Theorem ringmneg2 20270

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 11688 analog.) Compared with rngmneg2 20137, the proof is shorter making use of the existence of a ring unity. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringmneg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringneglmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringgrp 20207	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		ringneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	6, 7	ringidcl 20231	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10		ringneglmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
11	6, 10	grpinvcl 18968	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
12	5, 9, 11	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
13		ringneglmul.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	6, 13	ringass 20222	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))))
15	1, 2, 3, 12, 14	syl13anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))))
16	6, 13	ringcl 20219	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	1, 2, 3, 16	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	6, 13, 7, 10, 1, 17	ringnegr 20268	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
19	6, 13, 7, 10, 1, 3	ringnegr 20268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘𝑌))
20	19	oveq2d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)))
21	15, 18, 20	3eqtr3rd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17199  ._rcmulr 17253  Grpcgrp 18914  inv_gcminusg 18915  1_rcur 20150  Ringcrg 20202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-plusg 17265  df-0g 17442  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204

This theorem is referenced by:  cntzsubr  20574  abvneg  20743  erler  33076  lflnegcl  38697