Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfres2cn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfres2cn 45381
Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐡 and 𝐢 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 25590 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2cn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
mbfres2cn.b (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ 𝐢) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfres2cn (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfres2cn
StepHypRef Expression
1 ref 15089 . . . 4 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 mbfres2cn.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 fco 6740 . . . 4 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
41, 2, 3sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
5 resco 6247 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡))
6 mbfres2cn.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
7 fresin 6759 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
8 ismbfcn 25574 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)))
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)))
106, 9mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn))
1110simpld 493 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)
125, 11eqeltrid 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
13 resco 6247 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢))
14 mbfres2cn.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
15 fresin 6759 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):(𝐴 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚)
16 ismbfcn 25574 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐢):(𝐴 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)))
172, 15, 163syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)))
1814, 17mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn))
1918simpld 493 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)
2013, 19eqeltrid 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
21 mbfres2cn.a . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ 𝐢) = 𝐴)
224, 12, 20, 21mbfres2 25590 . 2 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23 imf 15090 . . . 4 β„‘:β„‚βŸΆβ„
24 fco 6740 . . . 4 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
2523, 2, 24sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
26 resco 6247 . . . 4 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡))
2710simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)
2826, 27eqeltrid 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
29 resco 6247 . . . 4 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢))
3018simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)
3129, 30eqeltrid 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
3225, 28, 31, 21mbfres2 25590 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33 ismbfcn 25574 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
342, 33syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3522, 32, 34mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3937   ∩ cin 3938   β†Ύ cres 5672   ∘ ccom 5674  βŸΆwf 6537  β„‚cc 11134  β„cr 11135  β„œcre 15074  β„‘cim 15075  MblFncmbf 25559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xadd 13123  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-xmet 21274  df-met 21275  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564
This theorem is referenced by:  iblsplit  45389
  Copyright terms: Public domain W3C validator