Theorem efieq1re 15548

Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq1re	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem efieq1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 14471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	oveq2d 7169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3		ax-icn 10593	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
4		recl 14465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 10666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		imcl 14466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 10666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 10618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	3, 7, 8	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		adddi 10623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
11	3, 5, 9, 10	mp3an2i 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
12		ixi 11266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
13	12	oveq1i 7163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (ℑ‘𝐴))
14		mulass 10622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
15	3, 3, 7, 14	mp3an12i 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
16	7	mulm1d 11089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
17	13, 15, 16	3eqtr3a 2879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
18	17	oveq2d 7169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
19	11, 18	eqtrd 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
20	2, 19	eqtrd 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
21	20	fveq2d 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))))
22		mulcl 10618	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	3, 5, 22	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
24	6	renegcld 11064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 10666	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
26		efadd 15443	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
27	23, 25, 26	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
28	21, 27	eqtrd 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
29	28	eqeq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 ↔ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1))
30		efcl 15432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
31	23, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
32		efcl 15432	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
33	25, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	31, 33	absmuld 14810	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴)))))
35		absefi 15545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
36	4, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
37	24	reefcld 15437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
38		efgt0 15452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
39	24, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
40		0re 10640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		ltle 10726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
42	40, 41	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
43	37, 39, 42	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
44	37, 43	absidd 14778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
45	36, 44	oveq12d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = (1 · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
46	33	mulid2d 10656	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
47	34, 45, 46	3eqtrrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))))
48		fveq2 6667	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1 → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = (abs‘1))
49	47, 48	sylan9eq 2875	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1) → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
50	49	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1 → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
51	29, 50	sylbid 242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
52	7	negeq0d 10986	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
53		reim0b 14474	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
54		ef0 15440	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘0) = 1
55		abs1 14653	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
56	54, 55	eqtr4i 2846	. . . . . 6 ⊢ (exp‘0) = (abs‘1)
57	56	eqeq2i 2833	. . . . 5 ⊢ ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
58		reef11 15468	. . . . . 6 ⊢ ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
59	24, 40, 58	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
60	57, 59	syl5bbr 287	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
61	52, 53, 60	3bitr4rd 314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
62	51, 61	sylibd 241	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → 𝐴 ∈ ℝ))
63	62	imp 409	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5063  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  ℂcc 10532  ℝcr 10533  0cc0 10534  1c1 10535  ici 10536   + caddc 10537   · cmul 10539   < clt 10672   ≤ cle 10673  -cneg 10868  ℜcre 14452  ℑcim 14453  abscabs 14589  expce 15411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-inf2 9101  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611  ax-pre-sup 10612  ax-addf 10613  ax-mulf 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-se 5512  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-pm 8406  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-div 11295  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-n0 11896  df-z 11980  df-uz 12242  df-rp 12388  df-ico 12742  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13428  df-fac 13632  df-bc 13661  df-hash 13689  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420

This theorem is referenced by: (None)