MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregorufr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregorufr0 29310
Description: In a friendship graph there are either no vertices having degree 𝐾, or all vertices have degree 𝐾 for any (nonnegative integer) 𝐾, unless there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "... all vertices have degree k, unless there is a universal friend." (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-May-2021.) (Proof shortened by AV, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrregorufr0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrregorufr0.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
frgrregorufr0.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrregorufr0 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐷,𝑀   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑀   𝑣,𝐾,𝑀   𝑣,𝑉,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑀)

Proof of Theorem frgrregorufr0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrregorufr0.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 frgrregorufr0.d . . 3 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
3 fveqeq2 6856 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 ↔ (π·β€˜π‘¦) = 𝐾))
43cbvrabv 3420 . . 3 {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘¦) = 𝐾}
5 eqid 2737 . . 3 (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})
61, 2, 4, 5frgrwopreg 29309 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 ∨ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ…) ∨ ((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 ∨ (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ…)))
7 frgrregorufr0.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
81, 2, 4, 5, 7frgrwopreg1 29304 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
983mix3d 1339 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
109expcom 415 . . . 4 ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
11 fveqeq2 6856 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑣 β†’ ((π·β€˜π‘₯) = 𝐾 ↔ (π·β€˜π‘£) = 𝐾))
1211cbvrabv 3420 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾}
1312eqeq1i 2742 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ… ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾} = βˆ…)
14 rabeq0 4349 . . . . . 6 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾} = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
1513, 14bitri 275 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
16 neqne 2952 . . . . . . . 8 (Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾)
1716ralimi 3087 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾)
18173mix2d 1338 . . . . . 6 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
1918a1d 25 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
2015, 19sylbi 216 . . . 4 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ… β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
2110, 20jaoi 856 . . 3 (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 ∨ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ…) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
221, 2, 4, 5, 7frgrwopreg2 29305 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
23223mix3d 1339 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
2423expcom 415 . . . 4 ((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
25 difrab0eq 4434 . . . . 5 ((𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ… ↔ 𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})
2612eqeq2i 2750 . . . . . . 7 (𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} ↔ 𝑉 = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾})
27 rabid2 3439 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘£) = 𝐾} ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
2826, 27bitri 275 . . . . . 6 (𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾)
29 3mix1 1331 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
3029a1d 25 . . . . . 6 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3128, 30sylbi 216 . . . . 5 (𝑉 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3225, 31sylbi 216 . . . 4 ((𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ… β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3324, 32jaoi 856 . . 3 (((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 ∨ (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ…) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
3421, 33jaoi 856 . 2 ((((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = 1 ∨ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾} = βˆ…) ∨ ((β™―β€˜(𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾})) = 1 ∨ (𝑉 βˆ– {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}) = βˆ…)) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
356, 34mpcom 38 1 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) = 𝐾 ∨ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π·β€˜π‘£) β‰  𝐾 ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βˆ– cdif 3912  βˆ…c0 4287  {csn 4591  {cpr 4593  β€˜cfv 6501  1c1 11059  β™―chash 14237  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  VtxDegcvtxdg 28455   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-hash 14238  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-nbgr 28323  df-vtxdg 28456  df-frgr 29245
This theorem is referenced by:  frgrregorufr  29311
  Copyright terms: Public domain W3C validator