Theorem ismbfcn2 25688

Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ismbfcn2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ismbfcn2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ismbfcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbfcn2.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	fmpttd 7091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
3		ismbfcn 25679	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn)))
5		ref 15130	. . . . . 6 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
7	6, 1	cofmpt 7109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
8	7	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn))
9		imf 15131	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
11	10, 1	cofmpt 7109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
12	11	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
13	8, 12	anbi12d 641	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
14	4, 13	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ↦ cmpt 5178   ∘ ccom 5647  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  ℂcc 11065  ℝcr 11066  ℜcre 15115  ℑcim 15116  MblFncmbf 25664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xadd 13109  df-ioo 13347  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-sum 15705  df-xmet 21405  df-met 21406  df-ovol 25514  df-vol 25515  df-mbf 25669

This theorem is referenced by:  mbfeqa  25693  mbfss  25696  mbfmulc2re  25698  mbfadd  25711  mbfmulc2  25713  mbflim  25718  mbfmul  25776  iblcn  25849  ibladd  25871  ibladdnc  38137  ftc1anclem2  38154  ftc1anclem5  38157  ftc1anclem6  38158  ftc1anclem8  38160