Theorem vdwnnlem1 16696

Description: Corollary of vdw 16695, and lemma for vdwnn 16699. If 𝐹 is a coloring of the integers, then there are arbitrarily long monochromatic APs in 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem1	⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑑,𝑚,𝑐,𝐾   𝑅,𝑎,𝑐,𝑑   𝐹,𝑎,𝑐,𝑑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑚)

Proof of Theorem vdwnnlem1

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdw 16695	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))
2	1	3adant2 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}))
3		simpl2 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶𝑅)
4		fz1ssnn 13287	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
5		fssres 6640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ (1...𝑛) ⊆ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅)
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅)
7		simpl1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Fin)
8		ovex 7308	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑛) ∈ V
9		elmapg 8628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) ↔ (𝐹 ↾ (1...𝑛)):(1...𝑛)⟶𝑅))
11	6, 10	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)))
12		cnveq 5782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → ◡𝑓 = ◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)))
13	12	imaeq1d 5968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (◡𝑓 “ {𝑐}) = (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}))
14	13	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → ((𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
15	14	ralbidv 3112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
16	15	2rexbidv 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
17	16	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹 ↾ (1...𝑛)) → (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
18	17	rspcv 3557	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛)) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
19	11, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐})))
20		resss 5916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹
21		cnvss 5781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ ◡𝐹)
22		imass1 6009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) ⊆ ◡𝐹 → (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})
24	23	sseli 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
25	24	ralimi 3087	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
26	25	reximi 3178	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
27	26	reximi 3178	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
28	27	reximi 3178	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡(𝐹 ↾ (1...𝑛)) “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))
29	19, 28	syl6 35	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
30	29	rexlimdva 3213	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (1...𝑛))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝑓 “ {𝑐}) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐})))
31	2, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑅 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) ∈ (◡𝐹 “ {𝑐}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   “ cima 5592  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-hash 14045  df-vdwap 16669  df-vdwmc 16670  df-vdwpc 16671

This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  16698