Theorem hlimcaui 31268

Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlimcaui	⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹 ∈ Cauchy)

Proof of Theorem hlimcaui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
4	1, 2, 3	hhlm 31231	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
5		resss 6031	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
6	4, 5	eqsstri 4043	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
7		dmss 5927	. . . . . 6 ⊢ ( ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) → dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
9	1, 2	hhxmet 31207	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
10	3	lmcau 25366	. . . . . 6 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
12	8, 11	sstri 4018	. . . 4 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
13	4	dmeqi 5929	. . . . . 6 ⊢ dom ⇝𝑣 = dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14		dmres 6041	. . . . . 6 ⊢ dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
15	13, 14	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ dom ⇝𝑣 = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))))
16		inss1 4258	. . . . 5 ⊢ (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))) ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
17	15, 16	eqsstri 4043	. . . 4 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
18	12, 17	ssini 4261	. . 3 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
19	1, 2	hhcau 31230	. . 3 ⊢ Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
20	18, 19	sseqtrri 4046	. 2 ⊢ dom ⇝𝑣 ⊆ Cauchy
21		relres 6035	. . . 4 ⊢ Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
22	4	releqi 5801	. . . 4 ⊢ (Rel ⇝𝑣 ↔ Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
23	21, 22	mpbir 231	. . 3 ⊢ Rel ⇝𝑣
24	23	releldmi 5973	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
25	20, 24	sselid 4006	1 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹 ∈ Cauchy)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  Rel wrel 5705  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℕcn 12293  ∞Metcxmet 21372  MetOpencmopn 21377  ⇝_𝑡clm 23255  Cauccau 25306  IndMetcims 30623   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953  norm_ℎcno 30955  Cauchyccauold 30958   ⇝_𝑣 chli 30959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-lm 23258  df-haus 23344  df-cau 25309  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633  df-hnorm 31000  df-hvsub 31003  df-hlim 31004  df-hcau 31005

This theorem is referenced by:  isch3  31273  chscllem2  31670