Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfres2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfres2cn 44289
Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐡 and 𝐢 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 25032 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2cn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
mbfres2cn.b (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ 𝐢) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfres2cn (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2cn
StepHypRef Expression
1 ref 15006 . . . 4 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 mbfres2cn.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 fco 6696 . . . 4 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
41, 2, 3sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
5 resco 6206 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡))
6 mbfres2cn.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
7 fresin 6715 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
8 ismbfcn 25016 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)))
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)))
106, 9mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn))
1110simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)
125, 11eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
13 resco 6206 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢))
14 mbfres2cn.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
15 fresin 6715 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):(𝐴 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚)
16 ismbfcn 25016 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐢):(𝐴 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)))
172, 15, 163syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)))
1814, 17mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn))
1918simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)
2013, 19eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
21 mbfres2cn.a . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ 𝐢) = 𝐴)
224, 12, 20, 21mbfres2 25032 . 2 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23 imf 15007 . . . 4 β„‘:β„‚βŸΆβ„
24 fco 6696 . . . 4 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
2523, 2, 24sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
26 resco 6206 . . . 4 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡))
2710simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)
2826, 27eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
29 resco 6206 . . . 4 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢))
3018simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)
3129, 30eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
3225, 28, 31, 21mbfres2 25032 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33 ismbfcn 25016 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
342, 33syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3522, 32, 34mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β„‚cc 11057  β„cr 11058  β„œcre 14991  β„‘cim 14992  MblFncmbf 25001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006
This theorem is referenced by:  iblsplit  44297
  Copyright terms: Public domain W3C validator