Theorem lerabdioph 43265

Description: Diophantine set builder for the "less than or equal to" relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lerabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ≤ 𝐵} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable group:   𝑡,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem lerabdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabdiophlem1 43261	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2		rabdiophlem1 43261	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ)
3		znn0sub 12569	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0))
4	3	ralimi 3078	. . . . 5 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0))
5		r19.26 3101	. . . . 5 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ))
6		rabbi 3423	. . . . 5 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ≤ 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0})
7	4, 5, 6	3imtr3i 293	. . . 4 ⊢ ((∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ≤ 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0})
8	1, 2, 7	syl2an 603	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ≤ 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0})
9	8	3adant1 1137	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ≤ 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0})
10		simp1 1143	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		mzpsubmpt 43207	. . . . 5 ⊢ (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
12	11	ancoms 460	. . . 4 ⊢ (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13	12	3adant1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
14		elnn0rabdioph 43263	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0} ∈ (Dioph‘𝑁))
15	10, 13, 14	syl2anc 591	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0} ∈ (Dioph‘𝑁))
16	9, 15	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ≤ 𝐵} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  {crab 3393   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  1c1 11034   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ...cfz 13456  mzPolycmzp 43186  Diophcdioph 43219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-mzpcl 43187  df-mzp 43188  df-dioph 43220

This theorem is referenced by:  eluzrabdioph  43266  rmydioph  43474