Theorem mbfres2cn 46530

Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 25765 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfres2cn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfres2cn.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfres2cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15153	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		mbfres2cn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fco 6720	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
5		resco 6241	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵))
6		mbfres2cn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
7		fresin 6737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
8		ismbfcn 25749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)))
9	2, 7, 8	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)))
10	6, 9	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn))
11	10	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)
12	5, 11	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
13		resco 6241	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶))
14		mbfres2cn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
15		fresin 6737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐶):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
16		ismbfcn 25749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)))
17	2, 15, 16	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)))
18	14, 17	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn))
19	18	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)
20	13, 19	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
21		mbfres2cn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)
22	4, 12, 20, 21	mbfres2 25765	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23		imf 15154	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
24		fco 6720	. . . 4 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
25	23, 2, 24	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
26		resco 6241	. . . 4 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵))
27	10	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)
28	26, 27	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
29		resco 6241	. . . 4 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶))
30	18	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)
31	29, 30	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
32	25, 28, 31, 21	mbfres2 25765	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33		ismbfcn 25749	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
34	2, 33	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
35	22, 32, 34	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3905   ∩ cin 3906   ↾ cres 5654   ∘ ccom 5656  ⟶wf 6521  ℂcc 11086  ℝcr 11087  ℜcre 15138  ℑcim 15139  MblFncmbf 25734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13129  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-xmet 21475  df-met 21476  df-ovol 25584  df-vol 25585  df-mbf 25739

This theorem is referenced by:  iblsplit  46538