Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressmulgnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmulgnn0 30767
 Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulgnn.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressmulgnn.2 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3 = (.g𝐺)
ressmulgnn.4 𝐼 = (invg𝐺)
ressmulgnn0.4 (0g𝐺) = (0g𝐻)
Assertion
Ref Expression
ressmulgnn0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simplr 768 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐴)
3 ressmulgnn.1 . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
4 ressmulgnn.2 . . . 4 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
5 ressmulgnn.3 . . . 4 = (.g𝐺)
6 ressmulgnn.4 . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
73, 4, 5, 6ressmulgnn 30766 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
81, 2, 7syl2anc 587 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
9 simplr 768 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋𝐴)
10 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
113, 10ressbas2 16567 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐴 = (Base‘𝐻)
13 ressmulgnn0.4 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐻)
14 eqid 2798 . . . . . 6 (.g𝐻) = (.g𝐻)
1512, 13, 14mulg0 18244 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (0(.g𝐻)𝑋) = (0g𝐺))
169, 15syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g𝐻)𝑋) = (0g𝐺))
17 simpr 488 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
1817oveq1d 7160 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (0(.g𝐻)𝑋))
194, 9sseldi 3915 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
20 eqid 2798 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2110, 20, 5mulg0 18244 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
2219, 21syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
2316, 18, 223eqtr4d 2843 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (0 𝑋))
2417oveq1d 7160 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (0 𝑋))
2523, 24eqtr4d 2836 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
26 elnn0 11905 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2726biimpi 219 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2827adantr 484 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
298, 25, 28mpjaodan 956 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  0cc0 10544  ℕcn 11643  ℕ0cn0 11903  Basecbs 16495   ↾s cress 16496  0gc0g 16725  invgcminusg 18116  .gcmg 18237 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-seq 13385  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulg 18238 This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  30772  znfermltl  31031
 Copyright terms: Public domain W3C validator