Theorem mbfres2cn 43499

Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 24809 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfres2cn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfres2cn.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfres2cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 14823	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		mbfres2cn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fco 6624	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
5		resco 6154	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵))
6		mbfres2cn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
7		fresin 6643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
8		ismbfcn 24793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)))
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)))
10	6, 9	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn))
11	10	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)
12	5, 11	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
13		resco 6154	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶))
14		mbfres2cn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
15		fresin 6643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐶):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
16		ismbfcn 24793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)))
17	2, 15, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)))
18	14, 17	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn))
19	18	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)
20	13, 19	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
21		mbfres2cn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)
22	4, 12, 20, 21	mbfres2 24809	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23		imf 14824	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
24		fco 6624	. . . 4 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
25	23, 2, 24	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
26		resco 6154	. . . 4 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵))
27	10	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)
28	26, 27	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
29		resco 6154	. . . 4 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶))
30	18	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)
31	29, 30	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
32	25, 28, 31, 21	mbfres2 24809	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33		ismbfcn 24793	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
34	2, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
35	22, 32, 34	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ℂcc 10869  ℝcr 10870  ℜcre 14808  ℑcim 14809  MblFncmbf 24778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-xmet 20590  df-met 20591  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783

This theorem is referenced by:  iblsplit  43507