MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnnlem1 17028
Description: Corollary of vdw 17027, and lemma for vdwnn 17031. If 𝐹 is a coloring of the integers, then there are arbitrarily long monochromatic APs in 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem1 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑚,𝑐,𝐾   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑚)

Proof of Theorem vdwnnlem1
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw 17027 . . 3 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅m (1...𝑛))∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝑓 “ {𝑐}))
213adant2 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅m (1...𝑛))∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝑓 “ {𝑐}))
3 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
4 fz1ssnn 13591 . . . . . . 7 (1...𝑛) ⊆ ℕ
5 fssres 6774 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ (1...𝑛) ⊆ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅)
63, 4, 5sylancl 586 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅)
7 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Fin)
8 ovex 7463 . . . . . . 7 (1...𝑛) ∈ V
9 elmapg 8877 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅m (1...𝑛)) ↔ (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅))
107, 8, 9sylancl 586 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅m (1...𝑛)) ↔ (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅))
116, 10mpbird 257 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅m (1...𝑛)))
12 cnveq 5886 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → 𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)))
1312imaeq1d 6078 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (𝑓 “ {𝑐}) = ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}))
1413eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → ((𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
1514ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
16152rexbidv 3219 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
1716rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
1817rspcv 3617 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅m (1...𝑛)) → (∀𝑓 ∈ (𝑅m (1...𝑛))∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
1911, 18syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅m (1...𝑛))∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
20 resss 6021 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹
21 cnvss 5885 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹(𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹)
22 imass1 6121 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹 → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})
2423sseli 3990 . . . . . . . 8 ((𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
2524ralimi 3080 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
2625reximi 3081 . . . . . 6 (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
2726reximi 3081 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
2827reximi 3081 . . . 4 (∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
2919, 28syl6 35 . . 3 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅m (1...𝑛))∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
3029rexlimdva 3152 . 2 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅m (1...𝑛))∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐})))
312, 30mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑐𝑅𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (𝐹 “ {𝑐}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962  {csn 4630  ccnv 5687  cres 5690  cima 5691  wf 6558  (class class class)co 7430  m cmap 8864  Fincfn 8983  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  ...cfz 13543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-hash 14366  df-vdwap 17001  df-vdwmc 17002  df-vdwpc 17003
This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  17030
  Copyright terms: Public domain W3C validator