MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recncf 23444
Description: Real part is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
recncf ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)

Proof of Theorem recncf
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 14466 . 2 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 recn2 14952 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℜ‘𝑤) − (ℜ‘𝑥))) < 𝑦))
32rgen2 3208 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℜ‘𝑤) − (ℜ‘𝑥))) < 𝑦)
4 ssid 3993 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
5 ax-resscn 10588 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
6 elcncf2 23432 . . 3 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ) ↔ (ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℜ‘𝑤) − (ℜ‘𝑥))) < 𝑦))))
74, 5, 6mp2an 688 . 2 (ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ) ↔ (ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℜ‘𝑤) − (ℜ‘𝑥))) < 𝑦)))
81, 3, 7mpbir2an 707 1 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  wss 3940   class class class wbr 5063  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530   < clt 10669  cmin 10864  +crp 12384  cre 14451  abscabs 14588  cnccncf 23418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-cncf 23420
This theorem is referenced by:  cnrehmeo  23491  cncombf  24193  cnmbf  24194  dvlip  24524  mbfresfi  34824  ftc1anclem8  34860
  Copyright terms: Public domain W3C validator