MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efieq1re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efieq1re 16088
Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
efieq1re ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)

Proof of Theorem efieq1re
StepHypRef Expression
1 replim 15008 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
21oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) = (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
3 ax-icn 11117 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
4 recl 15002 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
54recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 imcl 15003 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 11142 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
93, 7, 8sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
10 adddi 11147 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
113, 5, 9, 10mp3an2i 1467 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
12 ixi 11791 . . . . . . . . . . . 12 (i ยท i) = -1
1312oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (-1 ยท (โ„‘โ€˜๐ด))
14 mulass 11146 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
153, 3, 7, 14mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
167mulm1d 11614 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
1713, 15, 163eqtr3a 2801 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
1817oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด)))
1911, 18eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด)))
202, 19eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) = ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด)))
2120fveq2d 6851 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = (expโ€˜((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด))))
22 mulcl 11142 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
233, 5, 22sylancr 588 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
246renegcld 11589 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2524recnd 11190 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
26 efadd 15983 . . . . . . 7 (((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด))) = ((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
2723, 25, 26syl2anc 585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด))) = ((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
2821, 27eqtrd 2777 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
2928eqeq1d 2739 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜(i ยท ๐ด)) = 1 โ†” ((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = 1))
30 efcl 15972 . . . . . . . . 9 ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
3123, 30syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
32 efcl 15972 . . . . . . . . 9 (-(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3325, 32syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3431, 33absmuld 15346 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))) ยท (absโ€˜(expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))))
35 absefi 16085 . . . . . . . . 9 ((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))) = 1)
364, 35syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))) = 1)
3724reefcld 15977 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
38 efgt0 15992 . . . . . . . . . . 11 (-(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ 0 < (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
3924, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 < (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
40 0re 11164 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
41 ltle 11250 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
4240, 41mpan 689 . . . . . . . . . 10 ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
4337, 39, 42sylc 65 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
4437, 43absidd 15314 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
4536, 44oveq12d 7380 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))) ยท (absโ€˜(expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))) = (1 ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
4633mulid2d 11180 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
4734, 45, 463eqtrrd 2782 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))))
48 fveq2 6847 . . . . . 6 (((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = 1 โ†’ (absโ€˜((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))) = (absโ€˜1))
4947, 48sylan9eq 2797 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = 1) โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1))
5049ex 414 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = 1 โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1)))
5129, 50sylbid 239 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜(i ยท ๐ด)) = 1 โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1)))
527negeq0d 11511 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) = 0 โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
53 reim0b 15011 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
54 ef0 15980 . . . . . . 7 (expโ€˜0) = 1
55 abs1 15189 . . . . . . 7 (absโ€˜1) = 1
5654, 55eqtr4i 2768 . . . . . 6 (expโ€˜0) = (absโ€˜1)
5756eqeq2i 2750 . . . . 5 ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1))
58 reef11 16008 . . . . . 6 ((-(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
5924, 40, 58sylancl 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
6057, 59bitr3id 285 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
6152, 53, 603bitr4rd 312 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1) โ†” ๐ด โˆˆ โ„))
6251, 61sylibd 238 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜(i ยท ๐ด)) = 1 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„))
6362imp 408 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  -cneg 11393  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990  abscabs 15126  expce 15951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator