Theorem mbfres2cn 40917

Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 23753 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfres2cn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfres2cn.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfres2cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 14193	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		mbfres2cn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fco 6273	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
5		resco 5858	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵))
6		mbfres2cn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
7		fresin 6288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
8		ismbfcn 23737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)))
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)))
10	6, 9	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn))
11	10	simpld 489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)
12	5, 11	syl5eqel 2882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
13		resco 5858	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶))
14		mbfres2cn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
15		fresin 6288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐶):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
16		ismbfcn 23737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)))
17	2, 15, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)))
18	14, 17	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn))
19	18	simpld 489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)
20	13, 19	syl5eqel 2882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
21		mbfres2cn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)
22	4, 12, 20, 21	mbfres2 23753	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23		imf 14194	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
24		fco 6273	. . . 4 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
25	23, 2, 24	sylancr 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
26		resco 5858	. . . 4 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵))
27	10	simprd 490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)
28	26, 27	syl5eqel 2882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
29		resco 5858	. . . 4 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶))
30	18	simprd 490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)
31	29, 30	syl5eqel 2882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
32	25, 28, 31, 21	mbfres2 23753	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33		ismbfcn 23737	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
34	2, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
35	22, 32, 34	mpbir2and 705	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ∪ cun 3767   ∩ cin 3768   ↾ cres 5314   ∘ ccom 5316  ⟶wf 6097  ℂcc 10222  ℝcr 10223  ℜcre 14178  ℑcim 14179  MblFncmbf 23722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xadd 12194  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758  df-xmet 20061  df-met 20062  df-ovol 23572  df-vol 23573  df-mbf 23727

This theorem is referenced by:  iblsplit  40925