Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressmulgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmulgnn 32172
Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulgnn.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressmulgnn.2 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3 = (.g𝐺)
ressmulgnn.4 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressmulgnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn
StepHypRef Expression
1 ressmulgnn.2 . . . 4 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
2 ressmulgnn.1 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
3 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
42, 3ressbas2 17179 . . . 4 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
51, 4ax-mp 5 . . 3 𝐴 = (Base‘𝐻)
6 eqid 2733 . . 3 (+g𝐻) = (+g𝐻)
7 eqid 2733 . . 3 (.g𝐻) = (.g𝐻)
8 fvex 6902 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
98, 1ssexi 5322 . . . . 5 𝐴 ∈ V
10 eqid 2733 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
112, 10ressplusg 17232 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g𝐻))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐻)
13 seqeq2 13967 . . . 4 ((+g𝐺) = (+g𝐻) → seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))
155, 6, 7, 14mulgnn 18953 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16 simpr 486 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
171, 16sselid 3980 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
18 ressmulgnn.3 . . . 4 = (.g𝐺)
19 eqid 2733 . . . 4 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
203, 10, 18, 19mulgnn 18953 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
2117, 20syldan 592 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
2215, 21eqtr4d 2776 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  wss 3948  {csn 4628   × cxp 5674  cfv 6541  (class class class)co 7406  1c1 11108  cn 12209  seqcseq 13963  Basecbs 17141  s cress 17170  +gcplusg 17194  invgcminusg 18817  .gcmg 18945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulg 18946
This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  32173
  Copyright terms: Public domain W3C validator