MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringmneg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringmneg2 19826
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 11404 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneglmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t · = (.r𝑅)
ringneglmul.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringneglmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x (𝜑𝑋𝐵)
ringneglmul.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringmneg2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg2
StepHypRef Expression
1 ringneglmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringneglmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringneglmul.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
4 ringgrp 19778 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6 ringneglmul.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2740 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
86, 7ringidcl 19797 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
10 ringneglmul.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝑅)
116, 10grpinvcl 18617 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
125, 9, 11syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
13 ringneglmul.t . . . 4 · = (.r𝑅)
146, 13ringass 19793 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅)))))
151, 2, 3, 12, 14syl13anc 1371 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅)))))
166, 13ringcl 19790 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
171, 2, 3, 16syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
186, 13, 7, 10, 1, 17rngnegr 19824 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
196, 13, 7, 10, 1, 3rngnegr 19824 . . 3 (𝜑 → (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁𝑌))
2019oveq2d 7285 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅)))) = (𝑋 · (𝑁𝑌)))
2115, 18, 203eqtr3rd 2789 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16902  .rcmulr 16953  Grpcgrp 18567  invgcminusg 18568  1rcur 19727  Ringcrg 19773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-plusg 16965  df-0g 17142  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-mgp 19711  df-ur 19728  df-ring 19775
This theorem is referenced by:  ringm2neg  19827  ringsubdi  19828  cntzsubr  20047  abvneg  20084  lflnegcl  37077
  Copyright terms: Public domain W3C validator