Theorem eulercrct 28507

Description: A pseudograph with an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ (an "Eulerian pseudograph") has only vertices of even degree. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eulercrct	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulercrct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐺 ∈ UPGraph)
4		upgruhgr 27375	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	2	uhgrfun 27339	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → Fun (iEdg‘𝐺))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9	1, 2, 3, 7, 8	eupth2 28504	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
10	9	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
11		crctprop 28061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	12	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
14	13	iftrued 4464	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = ∅)
15	14	eqeq2d 2749	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ↔ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
16		rabeq0 4315	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
17		notnotr 130	. . . . 5 ⊢ (¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
18	17	ralimi 3086	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
19	16, 18	sylbi 216	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
20	15, 19	syl6bi 252	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
21	10, 20	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067  ∅c0 4253  ifcif 4456  {cpr 4560   class class class wbr 5070  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  0cc0 10802  2c2 11958  ♯chash 13972   ∥ cdvds 15891  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  UHGraphcuhgr 27329  UPGraphcupgr 27353  VtxDegcvtxdg 27735  Trailsctrls 27960  Circuitsccrcts 28053  EulerPathsceupth 28462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-vtx 27271  df-iedg 27272  df-edg 27321  df-uhgr 27331  df-ushgr 27332  df-upgr 27355  df-uspgr 27423  df-vtxdg 27736  df-wlks 27869  df-trls 27962  df-crcts 28055  df-eupth 28463

This theorem is referenced by: (None)