MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imf 14140
Description: Domain and codomain of the imaginary part function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imf ℑ:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem imf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-im 14128 . 2 ℑ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘(𝑥 / i)))
2 imval 14134 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) = (ℜ‘(𝑥 / i)))
3 imcl 14138 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
42, 3eqeltrrd 2845 . 2 (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 / i)) ∈ ℝ)
51, 4fmpti 6572 1 ℑ:ℂ⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2155  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  ici 10191   / cdiv 10938  cre 14124  cim 14125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-2 11335  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128
This theorem is referenced by:  imcn2  14619  climim  14624  rlimim  14629  caucvgr  14693  fsumim  14827  imcncf  22985  cnrehmeo  23031  ismbf  23686  ismbfcn  23687  mbfconst  23691  ismbfcn2  23696  mbfres  23702  mbfimaopnlem  23713  eff1olem  24586  ellogrn  24597  dvloglem  24685  logf1o2  24687  dvlog  24688  efopnlem2  24694  asinneg  24904  mbfresfi  33811  itgaddnc  33825  itgmulc2nc  33833  mbfres2cn  40743
  Copyright terms: Public domain W3C validator