Theorem ressmulgnn0 31012

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnn.2	⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3	⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
ressmulgnn.4	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
ressmulgnn0.4	⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		ressmulgnn.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
4		ressmulgnn.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
5		ressmulgnn.3	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
6		ressmulgnn.4	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	ressmulgnn 31011	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
8	1, 2, 7	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
9		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	3, 10	ressbas2 16791	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
13		ressmulgnn0.4	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
15	12, 13, 14	mulg0 18495	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
17		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
18	17	oveq1d 7228	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
19	4, 9	sseldi 3899	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
21	10, 20, 5	mulg0 18495	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 ∗ 𝑋) = (0g‘𝐺))
22	19, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∗ 𝑋) = (0g‘𝐺))
23	16, 18, 22	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0 ∗ 𝑋))
24	17	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (0 ∗ 𝑋))
25	23, 24	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
26		elnn0 12092	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27	26	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
28	27	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
29	8, 25, 28	mpjaodan 959	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  0_gc0g 16944  inv_gcminusg 18366  ._gcmg 18488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulg 18489

This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  31017  znfermltl  31276