Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressmulgnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmulgnn0 31012
Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulgnn.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressmulgnn.2 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3 = (.g𝐺)
ressmulgnn.4 𝐼 = (invg𝐺)
ressmulgnn0.4 (0g𝐺) = (0g𝐻)
Assertion
Ref Expression
ressmulgnn0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simplr 769 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐴)
3 ressmulgnn.1 . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
4 ressmulgnn.2 . . . 4 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
5 ressmulgnn.3 . . . 4 = (.g𝐺)
6 ressmulgnn.4 . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
73, 4, 5, 6ressmulgnn 31011 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
81, 2, 7syl2anc 587 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
9 simplr 769 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋𝐴)
10 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
113, 10ressbas2 16791 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐴 = (Base‘𝐻)
13 ressmulgnn0.4 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐻)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (.g𝐻) = (.g𝐻)
1512, 13, 14mulg0 18495 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (0(.g𝐻)𝑋) = (0g𝐺))
169, 15syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g𝐻)𝑋) = (0g𝐺))
17 simpr 488 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
1817oveq1d 7228 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (0(.g𝐻)𝑋))
194, 9sseldi 3899 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
20 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2110, 20, 5mulg0 18495 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
2219, 21syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
2316, 18, 223eqtr4d 2787 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (0 𝑋))
2417oveq1d 7228 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (0 𝑋))
2523, 24eqtr4d 2780 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
26 elnn0 12092 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2726biimpi 219 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2827adantr 484 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
298, 25, 28mpjaodan 959 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wss 3866  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  cn 11830  0cn0 12090  Basecbs 16760  s cress 16784  0gc0g 16944  invgcminusg 18366  .gcmg 18488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulg 18489
This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  31017  znfermltl  31276
  Copyright terms: Public domain W3C validator