MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringm2neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringm2neg 19337
Description: Double negation of a product in a ring. (mul2neg 11064 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneglmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t · = (.r𝑅)
ringneglmul.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringneglmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x (𝜑𝑋𝐵)
ringneglmul.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringm2neg (𝜑 → ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem ringm2neg
StepHypRef Expression
1 ringneglmul.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 ringneglmul.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 ringneglmul.n . . 3 𝑁 = (invg𝑅)
4 ringneglmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ringneglmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
6 ringgrp 19291 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
8 ringneglmul.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
91, 3grpinvcl 18140 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
107, 8, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
111, 2, 3, 4, 5, 10ringmneg1 19335 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · (𝑁𝑌))))
121, 2, 3, 4, 5, 8ringmneg2 19336 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
1312fveq2d 6655 . 2 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · (𝑁𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))))
141, 2ringcl 19300 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
154, 5, 8, 14syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
161, 3grpinvinv 18155 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
177, 15, 16syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
1811, 13, 173eqtrd 2863 1 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472  .rcmulr 16555  Grpcgrp 18092  invgcminusg 18093  Ringcrg 19286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-plusg 16567  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288
This theorem is referenced by:  orngsqr  30895
  Copyright terms: Public domain W3C validator