MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringmneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringmneg1 19349
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 11074 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneglmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t · = (.r𝑅)
ringneglmul.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringneglmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x (𝜑𝑋𝐵)
ringneglmul.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringmneg1 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg1
StepHypRef Expression
1 ringneglmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringgrp 19302 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4 ringneglmul.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 eqid 2824 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
64, 5ringidcl 19321 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
8 ringneglmul.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝑅)
94, 8grpinvcl 18151 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
103, 7, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
11 ringneglmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
12 ringneglmul.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
13 ringneglmul.t . . . 4 · = (.r𝑅)
144, 13ringass 19317 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑁‘(1r𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)))
151, 10, 11, 12, 14syl13anc 1369 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)))
164, 13, 5, 8, 1, 11ringnegl 19347 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝑅)) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
1716oveq1d 7164 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝑅)) · 𝑋) · 𝑌) = ((𝑁𝑋) · 𝑌))
184, 13ringcl 19314 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
191, 11, 12, 18syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
204, 13, 5, 8, 1, 19ringnegl 19347 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝑅)) · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
2115, 17, 203eqtr3d 2867 1 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  .rcmulr 16566  Grpcgrp 18103  invgcminusg 18104  1rcur 19251  Ringcrg 19297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299
This theorem is referenced by:  ringm2neg  19351  rngsubdir  19353  mulgass2  19354  cntzsubr  19568  mdetunilem7  21227
  Copyright terms: Public domain W3C validator