Theorem efieq1re 16250

Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq1re	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem efieq1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 15163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3		ax-icn 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
4		recl 15157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		imcl 15158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 11179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	3, 7, 8	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		adddi 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
11	3, 5, 9, 10	mp3an2i 1495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
12		ixi 11838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
13	12	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (ℑ‘𝐴))
14		mulass 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
15	3, 3, 7, 14	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
16	7	mulm1d 11661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
17	13, 15, 16	3eqtr3a 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
18	17	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
19	11, 18	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
20	2, 19	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
21	20	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))))
22		mulcl 11179	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	3, 5, 22	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
24	6	renegcld 11636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
26		efadd 16143	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
27	23, 25, 26	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
28	21, 27	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
29	28	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 ↔ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1))
30		efcl 16131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
31	23, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
32		efcl 16131	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
33	25, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	31, 33	absmuld 15504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴)))))
35		absefi 16247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
36	4, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
37	24	reefcld 16137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
38		efgt0 16154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
39	24, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
40		0re 11205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		ltle 11293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
42	40, 41	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
43	37, 39, 42	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
44	37, 43	absidd 15470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
45	36, 44	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = (1 · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
46	33	mullidd 11222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
47	34, 45, 46	3eqtrrd 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))))
48		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1 → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = (abs‘1))
49	47, 48	sylan9eq 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1) → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
50	49	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1 → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
51	29, 50	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
52	7	negeq0d 11556	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
53		reim0b 15166	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
54		ef0 16140	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘0) = 1
55		abs1 15344	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
56	54, 55	eqtr4i 2789	. . . . . 6 ⊢ (exp‘0) = (abs‘1)
57	56	eqeq2i 2776	. . . . 5 ⊢ ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
58		reef11 16170	. . . . . 6 ⊢ ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
59	24, 40, 58	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
60	57, 59	bitr3id 288	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
61	52, 53, 60	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
62	51, 61	sylibd 242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → 𝐴 ∈ ℝ))
63	62	imp 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096  ici 11097   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239  -cneg 11437  ℜcre 15144  ℑcim 15145  abscabs 15281  expce 16110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ico 13373  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119

This theorem is referenced by: (None)