Theorem hlimcaui 31198

Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimcaui	⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹 ∈ Cauchy)

Proof of Theorem hlimcaui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
4	1, 2, 3	hhlm 31161	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
5		resss 5956	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
6	4, 5	eqsstri 3984	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
7		dmss 5849	. . . . . 6 ⊢ ( ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) → dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
9	1, 2	hhxmet 31137	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
10	3	lmcau 25229	. . . . . 6 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
12	8, 11	sstri 3947	. . . 4 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
13	4	dmeqi 5851	. . . . . 6 ⊢ dom ⇝𝑣 = dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14		dmres 5967	. . . . . 6 ⊢ dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
15	13, 14	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ dom ⇝𝑣 = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
16		inss1 4190	. . . . 5 ⊢ (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))) ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
17	15, 16	eqsstri 3984	. . . 4 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
18	12, 17	ssini 4193	. . 3 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
19	1, 2	hhcau 31160	. . 3 ⊢ Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
20	18, 19	sseqtrri 3987	. 2 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ Cauchy
21		relres 5960	. . . 4 ⊢ Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
22	4	releqi 5725	. . . 4 ⊢ (Rel ⇝𝑣 ↔ Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
23	21, 22	mpbir 231	. . 3 ⊢ Rel ⇝𝑣
24	23	releldmi 5894	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
25	20, 24	sselid 3935	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹 ∈ Cauchy)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  dom cdm 5623   ↾ cres 5625  Rel wrel 5628  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  ℕcn 12146  ∞Metcxmet 21264  MetOpencmopn 21269  ⇝_𝑡clm 23129  Cauccau 25169  IndMetcims 30553   ℋchba 30881   +_ℎ cva 30882   ·_ℎ csm 30883  norm_ℎcno 30885  Cauchyccauold 30888   ⇝_𝑣 chli 30889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108  ax-hilex 30961  ax-hfvadd 30962  ax-hvcom 30963  ax-hvass 30964  ax-hv0cl 30965  ax-hvaddid 30966  ax-hfvmul 30967  ax-hvmulid 30968  ax-hvmulass 30969  ax-hvdistr1 30970  ax-hvdistr2 30971  ax-hvmul0 30972  ax-hfi 31041  ax-his1 31044  ax-his2 31045  ax-his3 31046  ax-his4 31047

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-icc 13273  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-lm 23132  df-haus 23218  df-cau 25172  df-grpo 30455  df-gid 30456  df-ginv 30457  df-gdiv 30458  df-ablo 30507  df-vc 30521  df-nv 30554  df-va 30557  df-ba 30558  df-sm 30559  df-0v 30560  df-vs 30561  df-nmcv 30562  df-ims 30563  df-hnorm 30930  df-hvsub 30933  df-hlim 30934  df-hcau 30935

This theorem is referenced by:  isch3  31203  chscllem2  31600