Theorem ismbfcn2 25674

Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ismbfcn2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ismbfcn2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ismbfcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbfcn2.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	fmpttd 7134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
3		ismbfcn 25665	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn)))
5		ref 15152	. . . . . 6 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
7	6, 1	cofmpt 7151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
8	7	eleq1d 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn))
9		imf 15153	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
11	10, 1	cofmpt 7151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
12	11	eleq1d 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
13	8, 12	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
14	4, 13	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5688  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  ℂcc 11154  ℝcr 11155  ℜcre 15137  ℑcim 15138  MblFncmbf 25650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-xmet 21358  df-met 21359  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655

This theorem is referenced by:  mbfeqa  25679  mbfss  25682  mbfmulc2re  25684  mbfadd  25697  mbfmulc2  25699  mbflim  25704  mbfmul  25762  iblcn  25835  ibladd  25857  ibladdnc  37685  ftc1anclem2  37702  ftc1anclem5  37705  ftc1anclem6  37706  ftc1anclem8  37708