MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulercrct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulercrct 28030
Description: A pseudograph with an Eulerian circuit 𝐹, 𝑃 (an "Eulerian pseudograph") has only vertices of even degree. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpathpr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
eulercrct ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulercrct
StepHypRef Expression
1 eulerpathpr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2824 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3 simpl 486 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐺 ∈ UPGraph)
4 upgruhgr 26898 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
52uhgrfun 26862 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
76adantr 484 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → Fun (iEdg‘𝐺))
8 simpr 488 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
91, 2, 3, 7, 8eupth2 28027 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
1093adant3 1129 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
11 crctprop 27584 . . . . . . 7 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
1211simprd 499 . . . . . 6 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
13123ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
1413iftrued 4458 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = ∅)
1514eqeq2d 2835 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ↔ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅))
16 rabeq0 4321 . . . 4 ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
17 notnotr 132 . . . . 5 (¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
1817ralimi 3155 . . . 4 (∀𝑥𝑉 ¬ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → ∀𝑥𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
1916, 18sylbi 220 . . 3 ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = ∅ → ∀𝑥𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
2015, 19syl6bi 256 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ∀𝑥𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
2110, 20mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥𝑉 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  {crab 3137  c0 4276  ifcif 4450  {cpr 4552   class class class wbr 5052  Fun wfun 6337  cfv 6343  0cc0 10535  2c2 11689  chash 13695  cdvds 15607  Vtxcvtx 26792  iEdgciedg 26793  UHGraphcuhgr 26852  UPGraphcupgr 26876  VtxDegcvtxdg 27258  Trailsctrls 27483  Circuitsccrcts 27576  EulerPathsceupth 27985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-xadd 12505  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-word 13867  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-vtx 26794  df-iedg 26795  df-edg 26844  df-uhgr 26854  df-ushgr 26855  df-upgr 26878  df-uspgr 26946  df-vtxdg 27259  df-wlks 27392  df-trls 27485  df-crcts 27578  df-eupth 27986
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator