Theorem efieq1re 16411

Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq1re	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem efieq1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 15326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3		ax-icn 11298	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
4		recl 15320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		imcl 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	3, 7, 8	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		adddi 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
11	3, 5, 9, 10	mp3an2i 1496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
12		ixi 11985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
13	12	oveq1i 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = ( -1 · (ℑ‘𝐴))
14		mulass 11327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
15	3, 3, 7, 14	mp3an12i 1495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
16	7	mulm1d 11807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
17	13, 15, 16	3eqtr3a 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
18	17	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
19	11, 18	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
20	2, 19	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
21	20	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))))
22		mulcl 11323	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	3, 5, 22	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
24	6	renegcld 11782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
26		efadd 16304	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
28	21, 27	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
29	28	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 ↔ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = 1))
30		efcl 16292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
31	23, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
32		efcl 16292	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
33	25, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	31, 33	absmuld 15668	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘ -(ℑ‘𝐴)))))
35		absefi 16408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
36	4, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
37	24	reefcld 16298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
38		efgt0 16315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))
39	24, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))
40		0re 11349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		ltle 11437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
42	40, 41	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 < (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
43	37, 39, 42	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))
44	37, 43	absidd 15634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))
45	36, 44	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘ -(ℑ‘𝐴)))) = (1 · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))))
46	33	mullidd 11366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))
47	34, 45, 46	3eqtrrd 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))))
48		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = 1 → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴)))) = (abs‘1))
49	47, 48	sylan9eq 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = 1) → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
50	49	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘ -(ℑ‘𝐴))) = 1 → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
51	29, 50	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
52	7	negeq0d 11700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
53		reim0b 15329	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
54		ef0 16301	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘0) = 1
55		abs1 15507	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
56	54, 55	eqtr4i 2789	. . . . . 6 ⊢ (exp‘0) = (abs‘1)
57	56	eqeq2i 2776	. . . . 5 ⊢ ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
58		reef11 16331	. . . . . 6 ⊢ (( -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
59	24, 40, 58	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
60	57, 59	bitr3id 288	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
61	52, 53, 60	3bitr4rd 315	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘ -(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
62	51, 61	sylibd 242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → 𝐴 ∈ ℝ))
63	62	imp 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581  ℜcre 15307  ℑcim 15308  abscabs 15444  expce 16271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280

This theorem is used by: (None)