Theorem vdwnnlem1 16321

Description: Corollary of vdw 16320, and lemma for vdwnn 16324. If 𝐹 is a coloring of the integers, then there are arbitrarily long monochromatic APs in 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem1	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑚,𝑐,𝐾   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑚)

Proof of Theorem vdwnnlem1

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdw 16320	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))
2	1	3adant2 1128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))
3		simpl2 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
4		fz1ssnn 12933	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
5		fssres 6518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ (1...𝑛) ⊆ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅)
6	3, 4, 5	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅)
7		simpl1 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Fin)
8		ovex 7168	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑛) ∈ V
9		elmapg 8402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅))
10	7, 8, 9	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅))
11	6, 10	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)))
12		cnveq 5708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → ◡𝑓 = ◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)))
13	12	imaeq1d 5895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (◡𝑓 “ {𝑐}) = (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}))
14	13	eleq2d 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → ((𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
15	14	ralbidv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
16	15	2rexbidv 3259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
17	16	rexbidv 3256	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
18	17	rspcv 3566	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
19	11, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
20		resss 5843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹
21		cnvss 5707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ ◡𝐹)
22		imass1 5931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ ◡𝐹 → (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})
24	23	sseli 3911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
25	24	ralimi 3128	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
26	25	reximi 3206	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
27	26	reximi 3206	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
28	27	reximi 3206	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
29	19, 28	syl6 35	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
30	29	rexlimdva 3243	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
31	2, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ^◡ccnv 5518   ↾ cres 5521   “ cima 5522  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-hash 13687  df-vdwap 16294  df-vdwmc 16295  df-vdwpc 16296

This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  16323