Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfcn2 23803
 Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ismbfcn2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ismbfcn2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbfcn2.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21fmpttd 6633 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
3 ismbfcn 23794 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)))
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)))
5 eqidd 2825 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
6 ref 14228 . . . . . . 7 ℜ:ℂ⟶ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
87feqmptd 6495 . . . . 5 (𝜑 → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
9 fveq2 6432 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘𝐵))
101, 5, 8, 9fmptco 6645 . . . 4 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
1110eleq1d 2890 . . 3 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn))
12 imf 14229 . . . . . . 7 ℑ:ℂ⟶ℝ
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
1413feqmptd 6495 . . . . 5 (𝜑 → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
15 fveq2 6432 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘𝐵))
161, 5, 14, 15fmptco 6645 . . . 4 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
1716eleq1d 2890 . . 3 (𝜑 → ((ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
1811, 17anbi12d 626 . 2 (𝜑 → (((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn) ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
194, 18bitrd 271 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166   ↦ cmpt 4951   ∘ ccom 5345  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  ℂcc 10249  ℝcr 10250  ℜcre 14213  ℑcim 14214  MblFncmbf 23779 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xadd 12232  df-ioo 12466  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-sum 14793  df-xmet 20098  df-met 20099  df-ovol 23629  df-vol 23630  df-mbf 23784 This theorem is referenced by:  mbfeqa  23808  mbfss  23811  mbfmulc2re  23813  mbfadd  23826  mbfmulc2  23828  mbflim  23833  mbfmul  23891  iblcn  23963  ibladd  23985  ibladdnc  34009  ftc1anclem2  34028  ftc1anclem5  34031  ftc1anclem6  34032  ftc1anclem8  34034
 Copyright terms: Public domain W3C validator