Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressmulgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmulgnn 30253
Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulgnn.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressmulgnn.2 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3 = (.g𝐺)
ressmulgnn.4 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressmulgnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn
StepHypRef Expression
1 ressmulgnn.2 . . . 4 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
2 ressmulgnn.1 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
3 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
42, 3ressbas2 16338 . . . 4 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
51, 4ax-mp 5 . . 3 𝐴 = (Base‘𝐻)
6 eqid 2778 . . 3 (+g𝐻) = (+g𝐻)
7 eqid 2778 . . 3 (.g𝐻) = (.g𝐻)
8 fvex 6461 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
98, 1ssexi 5042 . . . . 5 𝐴 ∈ V
10 eqid 2778 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
112, 10ressplusg 16396 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g𝐻))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐻)
13 seqeq2 13128 . . . 4 ((+g𝐺) = (+g𝐻) → seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))
155, 6, 7, 14mulgnn 17945 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16 simpr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
171, 16sseldi 3819 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
18 ressmulgnn.3 . . . 4 = (.g𝐺)
19 eqid 2778 . . . 4 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
203, 10, 18, 19mulgnn 17945 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
2117, 20syldan 585 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
2215, 21eqtr4d 2817 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  wss 3792  {csn 4398   × cxp 5355  cfv 6137  (class class class)co 6924  1c1 10275  cn 11379  seqcseq 13124  Basecbs 16266  s cress 16267  +gcplusg 16349  invgcminusg 17821  .gcmg 17938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-z 11734  df-seq 13125  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulg 17939
This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  30254
  Copyright terms: Public domain W3C validator