Theorem ressmulgnn 32172

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnn.2	⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3	⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
ressmulgnn.4	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnn.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
2		ressmulgnn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	ressbas2 17179	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
8		fvex 6902	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
9	8, 1	ssexi 5322	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
10		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	2, 10	ressplusg 17232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻)
13		seqeq2 13967	. . . 4 ⊢ ((+g‘𝐺) = (+g‘𝐻) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
15	5, 6, 7, 14	mulgnn 18953	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	1, 16	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
18		ressmulgnn.3	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
19		eqid 2733	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
20	3, 10, 18, 19	mulgnn 18953	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
21	17, 20	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
22	15, 21	eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3948  {csn 4628   × cxp 5674  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  1c1 11108  ℕcn 12209  seqcseq 13963  Basecbs 17141   ↾_s cress 17170  +_gcplusg 17194  inv_gcminusg 18817  ._gcmg 18945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulg 18946

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  32173