MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbfcn2 23743
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ismbfcn2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ismbfcn2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbfcn2.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21fmpttd 6609 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
3 ismbfcn 23734 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)))
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)))
5 eqidd 2798 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
6 ref 14190 . . . . . . 7 ℜ:ℂ⟶ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
87feqmptd 6472 . . . . 5 (𝜑 → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
9 fveq2 6409 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘𝐵))
101, 5, 8, 9fmptco 6621 . . . 4 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
1110eleq1d 2861 . . 3 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn))
12 imf 14191 . . . . . . 7 ℑ:ℂ⟶ℝ
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
1413feqmptd 6472 . . . . 5 (𝜑 → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
15 fveq2 6409 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘𝐵))
161, 5, 14, 15fmptco 6621 . . . 4 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
1716eleq1d 2861 . . 3 (𝜑 → ((ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
1811, 17anbi12d 625 . 2 (𝜑 → (((ℜ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn) ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
194, 18bitrd 271 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wcel 2157  cmpt 4920  ccom 5314  wf 6095  cfv 6099  cc 10220  cr 10221  cre 14175  cim 14176  MblFncmbf 23719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-inf 8589  df-oi 8655  df-card 9049  df-cda 9276  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xadd 12190  df-ioo 12424  df-ico 12426  df-icc 12427  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-fl 12844  df-seq 13052  df-exp 13111  df-hash 13367  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-clim 14557  df-sum 14755  df-xmet 20058  df-met 20059  df-ovol 23569  df-vol 23570  df-mbf 23724
This theorem is referenced by:  mbfeqa  23748  mbfss  23751  mbfmulc2re  23753  mbfadd  23766  mbfmulc2  23768  mbflim  23773  mbfmul  23831  iblcn  23903  ibladd  23925  ibladdnc  33947  ftc1anclem2  33966  ftc1anclem5  33969  ftc1anclem6  33970  ftc1anclem8  33972
  Copyright terms: Public domain W3C validator