MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efieq1re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efieq1re 16149
Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
efieq1re ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem efieq1re
StepHypRef Expression
1 replim 15069 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
21oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3 ax-icn 11171 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
4 recl 15063 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6 imcl 15064 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8 mulcl 11196 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
93, 7, 8sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10 adddi 11201 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
113, 5, 9, 10mp3an2i 1462 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
12 ixi 11847 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
1312oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (ℑ‘𝐴))
14 mulass 11200 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
153, 3, 7, 14mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
167mulm1d 11670 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
1713, 15, 163eqtr3a 2790 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
1817oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
1911, 18eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
202, 19eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
2120fveq2d 6889 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))))
22 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
233, 5, 22sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
246renegcld 11645 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 11246 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
26 efadd 16044 . . . . . . 7 (((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
2723, 25, 26syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
2821, 27eqtrd 2766 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
2928eqeq1d 2728 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 ↔ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1))
30 efcl 16032 . . . . . . . . 9 ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
3123, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
32 efcl 16032 . . . . . . . . 9 (-(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
3325, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
3431, 33absmuld 15407 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴)))))
35 absefi 16146 . . . . . . . . 9 ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
364, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
3724reefcld 16038 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
38 efgt0 16053 . . . . . . . . . . 11 (-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
3924, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
40 0re 11220 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
41 ltle 11306 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
4240, 41mpan 687 . . . . . . . . . 10 ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
4337, 39, 42sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4437, 43absidd 15375 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4536, 44oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = (1 · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
4633mullidd 11236 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4734, 45, 463eqtrrd 2771 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))))
48 fveq2 6885 . . . . . 6 (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1 → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = (abs‘1))
4947, 48sylan9eq 2786 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1) → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
5049ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1 → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
5129, 50sylbid 239 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
527negeq0d 11567 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
53 reim0b 15072 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
54 ef0 16041 . . . . . . 7 (exp‘0) = 1
55 abs1 15250 . . . . . . 7 (abs‘1) = 1
5654, 55eqtr4i 2757 . . . . . 6 (exp‘0) = (abs‘1)
5756eqeq2i 2739 . . . . 5 ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
58 reef11 16069 . . . . . 6 ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
5924, 40, 58sylancl 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
6057, 59bitr3id 285 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
6152, 53, 603bitr4rd 312 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
6251, 61sylibd 238 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → 𝐴 ∈ ℝ))
6362imp 406 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252  cle 11253  -cneg 11449  cre 15050  cim 15051  abscabs 15187  expce 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator