Theorem mbfres2cn 45963

Description: Measurability of a piecewise function: if 𝐹 is measurable on subsets 𝐵 and 𝐶 of its domain, and these pieces make up all of 𝐴, then 𝐹 is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 25553 but here the theorem is extended to complex-valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfres2cn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
mbfres2cn.b	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
mbfres2cn.c	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
mbfres2cn.a	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mbfres2cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfres2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 15085	. . . 4 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
2		mbfres2cn.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		fco 6715	. . . 4 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
5		resco 6226	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵))
6		mbfres2cn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
7		fresin 6732	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
8		ismbfcn 25537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)))
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)))
10	6, 9	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn))
11	10	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)
12	5, 11	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
13		resco 6226	. . . 4 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶))
14		mbfres2cn.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
15		fresin 6732	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐶):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
16		ismbfcn 25537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):(𝐴 ∩ 𝐶)⟶ℂ → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)))
17	2, 15, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)))
18	14, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn))
19	18	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)
20	13, 19	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
21		mbfres2cn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝐴)
22	4, 12, 20, 21	mbfres2 25553	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
23		imf 15086	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
24		fco 6715	. . . 4 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
25	23, 2, 24	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
26		resco 6226	. . . 4 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵))
27	10	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐵)) ∈ MblFn)
28	26, 27	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐵) ∈ MblFn)
29		resco 6226	. . . 4 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) = (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶))
30	18	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ MblFn)
31	29, 30	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ 𝐹) ↾ 𝐶) ∈ MblFn)
32	25, 28, 31, 21	mbfres2 25553	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
33		ismbfcn 25537	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
34	2, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
35	22, 32, 34	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ℂcc 11073  ℝcr 11074  ℜcre 15070  ℑcim 15071  MblFncmbf 25522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-xmet 21264  df-met 21265  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527

This theorem is referenced by:  iblsplit  45971