusgradjvtx.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 vtxdusgradjvtx.e . . . 4 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2vtxdusgradjvtx 28529 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸}))
43eqeq1d 2735 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ (β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0))
51fvexi 6860 . . . . 5 𝑉 ∈ V
65rabex 5293 . . . 4 {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V
7 hasheq0 14272 . . . 4 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} = βˆ…))
86, 7ax-mp 5 . . 3 ((β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} = βˆ…)
9 rabeq0 4348 . . . 4 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
10 ralnex 3072 . . . . . 6 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
1110biimpi 215 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
139, 12biimtrid 241 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸} = βˆ… β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
148, 13biimtrid 241 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜{𝑣 ∈ 𝑉 ∣ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸}) = 0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
154, 14sylbid 239 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  {cpr 4592  β€˜cfv 6500  0cc0 11059  β™―chash 14239  Vtxcvtx 27996  Edgcedg 28047  USGraphcusgr 28149  VtxDegcvtxdg 28462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-xadd 13042  df-fz 13434  df-hash 14240  df-edg 28048  df-uhgr 28058  df-ushgr 28059  df-upgr 28082  df-umgr 28083  df-uspgr 28150  df-usgr 28151  df-nbgr 28330  df-vtxdg 28463
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator