Theorem ressmulgnn0 19060

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnn.2	⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3	⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
ressmulgnn.4	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
ressmulgnn0.4	⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		ressmulgnn.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
4		ressmulgnn.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
5		ressmulgnn.3	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
6		ressmulgnn.4	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	ressmulgnn 19059	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
9		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	3, 10	ressbas2 17259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
13		ressmulgnn0.4	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)
14		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
15	12, 13, 14	mulg0 19057	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
18	17	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
19	4, 9	sselid 3956	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
20		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
21	10, 20, 5	mulg0 19057	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 ∗ 𝑋) = (0g‘𝐺))
22	19, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∗ 𝑋) = (0g‘𝐺))
23	16, 18, 22	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0 ∗ 𝑋))
24	17	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (0 ∗ 𝑋))
25	23, 24	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
26		elnn0 12503	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27	26	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
28	27	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
29	8, 25, 28	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453  inv_gcminusg 18917  ._gcmg 19050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulg 19051

This theorem is referenced by:  fermltlchr  21490  xrge0mulgnn0  33010  znfermltl  33381