MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efieq1re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efieq1re 15542
Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
efieq1re ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem efieq1re
StepHypRef Expression
1 replim 14465 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
21oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3 ax-icn 10585 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
4 recl 14459 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 10658 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6 imcl 14460 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8 mulcl 10610 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
93, 7, 8sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10 adddi 10615 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
113, 5, 9, 10mp3an2i 1459 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))))
12 ixi 11258 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
1312oveq1i 7158 . . . . . . . . . . 11 ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (ℑ‘𝐴))
14 mulass 10614 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
153, 3, 7, 14mp3an12i 1458 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
167mulm1d 11081 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
1713, 15, 163eqtr3a 2885 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
1817oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (ℜ‘𝐴)) + (i · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
1911, 18eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
202, 19eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = ((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴)))
2120fveq2d 6671 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))))
22 mulcl 10610 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
233, 5, 22sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
246renegcld 11056 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 10658 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
26 efadd 15437 . . . . . . 7 (((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · (ℜ‘𝐴)) + -(ℑ‘𝐴))) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
2821, 27eqtrd 2861 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
2928eqeq1d 2828 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 ↔ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1))
30 efcl 15426 . . . . . . . . 9 ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
3123, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
32 efcl 15426 . . . . . . . . 9 (-(ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
3325, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
3431, 33absmuld 14804 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴)))))
35 absefi 15539 . . . . . . . . 9 ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
364, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) = 1)
3724reefcld 15431 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
38 efgt0 15446 . . . . . . . . . . 11 (-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
3924, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
40 0re 10632 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
41 ltle 10718 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
4240, 41mpan 686 . . . . . . . . . 10 ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 < (exp‘-(ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
4337, 39, 42sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4437, 43absidd 14772 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4536, 44oveq12d 7166 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (ℜ‘𝐴)))) · (abs‘(exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = (1 · (exp‘-(ℑ‘𝐴))))
4633mulid2d 10648 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4734, 45, 463eqtrrd 2866 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))))
48 fveq2 6667 . . . . . 6 (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1 → (abs‘((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴)))) = (abs‘1))
4947, 48sylan9eq 2881 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1) → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
5049ex 413 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (ℜ‘𝐴))) · (exp‘-(ℑ‘𝐴))) = 1 → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
5129, 50sylbid 241 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1)))
527negeq0d 10978 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
53 reim0b 14468 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
54 ef0 15434 . . . . . . 7 (exp‘0) = 1
55 abs1 14647 . . . . . . 7 (abs‘1) = 1
5654, 55eqtr4i 2852 . . . . . 6 (exp‘0) = (abs‘1)
5756eqeq2i 2839 . . . . 5 ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1))
58 reef11 15462 . . . . . 6 ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
5924, 40, 58sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
6057, 59syl5bbr 286 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
6152, 53, 603bitr4rd 313 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
6251, 61sylibd 240 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = 1 → 𝐴 ∈ ℝ))
6362imp 407 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (exp‘(i · 𝐴)) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  -cneg 10860  cre 14446  cim 14447  abscabs 14583  expce 15405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-ico 12734  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator