Theorem vdwnnlem1 16325

Description: Corollary of vdw 16324, and lemma for vdwnn 16328. If 𝐹 is a coloring of the integers, then there are arbitrarily long monochromatic APs in 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem1	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑚,𝑐,𝐾   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑚)

Proof of Theorem vdwnnlem1

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdw 16324	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))
2	1	3adant2 1127	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))
3		simpl2 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
4		fz1ssnn 12932	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
5		fssres 6539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ (1...𝑛) ⊆ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅)
6	3, 4, 5	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅)
7		simpl1 1187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Fin)
8		ovex 7183	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑛) ∈ V
9		elmapg 8413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅))
10	7, 8, 9	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅))
11	6, 10	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)))
12		cnveq 5739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → ◡𝑓 = ◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)))
13	12	imaeq1d 5923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (◡𝑓 “ {𝑐}) = (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}))
14	13	eleq2d 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → ((𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
15	14	ralbidv 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
16	15	2rexbidv 3300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
17	16	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
18	17	rspcv 3618	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
19	11, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
20		resss 5873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹
21		cnvss 5738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ ◡𝐹)
22		imass1 5959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ ◡𝐹 → (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})
24	23	sseli 3963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
25	24	ralimi 3160	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
26	25	reximi 3243	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
27	26	reximi 3243	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
28	27	reximi 3243	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
29	19, 28	syl6 35	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
30	29	rexlimdva 3284	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
31	2, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936  {csn 4561  ^◡ccnv 5549   ↾ cres 5552   “ cima 5553  ⟶wf 6346  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ...cfz 12886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-hash 13685  df-vdwap 16298  df-vdwmc 16299  df-vdwpc 16300

This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  16327