Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringmneg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringmneg2 19352
 Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 11077 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneglmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t · = (.r𝑅)
ringneglmul.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringneglmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x (𝜑𝑋𝐵)
ringneglmul.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringmneg2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg2
StepHypRef Expression
1 ringneglmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringneglmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringneglmul.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
4 ringgrp 19304 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6 ringneglmul.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2824 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
86, 7ringidcl 19323 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
10 ringneglmul.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝑅)
116, 10grpinvcl 18153 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
125, 9, 11syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
13 ringneglmul.t . . . 4 · = (.r𝑅)
146, 13ringass 19319 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅)))))
151, 2, 3, 12, 14syl13anc 1369 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅)))))
166, 13ringcl 19316 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
171, 2, 3, 16syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
186, 13, 7, 10, 1, 17rngnegr 19350 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
196, 13, 7, 10, 1, 3rngnegr 19350 . . 3 (𝜑 → (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁𝑌))
2019oveq2d 7167 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅)))) = (𝑋 · (𝑁𝑌)))
2115, 18, 203eqtr3rd 2868 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  .rcmulr 16568  Grpcgrp 18105  invgcminusg 18106  1rcur 19253  Ringcrg 19299 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301 This theorem is referenced by:  ringm2neg  19353  ringsubdi  19354  cntzsubr  19570  abvneg  19607  lflnegcl  36343
 Copyright terms: Public domain W3C validator