Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfres2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres2cn 45375
Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 25594 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2cn.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfres2cn.b (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a (𝜑 → (𝐵𝐶) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfres2cn (𝜑𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2cn
StepHypRef Expression
1 ref 15099 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 mbfres2cn.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 fco 6752 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
41, 2, 3sylancr 585 . . 3 (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
5 resco 6259 . . . 4 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℜ ∘ (𝐹𝐵))
6 mbfres2cn.b . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ MblFn)
7 fresin 6771 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8 ismbfcn 25578 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ → ((𝐹𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)))
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)))
106, 9mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn))
1110simpld 493 . . . 4 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
125, 11eqeltrid 2833 . . 3 (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
13 resco 6259 . . . 4 ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℜ ∘ (𝐹𝐶))
14 mbfres2cn.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ MblFn)
15 fresin 6771 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐶):(𝐴𝐶)⟶ℂ)
16 ismbfcn 25578 . . . . . . 7 ((𝐹𝐶):(𝐴𝐶)⟶ℂ → ((𝐹𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)))
172, 15, 163syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)))
1814, 17mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn))
1918simpld 493 . . . 4 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)
2013, 19eqeltrid 2833 . . 3 (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
21 mbfres2cn.a . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶) = 𝐴)
224, 12, 20, 21mbfres2 25594 . 2 (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23 imf 15100 . . . 4 ℑ:ℂ⟶ℝ
24 fco 6752 . . . 4 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
2523, 2, 24sylancr 585 . . 3 (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
26 resco 6259 . . . 4 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℑ ∘ (𝐹𝐵))
2710simprd 494 . . . 4 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹𝐵)) ∈ MblFn)
2826, 27eqeltrid 2833 . . 3 (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
29 resco 6259 . . . 4 ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℑ ∘ (𝐹𝐶))
3018simprd 494 . . . 4 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹𝐶)) ∈ MblFn)
3129, 30eqeltrid 2833 . . 3 (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
3225, 28, 31, 21mbfres2 25594 . 2 (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33 ismbfcn 25578 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
342, 33syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3522, 32, 34mpbir2and 711 1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3947  cin 3948  cres 5684  ccom 5686  wf 6549  cc 11144  cr 11145  cre 15084  cim 15085  MblFncmbf 25563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568
This theorem is referenced by:  iblsplit  45383
  Copyright terms: Public domain W3C validator