Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lerabdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lerabdioph 42497
Description: Diophantine set builder for the "less than or equal to" relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lerabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable group:   𝑡,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem lerabdioph
StepHypRef Expression
1 rabdiophlem1 42493 . . . 4 ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2 rabdiophlem1 42493 . . . 4 ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ)
3 znn0sub 12653 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0))
43ralimi 3073 . . . . 5 (∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))(𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))(𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0))
5 r19.26 3101 . . . . 5 (∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))(𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ))
6 rabbi 3451 . . . . 5 (∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))(𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0})
74, 5, 63imtr3i 290 . . . 4 ((∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0})
81, 2, 7syl2an 594 . . 3 (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0})
983adant1 1127 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0})
10 simp1 1133 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11 mzpsubmpt 42435 . . . . 5 (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
1211ancoms 457 . . . 4 (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13123adant1 1127 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
14 elnn0rabdioph 42495 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0} ∈ (Dioph‘𝑁))
1510, 13, 14syl2anc 582 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0} ∈ (Dioph‘𝑁))
169, 15eqeltrd 2826 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3420   class class class wbr 5144  cmpt 5227  cfv 6544  (class class class)co 7414  m cmap 8845  1c1 11148  cle 11288  cmin 11483  0cn0 12516  cz 12602  ...cfz 13530  mzPolycmzp 42414  Diophcdioph 42447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9935  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-hash 14341  df-mzpcl 42415  df-mzp 42416  df-dioph 42448
This theorem is referenced by:  eluzrabdioph  42498  rmydioph  42707
  Copyright terms: Public domain W3C validator