Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimcaui Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimcaui 29026
 Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimcaui (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ Cauchy)

Proof of Theorem hlimcaui
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . . . . . 8 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2 eqid 2798 . . . . . . . 8 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3 eqid 2798 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
41, 2, 3hhlm 28989 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
5 resss 5843 . . . . . . 7 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
64, 5eqsstri 3949 . . . . . 6 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
7 dmss 5735 . . . . . 6 ( ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) → dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 dom ⇝𝑣 ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
91, 2hhxmet 28965 . . . . . 6 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
103lmcau 23924 . . . . . 6 ((IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
128, 11sstri 3924 . . . 4 dom ⇝𝑣 ⊆ (Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
134dmeqi 5737 . . . . . 6 dom ⇝𝑣 = dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
14 dmres 5840 . . . . . 6 dom ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
1513, 14eqtri 2821 . . . . 5 dom ⇝𝑣 = (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))))
16 inss1 4155 . . . . 5 (( ℋ ↑m ℕ) ∩ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))) ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
1715, 16eqsstri 3949 . . . 4 dom ⇝𝑣 ⊆ ( ℋ ↑m ℕ)
1812, 17ssini 4158 . . 3 dom ⇝𝑣 ⊆ ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
191, 2hhcau 28988 . . 3 Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
2018, 19sseqtrri 3952 . 2 dom ⇝𝑣 ⊆ Cauchy
21 relres 5847 . . . 4 Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
224releqi 5616 . . . 4 (Rel ⇝𝑣 ↔ Rel ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)))
2321, 22mpbir 234 . . 3 Rel ⇝𝑣
2423releldmi 5782 . 2 (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ dom ⇝𝑣 )
2520, 24sseldi 3913 1 (𝐹𝑣 𝐴𝐹 ∈ Cauchy)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  Rel wrel 5524  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8391  ℕcn 11627  ∞Metcxmet 20079  MetOpencmopn 20084  ⇝𝑡clm 21838  Cauccau 23864  IndMetcims 28381   ℋchba 28709   +ℎ cva 28710   ·ℎ csm 28711  normℎcno 28713  Cauchyccauold 28716   ⇝𝑣 chli 28717 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-addf 10607  ax-mulf 10608  ax-hilex 28789  ax-hfvadd 28790  ax-hvcom 28791  ax-hvass 28792  ax-hv0cl 28793  ax-hvaddid 28794  ax-hfvmul 28795  ax-hvmulid 28796  ax-hvmulass 28797  ax-hvdistr1 28798  ax-hvdistr2 28799  ax-hvmul0 28800  ax-hfi 28869  ax-his1 28872  ax-his2 28873  ax-his3 28874  ax-his4 28875 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-icc 12735  df-seq 13367  df-exp 13428  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-topgen 16711  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21506  df-topon 21523  df-bases 21558  df-lm 21841  df-haus 21927  df-cau 23867  df-grpo 28283  df-gid 28284  df-ginv 28285  df-gdiv 28286  df-ablo 28335  df-vc 28349  df-nv 28382  df-va 28385  df-ba 28386  df-sm 28387  df-0v 28388  df-vs 28389  df-nmcv 28390  df-ims 28391  df-hnorm 28758  df-hvsub 28761  df-hlim 28762  df-hcau 28763 This theorem is referenced by:  isch3  29031  chscllem2  29428
 Copyright terms: Public domain W3C validator