Theorem cnsubrg 21445

Description: There are no subrings of the complex numbers strictly between ℝ and ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnsubrg	⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → 𝑅 ∈ {ℝ, ℂ})

Proof of Theorem cnsubrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4366	. . . 4 ⊢ (𝑅 ⊆ ℝ ↔ (𝑅 ∖ ℝ) = ∅)
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → 𝑅 ⊆ ℝ)
3		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ 𝑅)
4	2, 3	eqssd 4001	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → 𝑅 = ℝ)
5	4	orcd 874	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
6	1, 5	sylan2br 595	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∖ ℝ) = ∅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
7		n0 4353	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∖ ℝ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ))
8		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld))
9		cnfldbas 21368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
10	9	subrgss 20572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑅 ⊆ ℂ)
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 ⊆ ℂ)
12		replim 15155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 = ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))))
13	12	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 = ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))))
14		simpll 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ℝ ⊆ 𝑅)
16		recl 15149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
17	16	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
18	15, 17	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑦) ∈ 𝑅)
19		ax-icn 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i ∈ ℂ)
21		eldifi 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → 𝑥 ∈ 𝑅)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 ∈ 𝑅)
23	11, 22	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
24		imcl 15150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
27		eldifn 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
29		reim0b 15158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
30	29	necon3bbid 2978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
31	23, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
32	28, 31	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
33	20, 26, 32	divcan4d 12049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) / (ℑ‘𝑥)) = i)
34		mulcl 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
35	19, 26, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
36	35, 26, 32	divrecd 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) / (ℑ‘𝑥)) = ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))))
37	33, 36	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i = ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))))
38	23	recld 15233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℂ)
40	23, 39	negsubd 11626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) = (𝑥 − (ℜ‘𝑥)))
41		replim 15155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = ((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))))
42	23, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 = ((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))))
43	42	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 − (ℜ‘𝑥)) = (((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))) − (ℜ‘𝑥)))
44	39, 35	pncan2d 11622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))) − (ℜ‘𝑥)) = (i · (ℑ‘𝑥)))
45	40, 43, 44	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) = (i · (ℑ‘𝑥)))
46		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ℝ ⊆ 𝑅)
47	38	renegcld 11690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → -(ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
48	46, 47	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → -(ℜ‘𝑥) ∈ 𝑅)
49		cnfldadd 21370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
50	49	subrgacl 20583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ -(ℜ‘𝑥) ∈ 𝑅) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
51	8, 22, 48, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
52	45, 51	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
53	25, 32	rereccld 12094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
54	46, 53	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
55		cnfldmul 21372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
56	55	subrgmcl 20584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅 ∧ (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅) → ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))) ∈ 𝑅)
57	8, 52, 54, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))) ∈ 𝑅)
58	37, 57	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i ∈ 𝑅)
59	58	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ 𝑅)
60		imcl 15150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
61	60	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
62	15, 61	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ 𝑅)
63	55	subrgmcl 20584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝑅 ∧ (ℑ‘𝑦) ∈ 𝑅) → (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅)
64	14, 59, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅)
65	49	subrgacl 20583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℜ‘𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅) → ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))) ∈ 𝑅)
66	14, 18, 64, 65	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))) ∈ 𝑅)
67	13, 66	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
68	67	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ 𝑅))
69	68	ssrdv 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ℂ ⊆ 𝑅)
70	11, 69	eqssd 4001	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 = ℂ)
71	70	olcd 875	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
72	71	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
73	72	exlimdv 1933	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
74	73	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
75	7, 74	sylan2b 594	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∖ ℝ) ≠ ∅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
76	6, 75	pm2.61dane 3029	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
77		elprg 4648	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑅 ∈ {ℝ, ℂ} ↔ (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
78	77	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑅 ∈ {ℝ, ℂ} ↔ (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
79	76, 78	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → 𝑅 ∈ {ℝ, ℂ})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {cpr 4628  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  ℜcre 15136  ℑcim 15137  SubRingcsubrg 20569  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by:  cncdrg  25393