Theorem efieq1re 16367

Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq1re	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem efieq1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 15283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3		ax-icn 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
4		recl 15277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		imcl 15278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	3, 7, 8	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		adddi 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
11	3, 5, 9, 10	mp3an2i 1495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
12		ixi 11945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
13	12	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = ( -1 · (ℑ‘𝐴))
14		mulass 11288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
15	3, 3, 7, 14	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
16	7	mulm1d 11768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
17	13, 15, 16	3eqtr3a 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
18	17	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
19	11, 18	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
20	2, 19	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
21	20	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))))
22		mulcl 11284	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	3, 5, 22	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
24	6	renegcld 11743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
26		efadd 16260	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
28	21, 27	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
29	28	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 ↔ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = 1))
30		efcl 16248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
31	23, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
32		efcl 16248	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
33	25, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	31, 33	absmuld 15624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘ -(ℑ‘𝐴)))))
35		absefi 16364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
36	4, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
37	24	reefcld 16254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
38		efgt0 16271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))
39	24, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))
40		0re 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		ltle 11398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
42	40, 41	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 < (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
43	37, 39, 42	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))
44	37, 43	absidd 15590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))
45	36, 44	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘ -(ℑ‘𝐴)))) = (1 · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
46	33	mullidd 11327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))
47	34, 45, 46	3eqtrrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))))
48		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = 1 → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))) = (abs‘1))
49	47, 48	sylan9eq 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = 1) → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
50	49	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = 1 → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
51	29, 50	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
52	7	negeq0d 11661	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
53		reim0b 15286	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
54		ef0 16257	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘0) = 1
55		abs1 15464	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
56	54, 55	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ (exp‘0) = (abs‘1)
57	56	eqeq2i 2774	. . . . 5 ⊢ ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
58		reef11 16287	. . . . . 6 ⊢ (( -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
59	24, 40, 58	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
60	57, 59	bitr3id 288	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
61	52, 53, 60	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
62	51, 61	sylibd 242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → 𝐴 ∈ ℝ))
63	62	imp 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   -cneg 11542  ℜcre 15264  ℑcim 15265  abscabs 15401  expce 16227

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236

This theorem is used by: (None)