Theorem ringm2neg 18996

Description: Double negation of a product in a ring. (mul2neg 10817 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringm2neg	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem ringm2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringneglmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ringneglmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
4		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ringgrp 18950	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		ringneglmul.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3	grpinvcl 17865	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ringmneg1 18994	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · (𝑁‘𝑌))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 8	ringmneg2 18995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
13	12	fveq2d 6452	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · (𝑁‘𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))))
14	1, 2	ringcl 18959	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15	4, 5, 8, 14	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 3	grpinvinv 17880	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
17	7, 15, 16	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
18	11, 13, 17	3eqtrd 2818	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  ._rcmulr 16350  Grpcgrp 17820  inv_gcminusg 17821  Ringcrg 18945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-plusg 16362  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947

This theorem is referenced by:  orngsqr  30374