MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmulgnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmulgnn0 19095
Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulgnn.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressmulgnn.2 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3 = (.g𝐺)
ressmulgnn.4 𝐼 = (invg𝐺)
ressmulgnn0.4 (0g𝐺) = (0g𝐻)
Assertion
Ref Expression
ressmulgnn0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simplr 769 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐴)
3 ressmulgnn.1 . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
4 ressmulgnn.2 . . . 4 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
5 ressmulgnn.3 . . . 4 = (.g𝐺)
6 ressmulgnn.4 . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
73, 4, 5, 6ressmulgnn 19094 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
81, 2, 7syl2anc 584 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
9 simplr 769 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋𝐴)
10 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
113, 10ressbas2 17283 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐴 = (Base‘𝐻)
13 ressmulgnn0.4 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐻)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (.g𝐻) = (.g𝐻)
1512, 13, 14mulg0 19092 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (0(.g𝐻)𝑋) = (0g𝐺))
169, 15syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g𝐻)𝑋) = (0g𝐺))
17 simpr 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
1817oveq1d 7446 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (0(.g𝐻)𝑋))
194, 9sselid 3981 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
20 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2110, 20, 5mulg0 19092 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
2219, 21syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
2316, 18, 223eqtr4d 2787 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (0 𝑋))
2417oveq1d 7446 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (0 𝑋))
2523, 24eqtr4d 2780 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
26 elnn0 12528 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2726biimpi 216 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2827adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
298, 25, 28mpjaodan 961 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  s cress 17274  0gc0g 17484  invgcminusg 18952  .gcmg 19085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulg 19086
This theorem is referenced by:  fermltlchr  21544  xrge0mulgnn0  33020  znfermltl  33394
  Copyright terms: Public domain W3C validator