MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwnnlem1 16875
Description: Corollary of vdw 16874, and lemma for vdwnn 16878. If ๐น is a coloring of the integers, then there are arbitrarily long monochromatic APs in ๐น. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem1 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘‘,๐‘š,๐‘,๐พ   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘‘   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘‘,๐‘š
Allowed substitution hint:   ๐‘…(๐‘š)

Proof of Theorem vdwnnlem1
Dummy variables ๐‘“ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw 16874 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}))
213adant2 1132 . 2 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}))
3 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘…)
4 fz1ssnn 13481 . . . . . . 7 (1...๐‘›) โŠ† โ„•
5 fssres 6712 . . . . . . 7 ((๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง (1...๐‘›) โŠ† โ„•) โ†’ (๐น โ†พ (1...๐‘›)):(1...๐‘›)โŸถ๐‘…)
63, 4, 5sylancl 587 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐น โ†พ (1...๐‘›)):(1...๐‘›)โŸถ๐‘…)
7 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
8 ovex 7394 . . . . . . 7 (1...๐‘›) โˆˆ V
9 elmapg 8784 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘›) โˆˆ V) โ†’ ((๐น โ†พ (1...๐‘›)) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)) โ†” (๐น โ†พ (1...๐‘›)):(1...๐‘›)โŸถ๐‘…))
107, 8, 9sylancl 587 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐น โ†พ (1...๐‘›)) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)) โ†” (๐น โ†พ (1...๐‘›)):(1...๐‘›)โŸถ๐‘…))
116, 10mpbird 257 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐น โ†พ (1...๐‘›)) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)))
12 cnveq 5833 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = (๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ†’ โ—ก๐‘“ = โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)))
1312imaeq1d 6016 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ†’ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}) = (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘}))
1413eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ†’ ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}) โ†” (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘})))
1514ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (๐‘“ = (๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘})))
16152rexbidv 3210 . . . . . . 7 (๐‘“ = (๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘})))
1716rexbidv 3172 . . . . . 6 (๐‘“ = (๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘})))
1817rspcv 3579 . . . . 5 ((๐น โ†พ (1...๐‘›)) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘})))
1911, 18syl 17 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘})))
20 resss 5966 . . . . . . . . . 10 (๐น โ†พ (1...๐‘›)) โŠ† ๐น
21 cnvss 5832 . . . . . . . . . 10 ((๐น โ†พ (1...๐‘›)) โŠ† ๐น โ†’ โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โŠ† โ—ก๐น)
22 imass1 6057 . . . . . . . . . 10 (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โŠ† โ—ก๐น โ†’ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘}) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . . . . 9 (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘}) โŠ† (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})
2423sseli 3944 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘}) โ†’ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
2524ralimi 3083 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
2625reximi 3084 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
2726reximi 3084 . . . . 5 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
2827reximi 3084 . . . 4 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก(๐น โ†พ (1...๐‘›)) โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
2919, 28syl6 35 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
3029rexlimdva 3149 . 2 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐‘“ โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
312, 30mpd 15 1 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง ๐น:โ„•โŸถ๐‘… โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘… โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   โŠ† wss 3914  {csn 4590  โ—กccnv 5636   โ†พ cres 5639   โ€œ cima 5640  โŸถwf 6496  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  โ„•0cn0 12421  ...cfz 13433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-hash 14240  df-vdwap 16848  df-vdwmc 16849  df-vdwpc 16850
This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  16877
  Copyright terms: Public domain W3C validator