MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringmneg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringmneg2 20302
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 11700 analog.) Compared with rngmneg2 20165, the proof is shorter making use of the existence of a ring unity. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneglmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t · = (.r𝑅)
ringneglmul.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringneglmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x (𝜑𝑋𝐵)
ringneglmul.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringmneg2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg2
StepHypRef Expression
1 ringneglmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringneglmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringneglmul.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
4 ringgrp 20235 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6 ringneglmul.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
86, 7ringidcl 20262 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
10 ringneglmul.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝑅)
116, 10grpinvcl 19005 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
125, 9, 11syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
13 ringneglmul.t . . . 4 · = (.r𝑅)
146, 13ringass 20250 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅)))))
151, 2, 3, 12, 14syl13anc 1374 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅)))))
166, 13ringcl 20247 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
171, 2, 3, 16syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
186, 13, 7, 10, 1, 17ringnegr 20300 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
196, 13, 7, 10, 1, 3ringnegr 20300 . . 3 (𝜑 → (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁𝑌))
2019oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r𝑅)))) = (𝑋 · (𝑁𝑌)))
2115, 18, 203eqtr3rd 2786 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  1rcur 20178  Ringcrg 20230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232
This theorem is referenced by:  cntzsubr  20606  abvneg  20827  erler  33269  zrhcntr  33980  lflnegcl  39076
  Copyright terms: Public domain W3C validator