HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimcaui Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimcaui 30476
Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimcaui (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ Cauchy)

Proof of Theorem hlimcaui
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . . 8 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2 eqid 2732 . . . . . . . 8 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
41, 2, 3hhlm 30439 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
5 resss 6004 . . . . . . 7 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
64, 5eqsstri 4015 . . . . . 6 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
7 dmss 5900 . . . . . 6 ( ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) → dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
91, 2hhxmet 30415 . . . . . 6 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
103lmcau 24821 . . . . . 6 ((IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
128, 11sstri 3990 . . . 4 dom ⇝𝑣 ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
134dmeqi 5902 . . . . . 6 dom ⇝𝑣 = dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14 dmres 6001 . . . . . 6 dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
1513, 14eqtri 2760 . . . . 5 dom ⇝𝑣 = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
16 inss1 4227 . . . . 5 (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))) ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
1715, 16eqsstri 4015 . . . 4 dom ⇝𝑣 ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
1812, 17ssini 4230 . . 3 dom ⇝𝑣 ⊆ ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
191, 2hhcau 30438 . . 3 Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
2018, 19sseqtrri 4018 . 2 dom ⇝𝑣 ⊆ Cauchy
21 relres 6008 . . . 4 Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
224releqi 5775 . . . 4 (Rel ⇝𝑣 ↔ Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
2321, 22mpbir 230 . . 3 Rel ⇝𝑣
2423releldmi 5945 . 2 (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
2520, 24sselid 3979 1 (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ Cauchy)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  cin 3946  wss 3947  cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  cres 5677  Rel wrel 5680  cfv 6540  (class class class)co 7405  m cmap 8816  cn 12208  ∞Metcxmet 20921  MetOpencmopn 20926  𝑡clm 22721  Cauccau 24761  IndMetcims 29831  chba 30159   + cva 30160   · csm 30161  normcno 30163  Cauchyccauold 30166  𝑣 chli 30167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-lm 22724  df-haus 22810  df-cau 24764  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-hnorm 30208  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213
This theorem is referenced by:  isch3  30481  chscllem2  30878
  Copyright terms: Public domain W3C validator