Theorem ressmulgnn0 19016

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnn.2	⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3	⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
ressmulgnn.4	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
ressmulgnn0.4	⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		ressmulgnn.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
4		ressmulgnn.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
5		ressmulgnn.3	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
6		ressmulgnn.4	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	ressmulgnn 19015	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
9		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	3, 10	ressbas2 17215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
13		ressmulgnn0.4	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)
14		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
15	12, 13, 14	mulg0 19013	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
18	17	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
19	4, 9	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
20		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
21	10, 20, 5	mulg0 19013	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 ∗ 𝑋) = (0g‘𝐺))
22	19, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∗ 𝑋) = (0g‘𝐺))
23	16, 18, 22	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0 ∗ 𝑋))
24	17	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (0 ∗ 𝑋))
25	23, 24	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
26		elnn0 12451	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27	26	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
28	27	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
29	8, 25, 28	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  0_gc0g 17409  inv_gcminusg 18873  ._gcmg 19006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulg 19007

This theorem is referenced by:  fermltlchr  21446  xrge0mulgnn0  32963  znfermltl  33344