Theorem ressmulgnn 19063

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnn.2	⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3	⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
ressmulgnn.4	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnn.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
2		ressmulgnn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	ressbas2 17261	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
8		fvex 6899	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
9	8, 1	ssexi 5302	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
10		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	2, 10	ressplusg 17307	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻)
13		seqeq2 14028	. . . 4 ⊢ ((+g‘𝐺) = (+g‘𝐻) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
15	5, 6, 7, 14	mulgnn 19062	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	1, 16	sselid 3961	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
18		ressmulgnn.3	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
19		eqid 2734	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
20	3, 10, 18, 19	mulgnn 19062	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
21	17, 20	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
22	15, 21	eqtr4d 2772	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ⊆ wss 3931  {csn 4606   × cxp 5663  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1c1 11138  ℕcn 12248  seqcseq 14024  Basecbs 17229   ↾_s cress 17252  +_gcplusg 17273  inv_gcminusg 18921  ._gcmg 19054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14025  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulg 19055

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  19064