Theorem mbfres2cn 45978

Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 25681 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfres2cn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfres2cn.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfres2cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15152	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		mbfres2cn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fco 6759	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
5		resco 6269	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵))
6		mbfres2cn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
7		fresin 6776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
8		ismbfcn 25665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)))
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)))
10	6, 9	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn))
11	10	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)
12	5, 11	eqeltrid 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
13		resco 6269	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶))
14		mbfres2cn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
15		fresin 6776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐶):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
16		ismbfcn 25665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)))
17	2, 15, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)))
18	14, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn))
19	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)
20	13, 19	eqeltrid 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
21		mbfres2cn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)
22	4, 12, 20, 21	mbfres2 25681	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23		imf 15153	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
24		fco 6759	. . . 4 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
25	23, 2, 24	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
26		resco 6269	. . . 4 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵))
27	10	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)
28	26, 27	eqeltrid 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
29		resco 6269	. . . 4 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶))
30	18	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)
31	29, 30	eqeltrid 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
32	25, 28, 31, 21	mbfres2 25681	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33		ismbfcn 25665	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
34	2, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
35	22, 32, 34	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3948   ∩ cin 3949   ↾ cres 5686   ∘ ccom 5688  ⟶wf 6556  ℂcc 11154  ℝcr 11155  ℜcre 15137  ℑcim 15138  MblFncmbf 25650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-xmet 21358  df-met 21359  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655

This theorem is referenced by:  iblsplit  45986