Theorem ressmulgnn0 19149

Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulgnn.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressmulgnn.2	⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3	⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
ressmulgnn.4	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
ressmulgnn0.4	⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ressmulgnn0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		ressmulgnn.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
4		ressmulgnn.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
5		ressmulgnn.3	. . . 4 ⊢ ∗ = (.g‘𝐺)
6		ressmulgnn.4	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	ressmulgnn 19148	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
8	1, 2, 7	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
9		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	3, 10	ressbas2 17304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
13		ressmulgnn0.4	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻)
14		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
15	12, 13, 14	mulg0 19146	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
16	9, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g‘𝐻)𝑋) = (0g‘𝐺))
17		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
18	17	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0(.g‘𝐻)𝑋))
19	4, 9	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
20		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
21	10, 20, 5	mulg0 19146	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 ∗ 𝑋) = (0g‘𝐺))
22	19, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∗ 𝑋) = (0g‘𝐺))
23	16, 18, 22	3eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (0 ∗ 𝑋))
24	17	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∗ 𝑋) = (0 ∗ 𝑋))
25	23, 24	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))
26		elnn0 12512	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27	26	birani 508	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
28	8, 25, 27	mpjaodan 972	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑁(.g‘𝐻)𝑋) = (𝑁 ∗ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  0_gc0g 17498  inv_gcminusg 19007  ._gcmg 19139

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-seq 14045  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulg 19140

This theorem is used by:  fermltlchr  21690  xrge0mulgnn0  33344  znfermltl  33690