Theorem ressmulgnn 30670

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnn.2	⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3	⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
ressmulgnn.4	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnn.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
2		ressmulgnn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
3		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	ressbas2 16555	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
6		eqid 2821	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
7		eqid 2821	. . 3 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
8		fvex 6683	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
9	8, 1	ssexi 5226	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
10		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	2, 10	ressplusg 16612	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻)
13		seqeq2 13374	. . . 4 ⊢ ((+g‘𝐺) = (+g‘𝐻) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
15	5, 6, 7, 14	mulgnn 18232	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	1, 16	sseldi 3965	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
18		ressmulgnn.3	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
19		eqid 2821	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
20	3, 10, 18, 19	mulgnn 18232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
21	17, 20	syldan 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
22	15, 21	eqtr4d 2859	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  {csn 4567   × cxp 5553  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1c1 10538  ℕcn 11638  seqcseq 13370  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  +_gcplusg 16565  inv_gcminusg 18104  ._gcmg 18224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulg 18225

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  30671