MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulercrct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulercrct 30096
Description: A pseudograph with an Eulerian circuit ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© (an "Eulerian pseudograph") has only vertices of even degree. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpathpr.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
eulercrct ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑉

Proof of Theorem eulercrct
StepHypRef Expression
1 eulerpathpr.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2725 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
3 simpl 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
4 upgruhgr 28959 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
52uhgrfun 28923 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
76adantr 479 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
8 simpr 483 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
91, 2, 3, 7, 8eupth2 30093 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}))
1093adant3 1129 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}))
11 crctprop 29650 . . . . . . 7 (𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
1211simprd 494 . . . . . 6 (𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
13123ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
1413iftrued 4532 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) = βˆ…)
1514eqeq2d 2736 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) ↔ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = βˆ…))
16 rabeq0 4380 . . . 4 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 Β¬ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
17 notnotr 130 . . . . 5 (Β¬ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) β†’ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
1817ralimi 3073 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 Β¬ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
1916, 18sylbi 216 . . 3 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
2015, 19biimtrdi 252 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))}) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
2110, 20mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5143  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  0cc0 11138  2c2 12297  β™―chash 14321   βˆ₯ cdvds 16230  Vtxcvtx 28853  iEdgciedg 28854  UHGraphcuhgr 28913  UPGraphcupgr 28937  VtxDegcvtxdg 29323  Trailsctrls 29548  Circuitsccrcts 29642  EulerPathsceupth 30051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-vtx 28855  df-iedg 28856  df-edg 28905  df-uhgr 28915  df-ushgr 28916  df-upgr 28939  df-uspgr 29007  df-vtxdg 29324  df-wlks 29457  df-trls 29550  df-crcts 29644  df-eupth 30052
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator