Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfres2cn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfres2cn 44664
Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐡 and 𝐢 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 25161 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2cn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
mbfres2cn.b (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ 𝐢) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfres2cn (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfres2cn
StepHypRef Expression
1 ref 15058 . . . 4 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 mbfres2cn.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 fco 6741 . . . 4 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
41, 2, 3sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
5 resco 6249 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡))
6 mbfres2cn.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
7 fresin 6760 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
8 ismbfcn 25145 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)))
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)))
106, 9mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn))
1110simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)
125, 11eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
13 resco 6249 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢))
14 mbfres2cn.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
15 fresin 6760 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):(𝐴 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚)
16 ismbfcn 25145 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐢):(𝐴 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)))
172, 15, 163syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)))
1814, 17mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn))
1918simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)
2013, 19eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
21 mbfres2cn.a . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ 𝐢) = 𝐴)
224, 12, 20, 21mbfres2 25161 . 2 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23 imf 15059 . . . 4 β„‘:β„‚βŸΆβ„
24 fco 6741 . . . 4 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
2523, 2, 24sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
26 resco 6249 . . . 4 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡))
2710simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)
2826, 27eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
29 resco 6249 . . . 4 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢))
3018simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)
3129, 30eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
3225, 28, 31, 21mbfres2 25161 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33 ismbfcn 25145 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
342, 33syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3522, 32, 34mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β„‚cc 11107  β„cr 11108  β„œcre 15043  β„‘cim 15044  MblFncmbf 25130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135
This theorem is referenced by:  iblsplit  44672
  Copyright terms: Public domain W3C validator