Theorem hlimcaui 31172

Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimcaui	⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹 ∈ Cauchy)

Proof of Theorem hlimcaui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
4	1, 2, 3	hhlm 31135	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
5		resss 5975	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
6	4, 5	eqsstri 3996	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
7		dmss 5869	. . . . . 6 ⊢ ( ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) → dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
9	1, 2	hhxmet 31111	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
10	3	lmcau 25220	. . . . . 6 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
12	8, 11	sstri 3959	. . . 4 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
13	4	dmeqi 5871	. . . . . 6 ⊢ dom ⇝𝑣 = dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14		dmres 5986	. . . . . 6 ⊢ dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
15	13, 14	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ dom ⇝𝑣 = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
16		inss1 4203	. . . . 5 ⊢ (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))) ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
17	15, 16	eqsstri 3996	. . . 4 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
18	12, 17	ssini 4206	. . 3 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
19	1, 2	hhcau 31134	. . 3 ⊢ Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
20	18, 19	sseqtrri 3999	. 2 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ Cauchy
21		relres 5979	. . . 4 ⊢ Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
22	4	releqi 5743	. . . 4 ⊢ (Rel ⇝𝑣 ↔ Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
23	21, 22	mpbir 231	. . 3 ⊢ Rel ⇝𝑣
24	23	releldmi 5915	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
25	20, 24	sselid 3947	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹 ∈ Cauchy)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  Rel wrel 5646  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  ℕcn 12193  ∞Metcxmet 21256  MetOpencmopn 21261  ⇝_𝑡clm 23120  Cauccau 25160  IndMetcims 30527   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857  norm_ℎcno 30859  Cauchyccauold 30862   ⇝_𝑣 chli 30863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-lm 23123  df-haus 23209  df-cau 25163  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-hnorm 30904  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909

This theorem is referenced by:  isch3  31177  chscllem2  31574