MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregorufr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregorufr0 29615
Description: In a friendship graph there are either no vertices having degree 𝐾, or all vertices have degree 𝐾 for any (nonnegative integer) 𝐾, unless there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-May-2021.) (Proof shortened by AV, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrregorufr0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrregorufr0.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
frgrregorufr0.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrregorufr0 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐷,𝑀   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑀   𝑣,𝐾,𝑀   𝑣,𝑉,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑀)

Proof of Theorem frgrregorufr0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrregorufr0.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 frgrregorufr0.d . . 3 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
3 fveqeq2 6900 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 ↔ (π·β€˜π‘¦) = 𝐾))
43cbvrabv 3442 . . 3 {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘¦) = 𝐾}
5 eqid 2732 . . 3 (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})
61, 2, 4, 5frgrwopreg 29614 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 ∨ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ…) ∨ ((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 ∨ (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ…)))
7 frgrregorufr0.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
81, 2, 4, 5, 7frgrwopreg1 29609 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
983mix3d 1338 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
109expcom 414 . . . 4 ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
11 fveqeq2 6900 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 ↔ (π·β€˜π‘£) = 𝐾))
1211cbvrabv 3442 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾}
1312eqeq1i 2737 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ… ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾} = βˆ…)
14 rabeq0 4384 . . . . . 6 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾} = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
1513, 14bitri 274 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
16 neqne 2948 . . . . . . . 8 (Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾)
1716ralimi 3083 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾)
18173mix2d 1337 . . . . . 6 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
1918a1d 25 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
2015, 19sylbi 216 . . . 4 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ… β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
2110, 20jaoi 855 . . 3 (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 ∨ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ…) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
221, 2, 4, 5, 7frgrwopreg2 29610 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
23223mix3d 1338 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
2423expcom 414 . . . 4 ((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
25 difrab0eq 4469 . . . . 5 ((𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ… ↔ 𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})
2612eqeq2i 2745 . . . . . . 7 (𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} ↔ 𝑉 = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾})
27 rabid2 3464 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾} ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
2826, 27bitri 274 . . . . . 6 (𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
29 3mix1 1330 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
3029a1d 25 . . . . . 6 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3128, 30sylbi 216 . . . . 5 (𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3225, 31sylbi 216 . . . 4 ((𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ… β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3324, 32jaoi 855 . . 3 (((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 ∨ (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ…) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3421, 33jaoi 855 . 2 ((((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 ∨ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ…) ∨ ((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 ∨ (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ…)) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
356, 34mpcom 38 1 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βˆ– cdif 3945  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  1c1 11113  β™―chash 14292  Vtxcvtx 28294  Edgcedg 28345  VtxDegcvtxdg 28760   FriendGraph cfrgr 29549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-xadd 13095  df-fz 13487  df-hash 14293  df-edg 28346  df-uhgr 28356  df-ushgr 28357  df-upgr 28380  df-umgr 28381  df-uspgr 28448  df-usgr 28449  df-nbgr 28628  df-vtxdg 28761  df-frgr 29550
This theorem is referenced by:  frgrregorufr  29616
  Copyright terms: Public domain W3C validator