Theorem ringm2neg 19932

Description: Double negation of a product in a ring. (mul2neg 11515 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringm2neg	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem ringm2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringneglmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ringneglmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
4		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ringgrp 19883	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		ringneglmul.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3	grpinvcl 18723	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ringmneg1 19930	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · (𝑁‘𝑌))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 8	ringmneg2 19931	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
13	12	fveq2d 6829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · (𝑁‘𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))))
14	1, 2	ringcl 19895	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15	4, 5, 8, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 3	grpinvinv 18738	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
17	7, 15, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
18	11, 13, 17	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  ._rcmulr 17060  Grpcgrp 18673  inv_gcminusg 18674  Ringcrg 19878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880

This theorem is referenced by:  orngsqr  31803