MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efieq1re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efieq1re 16175
Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
efieq1re ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)

Proof of Theorem efieq1re
StepHypRef Expression
1 replim 15095 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
21oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) = (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
3 ax-icn 11197 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
4 recl 15089 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
54recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 imcl 15090 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 11222 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
93, 7, 8sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
10 adddi 11227 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
113, 5, 9, 10mp3an2i 1462 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
12 ixi 11873 . . . . . . . . . . . 12 (i ยท i) = -1
1312oveq1i 7426 . . . . . . . . . . 11 ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (-1 ยท (โ„‘โ€˜๐ด))
14 mulass 11226 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
153, 3, 7, 14mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
167mulm1d 11696 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
1713, 15, 163eqtr3a 2789 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
1817oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด)))
1911, 18eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด)))
202, 19eqtrd 2765 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) = ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด)))
2120fveq2d 6896 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = (expโ€˜((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด))))
22 mulcl 11222 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
233, 5, 22sylancr 585 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
246renegcld 11671 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2524recnd 11272 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
26 efadd 16070 . . . . . . 7 (((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด))) = ((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
2723, 25, 26syl2anc 582 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + -(โ„‘โ€˜๐ด))) = ((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
2821, 27eqtrd 2765 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
2928eqeq1d 2727 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜(i ยท ๐ด)) = 1 โ†” ((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = 1))
30 efcl 16058 . . . . . . . . 9 ((i ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
3123, 30syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
32 efcl 16058 . . . . . . . . 9 (-(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3325, 32syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3431, 33absmuld 15433 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))) ยท (absโ€˜(expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))))
35 absefi 16172 . . . . . . . . 9 ((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))) = 1)
364, 35syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))) = 1)
3724reefcld 16064 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
38 efgt0 16079 . . . . . . . . . . 11 (-(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ 0 < (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
3924, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 < (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
40 0re 11246 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
41 ltle 11332 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
4240, 41mpan 688 . . . . . . . . . 10 ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
4337, 39, 42sylc 65 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
4437, 43absidd 15401 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
4536, 44oveq12d 7434 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))) ยท (absโ€˜(expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))) = (1 ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))))
4633mullidd 11262 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
4734, 45, 463eqtrrd 2770 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))))
48 fveq2 6892 . . . . . 6 (((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = 1 โ†’ (absโ€˜((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))) = (absโ€˜1))
4947, 48sylan9eq 2785 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = 1) โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1))
5049ex 411 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((expโ€˜(i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) ยท (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด))) = 1 โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1)))
5129, 50sylbid 239 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜(i ยท ๐ด)) = 1 โ†’ (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1)))
527negeq0d 11593 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) = 0 โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
53 reim0b 15098 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
54 ef0 16067 . . . . . . 7 (expโ€˜0) = 1
55 abs1 15276 . . . . . . 7 (absโ€˜1) = 1
5654, 55eqtr4i 2756 . . . . . 6 (expโ€˜0) = (absโ€˜1)
5756eqeq2i 2738 . . . . 5 ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1))
58 reef11 16095 . . . . . 6 ((-(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
5924, 40, 58sylancl 584 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
6057, 59bitr3id 284 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
6152, 53, 603bitr4rd 311 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (absโ€˜1) โ†” ๐ด โˆˆ โ„))
6251, 61sylibd 238 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜(i ยท ๐ด)) = 1 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„))
6362imp 405 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139  ici 11140   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279  -cneg 11475  โ„œcre 15076  โ„‘cim 15077  abscabs 15213  expce 16037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator