Theorem ressmulgnn0 19287

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnn.2	⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3	⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
ressmulgnn.4	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
ressmulgnn0.4	⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		ressmulgnn.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
4		ressmulgnn.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
5		ressmulgnn.3	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
6		ressmulgnn.4	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	ressmulgnn 19286	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
9		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	3, 10	ressbas2 17416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
13		ressmulgnn0.4	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
15	12, 13, 14	mulg0 19284	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
16	9, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
18	17	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
19	4, 9	sselid 3906	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
21	10, 20, 5	mulg0 19284	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 ∗ 𝑋) = (0g‘𝐺))
22	19, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∗ 𝑋) = (0g‘𝐺))
23	16, 18, 22	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0 ∗ 𝑋))
24	17	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (0 ∗ 𝑋))
25	23, 24	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
26		elnn0 12608	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27	26	birani 509	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
28	8, 25, 27	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  0_gc0g 17610  inv_gcminusg 19145  ._gcmg 19277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulg 19278

This theorem is used by:  fermltlchr  21835  xrge0mulgnn0  33576  znfermltl  33922