Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressmulgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmulgnn 30408
Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulgnn.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressmulgnn.2 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3 = (.g𝐺)
ressmulgnn.4 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressmulgnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn
StepHypRef Expression
1 ressmulgnn.2 . . . 4 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
2 ressmulgnn.1 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
3 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
42, 3ressbas2 16411 . . . 4 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
51, 4ax-mp 5 . . 3 𝐴 = (Base‘𝐻)
6 eqid 2778 . . 3 (+g𝐻) = (+g𝐻)
7 eqid 2778 . . 3 (.g𝐻) = (.g𝐻)
8 fvex 6512 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
98, 1ssexi 5082 . . . . 5 𝐴 ∈ V
10 eqid 2778 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
112, 10ressplusg 16468 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g𝐻))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐻)
13 seqeq2 13188 . . . 4 ((+g𝐺) = (+g𝐻) → seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))
155, 6, 7, 14mulgnn 18019 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16 simpr 477 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
171, 16sseldi 3856 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
18 ressmulgnn.3 . . . 4 = (.g𝐺)
19 eqid 2778 . . . 4 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
203, 10, 18, 19mulgnn 18019 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
2117, 20syldan 582 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
2215, 21eqtr4d 2817 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3415  wss 3829  {csn 4441   × cxp 5405  cfv 6188  (class class class)co 6976  1c1 10336  cn 11439  seqcseq 13184  Basecbs 16339  s cress 16340  +gcplusg 16421  invgcminusg 17892  .gcmg 18011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-seq 13185  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulg 18012
This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  30409
  Copyright terms: Public domain W3C validator