Theorem cnsubrg 21639

Description: There are no subrings of the complex numbers strictly between ℝ and ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnsubrg	⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → 𝑅 ∈ {ℝ, ℂ})

Proof of Theorem cnsubrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4317	. . . 4 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ↔ (𝑅 ∖ ℝ) = ∅)
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → 𝑅 ⊆ ℝ)
3		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ 𝑅)
4	2, 3	eqssd 3951	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → 𝑅 = ℝ)
5	4	orcd 887	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
6	1, 5	sylan2br 607	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∖ ℝ) = ∅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
7		n0 4303	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∖ ℝ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ))
8		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld))
9		cnfldbas 21588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
10	9	subrgss 20733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑅 ⊆ ℂ)
11	8, 10	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 ⊆ ℂ)
12		replim 15203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 = ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))))
13	12	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 = ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))))
14		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ℝ ⊆ 𝑅)
16		recl 15197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
17	16	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
18	15, 17	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑦) ∈ 𝑅)
19		ax-icn 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i ∈ ℂ)
21		eldifi 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → 𝑥 ∈ 𝑅)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 ∈ 𝑅)
23	11, 22	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
24		imcl 15198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
27		eldifn 4082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
29		reim0b 15206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
30	29	necon3bbid 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
31	23, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
32	28, 31	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
33	20, 26, 32	divcan4d 12022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) / (ℑ‘𝑥)) = i)
34		mulcl 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
35	19, 26, 34	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
36	35, 26, 32	divrecd 12019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) / (ℑ‘𝑥)) = ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))))
37	33, 36	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i = ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))))
38	23	recld 15281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℂ)
40	23, 39	negsubd 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) = (𝑥 − (ℜ‘𝑥)))
41		replim 15203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = ((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))))
42	23, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 = ((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))))
43	42	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 − (ℜ‘𝑥)) = (((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))) − (ℜ‘𝑥)))
44	39, 35	pncan2d 11596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))) − (ℜ‘𝑥)) = (i · (ℑ‘𝑥)))
45	40, 43, 44	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) = (i · (ℑ‘𝑥)))
46		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ℝ ⊆ 𝑅)
47	38	renegcld 11666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → -(ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
48	46, 47	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → -(ℜ‘𝑥) ∈ 𝑅)
49		cnfldadd 21590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
50	49	subrgacl 20744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ -(ℜ‘𝑥) ∈ 𝑅) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
51	8, 22, 48, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
52	45, 51	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
53	25, 32	rereccld 12067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
54	46, 53	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
55		cnfldmul 21592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
56	55	subrgmcl 20745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅 ∧ (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅) → ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))) ∈ 𝑅)
57	8, 52, 54, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))) ∈ 𝑅)
58	37, 57	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i ∈ 𝑅)
59	58	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ 𝑅)
60		imcl 15198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
61	60	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
62	15, 61	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ 𝑅)
63	55	subrgmcl 20745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝑅 ∧ (ℑ‘𝑦) ∈ 𝑅) → (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅)
64	14, 59, 62, 63	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅)
65	49	subrgacl 20744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℜ‘𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅) → ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))) ∈ 𝑅)
66	14, 18, 64, 65	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))) ∈ 𝑅)
67	13, 66	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
68	67	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ 𝑅))
69	68	ssrdv 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ℂ ⊆ 𝑅)
70	11, 69	eqssd 3951	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 = ℂ)
71	70	olcd 888	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
72	71	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
73	72	exlimdv 1966	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
74	73	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
75	7, 74	sylan2b 606	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∖ ℝ) ≠ ∅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
76	6, 75	pm2.61dane 3044	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
77		elprg 4610	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑅 ∈ {ℝ, ℂ} ↔ (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
78	77	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑅 ∈ {ℝ, ℂ} ↔ (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
79	76, 78	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → 𝑅 ∈ {ℝ, ℂ})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {cpr 4589  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126  ici 11127   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11896  ℜcre 15184  ℑcim 15185  SubRingcsubrg 20730  ℂ_fldccnfld 21584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-addf 11204  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-subg 19245  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-cnfld 21585

This theorem is used by:  cncdrg  25586