Theorem ismbfcn2 25866

Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ismbfcn2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ismbfcn2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ismbfcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbfcn2.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	fmpttd 7108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
3		ismbfcn 25857	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn)))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn)))
5		ref 15199	. . . . . 6 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
7	6, 1	cofmpt 7126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
8	7	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn))
9		imf 15200	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
11	10, 1	cofmpt 7126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
12	11	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
13	8, 12	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
14	4, 13	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℂcc 11122  ℝcr 11123  ℜcre 15184  ℑcim 15185  MblFncmbf 25842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xadd 13164  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-xmet 21578  df-met 21579  df-ovol 25692  df-vol 25693  df-mbf 25847

This theorem is used by:  mbfeqa  25871  mbfss  25874  mbfmulc2re  25876  mbfadd  25889  mbfmulc2  25891  mbflim  25896  mbfmul  25954  iblcn  26026  ibladd  26048  ibladdnc  38426  ftc1anclem2  38443  ftc1anclem5  38446  ftc1anclem6  38447  ftc1anclem8  38449