Theorem vdwnnlem1 16927

Description: Corollary of vdw 16926, and lemma for vdwnn 16930. If 𝐹 is a coloring of the integers, then there are arbitrarily long monochromatic APs in 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem1	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑚,𝑐,𝐾   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑚)

Proof of Theorem vdwnnlem1

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdw 16926	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))
2	1	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))
3		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
4		fz1ssnn 13531	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
5		fssres 6757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ (1...𝑛) ⊆ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅)
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅)
7		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Fin)
8		ovex 7441	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑛) ∈ V
9		elmapg 8832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅))
11	6, 10	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)))
12		cnveq 5873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → ◡𝑓 = ◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)))
13	12	imaeq1d 6058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (◡𝑓 “ {𝑐}) = (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}))
14	13	eleq2d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → ((𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
15	14	ralbidv 3177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
16	15	2rexbidv 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
17	16	rexbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
18	17	rspcv 3608	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
19	11, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
20		resss 6006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹
21		cnvss 5872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ ◡𝐹)
22		imass1 6100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ ◡𝐹 → (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})
24	23	sseli 3978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
25	24	ralimi 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
26	25	reximi 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
27	26	reximi 3084	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
28	27	reximi 3084	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
29	19, 28	syl6 35	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
30	29	rexlimdva 3155	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
31	2, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ^◡ccnv 5675   ↾ cres 5678   “ cima 5679  ⟶wf 6539  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   − cmin 11443  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ...cfz 13483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-hash 14290  df-vdwap 16900  df-vdwmc 16901  df-vdwpc 16902

This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  16929