Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfres2cn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfres2cn 45246
Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐡 and 𝐢 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 25529 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2cn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
mbfres2cn.b (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ 𝐢) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
mbfres2cn (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Proof of Theorem mbfres2cn
StepHypRef Expression
1 ref 15065 . . . 4 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 mbfres2cn.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 fco 6735 . . . 4 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
41, 2, 3sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
5 resco 6243 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡))
6 mbfres2cn.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
7 fresin 6754 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
8 ismbfcn 25513 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)))
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)))
106, 9mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn))
1110simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)
125, 11eqeltrid 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
13 resco 6243 . . . 4 ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) = (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢))
14 mbfres2cn.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
15 fresin 6754 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):(𝐴 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚)
16 ismbfcn 25513 . . . . . . 7 ((𝐹 β†Ύ 𝐢):(𝐴 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)))
172, 15, 163syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)))
1814, 17mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn))
1918simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)
2013, 19eqeltrid 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
21 mbfres2cn.a . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ 𝐢) = 𝐴)
224, 12, 20, 21mbfres2 25529 . 2 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23 imf 15066 . . . 4 β„‘:β„‚βŸΆβ„
24 fco 6735 . . . 4 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
2523, 2, 24sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„)
26 resco 6243 . . . 4 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡))
2710simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ MblFn)
2826, 27eqeltrid 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐡) ∈ MblFn)
29 resco 6243 . . . 4 ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) = (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢))
3018simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (𝐹 β†Ύ 𝐢)) ∈ MblFn)
3129, 30eqeltrid 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐢) ∈ MblFn)
3225, 28, 31, 21mbfres2 25529 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33 ismbfcn 25513 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
342, 33syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
3522, 32, 34mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„œcre 15050  β„‘cim 15051  MblFncmbf 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503
This theorem is referenced by:  iblsplit  45254
  Copyright terms: Public domain W3C validator