Theorem ressmulgnn 30408

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnn.2	⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3	⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
ressmulgnn.4	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulgnn.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
2		ressmulgnn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
3		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	ressbas2 16411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
6		eqid 2778	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
7		eqid 2778	. . 3 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
8		fvex 6512	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
9	8, 1	ssexi 5082	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
10		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	2, 10	ressplusg 16468	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻)
13		seqeq2 13188	. . . 4 ⊢ ((+g‘𝐺) = (+g‘𝐻) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋})))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑋}))
15	5, 6, 7, 14	mulgnn 18019	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
16		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
17	1, 16	sseldi 3856	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
18		ressmulgnn.3	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
19		eqid 2778	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
20	3, 10, 18, 19	mulgnn 18019	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
21	17, 20	syldan 582	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
22	15, 21	eqtr4d 2817	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415   ⊆ wss 3829  {csn 4441   × cxp 5405  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  1c1 10336  ℕcn 11439  seqcseq 13184  Basecbs 16339   ↾_s cress 16340  +_gcplusg 16421  inv_gcminusg 17892  ._gcmg 18011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-seq 13185  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulg 18012

This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  30409