MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringmneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringmneg1 20201
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 11651 analog.) Compared with rngmneg1 20070, the proof is shorter making use of the existence of a ring unity. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneglmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringneglmul.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringneglmul.n ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
ringneglmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringneglmul.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
ringneglmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringmneg1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem ringmneg1
StepHypRef Expression
1 ringneglmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 ringgrp 20141 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
4 ringneglmul.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 eqid 2726 . . . . . 6 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
64, 5ringidcl 20163 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
71, 6syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
8 ringneglmul.n . . . . 5 ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
94, 8grpinvcl 18915 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โˆˆ ๐ต)
103, 7, 9syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โˆˆ ๐ต)
11 ringneglmul.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
12 ringneglmul.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
13 ringneglmul.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
144, 13ringass 20156 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = ((๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
151, 10, 11, 12, 14syl13anc 1369 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = ((๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
164, 13, 5, 8, 1, 11ringnegl 20199 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ๐‘‹) = (๐‘โ€˜๐‘‹))
1716oveq1d 7419 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
184, 13ringcl 20153 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
191, 11, 12, 18syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
204, 13, 5, 8, 1, 19ringnegl 20199 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2115, 17, 203eqtr3d 2774 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  1rcur 20084  Ringcrg 20136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138
This theorem is referenced by:  mulgass2  20206  cntzsubr  20506  mdetunilem7  22471  r1padd1  33183
  Copyright terms: Public domain W3C validator