Theorem ringmneg2 19826

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 11404 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringmneg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringneglmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringgrp 19778	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		ringneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	6, 7	ringidcl 19797	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10		ringneglmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
11	6, 10	grpinvcl 18617	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
12	5, 9, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
13		ringneglmul.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	6, 13	ringass 19793	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))))
15	1, 2, 3, 12, 14	syl13anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))))
16	6, 13	ringcl 19790	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	1, 2, 3, 16	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	6, 13, 7, 10, 1, 17	rngnegr 19824	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
19	6, 13, 7, 10, 1, 3	rngnegr 19824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘𝑌))
20	19	oveq2d 7285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)))
21	15, 18, 20	3eqtr3rd 2789	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16902  ._rcmulr 16953  Grpcgrp 18567  inv_gcminusg 18568  1_rcur 19727  Ringcrg 19773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-plusg 16965  df-0g 17142  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-mgp 19711  df-ur 19728  df-ring 19775

This theorem is referenced by:  ringm2neg  19827  ringsubdi  19828  cntzsubr  20047  abvneg  20084  lflnegcl  37077