Theorem ringmneg1 18983

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 10811 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringmneg1	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 18939	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		ringneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	4, 5	ringidcl 18955	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
8		ringneglmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	4, 8	grpinvcl 17854	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
10	3, 7, 9	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
11		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		ringneglmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		ringneglmul.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	4, 13	ringass 18951	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)))
15	1, 10, 11, 12, 14	syl13anc 1440	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)))
16	4, 13, 5, 8, 1, 11	ringnegl 18981	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))
17	16	oveq1d 6937	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌))
18	4, 13	ringcl 18948	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 11, 12, 18	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
20	4, 13, 5, 8, 1, 19	ringnegl 18981	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
21	15, 17, 20	3eqtr3d 2821	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  ._rcmulr 16339  Grpcgrp 17809  inv_gcminusg 17810  1_rcur 18888  Ringcrg 18934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936

This theorem is referenced by:  ringm2neg  18985  rngsubdir  18987  mulgass2  18988  cntzsubr  19204  mdetunilem7  20829