Theorem eulercrct 28606

Description: A pseudograph with an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ (an "Eulerian pseudograph") has only vertices of even degree. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eulercrct	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulercrct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐺 ∈ UPGraph)
4		upgruhgr 27472	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	2	uhgrfun 27436	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → Fun (iEdg‘𝐺))
8		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9	1, 2, 3, 7, 8	eupth2 28603	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
10	9	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
11		crctprop 28160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	11	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13	12	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
14	13	iftrued 4467	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = ∅)
15	14	eqeq2d 2749	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ↔ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
16		rabeq0 4318	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
17		notnotr 130	. . . . 5 ⊢ (¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
18	17	ralimi 3087	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
19	16, 18	sylbi 216	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
20	15, 19	syl6bi 252	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
21	10, 20	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  ∅c0 4256  ifcif 4459  {cpr 4563   class class class wbr 5074  Fun wfun 6427  ‘cfv 6433  0cc0 10871  2c2 12028  ♯chash 14044   ∥ cdvds 15963  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  UHGraphcuhgr 27426  UPGraphcupgr 27450  VtxDegcvtxdg 27832  Trailsctrls 28058  Circuitsccrcts 28152  EulerPathsceupth 28561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-vtx 27368  df-iedg 27369  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-ushgr 27429  df-upgr 27452  df-uspgr 27520  df-vtxdg 27833  df-wlks 27966  df-trls 28060  df-crcts 28154  df-eupth 28562

This theorem is referenced by: (None)