Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfcn2 24221
 Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ismbfcn2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ismbfcn2
StepHypRef Expression
1 ismbfcn2.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21fmpttd 6855 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
3 ismbfcn 24212 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)))
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)))
5 ref 14451 . . . . . 6 ℜ:ℂ⟶ℝ
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
76, 1cofmpt 6870 . . . 4 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
87eleq1d 2895 . . 3 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn))
9 imf 14452 . . . . . 6 ℑ:ℂ⟶ℝ
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
1110, 1cofmpt 6870 . . . 4 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
1211eleq1d 2895 . . 3 (𝜑 → ((ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
138, 12anbi12d 632 . 2 (𝜑 → (((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn) ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
144, 13bitrd 281 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5122   ∘ ccom 5535  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  ℂcc 10513  ℝcr 10514  ℜcre 14436  ℑcim 14437  MblFncmbf 24197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xadd 12487  df-ioo 12721  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023  df-xmet 20514  df-met 20515  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202 This theorem is referenced by:  mbfeqa  24226  mbfss  24229  mbfmulc2re  24231  mbfadd  24244  mbfmulc2  24246  mbflim  24251  mbfmul  24309  iblcn  24381  ibladd  24403  ibladdnc  34990  ftc1anclem2  35007  ftc1anclem5  35010  ftc1anclem6  35011  ftc1anclem8  35013
 Copyright terms: Public domain W3C validator