MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregorufr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregorufr0 29841
Description: In a friendship graph there are either no vertices having degree 𝐾, or all vertices have degree 𝐾 for any (nonnegative integer) 𝐾, unless there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-May-2021.) (Proof shortened by AV, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrregorufr0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrregorufr0.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
frgrregorufr0.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrregorufr0 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐷,𝑀   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑀   𝑣,𝐾,𝑀   𝑣,𝑉,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑀)

Proof of Theorem frgrregorufr0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrregorufr0.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 frgrregorufr0.d . . 3 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
3 fveqeq2 6901 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 ↔ (π·β€˜π‘¦) = 𝐾))
43cbvrabv 3441 . . 3 {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘¦) = 𝐾}
5 eqid 2731 . . 3 (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})
61, 2, 4, 5frgrwopreg 29840 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 ∨ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ…) ∨ ((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 ∨ (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ…)))
7 frgrregorufr0.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
81, 2, 4, 5, 7frgrwopreg1 29835 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
983mix3d 1337 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
109expcom 413 . . . 4 ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
11 fveqeq2 6901 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 ↔ (π·β€˜π‘£) = 𝐾))
1211cbvrabv 3441 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾}
1312eqeq1i 2736 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ… ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾} = βˆ…)
14 rabeq0 4385 . . . . . 6 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾} = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
1513, 14bitri 274 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
16 neqne 2947 . . . . . . . 8 (Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾)
1716ralimi 3082 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾)
18173mix2d 1336 . . . . . 6 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
1918a1d 25 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
2015, 19sylbi 216 . . . 4 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ… β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
2110, 20jaoi 854 . . 3 (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 ∨ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ…) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
221, 2, 4, 5, 7frgrwopreg2 29836 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
23223mix3d 1337 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
2423expcom 413 . . . 4 ((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
25 difrab0eq 4470 . . . . 5 ((𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ… ↔ 𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})
2612eqeq2i 2744 . . . . . . 7 (𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} ↔ 𝑉 = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾})
27 rabid2 3463 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾} ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
2826, 27bitri 274 . . . . . 6 (𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
29 3mix1 1329 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
3029a1d 25 . . . . . 6 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3128, 30sylbi 216 . . . . 5 (𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3225, 31sylbi 216 . . . 4 ((𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ… β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3324, 32jaoi 854 . . 3 (((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 ∨ (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ…) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3421, 33jaoi 854 . 2 ((((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 ∨ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ…) ∨ ((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 ∨ (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ…)) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
356, 34mpcom 38 1 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631  β€˜cfv 6544  1c1 11114  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28520  Edgcedg 28571  VtxDegcvtxdg 28986   FriendGraph cfrgr 29775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-hash 14296  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-ushgr 28583  df-upgr 28606  df-umgr 28607  df-uspgr 28674  df-usgr 28675  df-nbgr 28854  df-vtxdg 28987  df-frgr 29776
This theorem is referenced by:  frgrregorufr  29842
  Copyright terms: Public domain W3C validator