Theorem cnsubrg 20570

Description: There are no subrings of the complex numbers strictly between ℝ and ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnsubrg	⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → 𝑅 ∈ {ℝ, ℂ})

Proof of Theorem cnsubrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4294	. . . 4 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ↔ (𝑅 ∖ ℝ) = ∅)
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → 𝑅 ⊆ ℝ)
3		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ 𝑅)
4	2, 3	eqssd 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → 𝑅 = ℝ)
5	4	orcd 869	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
6	1, 5	sylan2br 594	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∖ ℝ) = ∅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
7		n0 4277	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∖ ℝ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ))
8		simpll 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld))
9		cnfldbas 20514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
10	9	subrgss 19940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑅 ⊆ ℂ)
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 ⊆ ℂ)
12		replim 14755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 = ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))))
13	12	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 = ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))))
14		simpll 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ℝ ⊆ 𝑅)
16		recl 14749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
17	16	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
18	15, 17	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑦) ∈ 𝑅)
19		ax-icn 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i ∈ ℂ)
21		eldifi 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → 𝑥 ∈ 𝑅)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 ∈ 𝑅)
23	11, 22	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
24		imcl 14750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
27		eldifn 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
29		reim0b 14758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
30	29	necon3bbid 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
31	23, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
32	28, 31	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
33	20, 26, 32	divcan4d 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) / (ℑ‘𝑥)) = i)
34		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
35	19, 26, 34	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
36	35, 26, 32	divrecd 11684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) / (ℑ‘𝑥)) = ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))))
37	33, 36	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i = ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))))
38	23	recld 14833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
39	38	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℂ)
40	23, 39	negsubd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) = (𝑥 − (ℜ‘𝑥)))
41		replim 14755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = ((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))))
42	23, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 = ((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))))
43	42	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 − (ℜ‘𝑥)) = (((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))) − (ℜ‘𝑥)))
44	39, 35	pncan2d 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))) − (ℜ‘𝑥)) = (i · (ℑ‘𝑥)))
45	40, 43, 44	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) = (i · (ℑ‘𝑥)))
46		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ℝ ⊆ 𝑅)
47	38	renegcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → -(ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
48	46, 47	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → -(ℜ‘𝑥) ∈ 𝑅)
49		cnfldadd 20515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
50	49	subrgacl 19950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ -(ℜ‘𝑥) ∈ 𝑅) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
51	8, 22, 48, 50	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
52	45, 51	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
53	25, 32	rereccld 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
54	46, 53	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
55		cnfldmul 20516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
56	55	subrgmcl 19951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅 ∧ (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅) → ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))) ∈ 𝑅)
57	8, 52, 54, 56	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))) ∈ 𝑅)
58	37, 57	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i ∈ 𝑅)
59	58	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ 𝑅)
60		imcl 14750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
61	60	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
62	15, 61	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ 𝑅)
63	55	subrgmcl 19951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝑅 ∧ (ℑ‘𝑦) ∈ 𝑅) → (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅)
64	14, 59, 62, 63	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅)
65	49	subrgacl 19950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℜ‘𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅) → ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))) ∈ 𝑅)
66	14, 18, 64, 65	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))) ∈ 𝑅)
67	13, 66	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
68	67	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ 𝑅))
69	68	ssrdv 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ℂ ⊆ 𝑅)
70	11, 69	eqssd 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 = ℂ)
71	70	olcd 870	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
72	71	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
73	72	exlimdv 1937	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
74	73	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
75	7, 74	sylan2b 593	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∖ ℝ) ≠ ∅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
76	6, 75	pm2.61dane 3031	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
77		elprg 4579	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑅 ∈ {ℝ, ℂ} ↔ (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
78	77	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑅 ∈ {ℝ, ℂ} ↔ (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
79	76, 78	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → 𝑅 ∈ {ℝ, ℂ})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {cpr 4560  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℜcre 14736  ℑcim 14737  SubRingcsubrg 19935  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by:  cncdrg  24428