Theorem rgspnmin 42626

Description: The ring-span is contained in all subspaces which contain all the generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rgspnval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rgspnval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
rgspnval.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
rgspnval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
rgspnval.sp	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘𝐴))
rgspnmin.sr	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
rgspnmin.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rgspnmin	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem rgspnmin

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgspnval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		rgspnval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		rgspnval.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		rgspnval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
5		rgspnval.sp	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘𝐴))
6	1, 2, 3, 4, 5	rgspnval 42623	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
7		rgspnmin.sr	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		rgspnmin.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
9		sseq2 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑆 → (𝐴 ⊆ 𝑡 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑆))
10	9	elrab 3684	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆))
11	7, 8, 10	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
12		intss1 4970	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} → ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝑆)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝑆)
14	6, 13	eqsstrd 4020	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   ⊆ wss 3949  ∩ cint 4953  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  Ringcrg 20180  SubRingcsubrg 20513  RingSpancrgspn 20514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-rgspn 20516

This theorem is referenced by:  rgspnid  42627  rngunsnply  42628