Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfres2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres2cn 40917
Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 23753 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2cn.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfres2cn.b (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a (𝜑 → (𝐵𝐶) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfres2cn (𝜑𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2cn
StepHypRef Expression
1 ref 14193 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 mbfres2cn.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 fco 6273 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
41, 2, 3sylancr 582 . . 3 (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
5 resco 5858 . . . 4 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℜ ∘ (𝐹𝐵))
6 mbfres2cn.b . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ MblFn)
7 fresin 6288 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8 ismbfcn 23737 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ → ((𝐹𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)))
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)))
106, 9mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn))
1110simpld 489 . . . 4 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
125, 11syl5eqel 2882 . . 3 (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
13 resco 5858 . . . 4 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℜ ∘ (𝐹𝐶))
14 mbfres2cn.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ MblFn)
15 fresin 6288 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐶):(𝐴𝐶)⟶ℂ)
16 ismbfcn 23737 . . . . . . 7 ((𝐹𝐶):(𝐴𝐶)⟶ℂ → ((𝐹𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)))
172, 15, 163syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)))
1814, 17mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn))
1918simpld 489 . . . 4 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)
2013, 19syl5eqel 2882 . . 3 (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
21 mbfres2cn.a . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶) = 𝐴)
224, 12, 20, 21mbfres2 23753 . 2 (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23 imf 14194 . . . 4 ℑ:ℂ⟶ℝ
24 fco 6273 . . . 4 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
2523, 2, 24sylancr 582 . . 3 (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
26 resco 5858 . . . 4 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℑ ∘ (𝐹𝐵))
2710simprd 490 . . . 4 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
2826, 27syl5eqel 2882 . . 3 (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
29 resco 5858 . . . 4 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℑ ∘ (𝐹𝐶))
3018simprd 490 . . . 4 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)
3129, 30syl5eqel 2882 . . 3 (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
3225, 28, 31, 21mbfres2 23753 . 2 (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33 ismbfcn 23737 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
342, 33syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3522, 32, 34mpbir2and 705 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cun 3767  cin 3768  cres 5314  ccom 5316  wf 6097  cc 10222  cr 10223  cre 14178  cim 14179  MblFncmbf 23722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xadd 12194  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758  df-xmet 20061  df-met 20062  df-ovol 23572  df-vol 23573  df-mbf 23727
This theorem is referenced by:  iblsplit  40925
  Copyright terms: Public domain W3C validator