Theorem rlmlsm 20974

Description: Subgroup sum of the ring module. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rlmlsm	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))

Proof of Theorem rlmlsm

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2732	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
4	1, 2, 3	lsmfval 19547	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LSSum‘𝑅) = (𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅), 𝑢 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑡, 𝑦 ∈ 𝑢 ↦ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
5		fvex 6904	. . 3 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
6		rlmbas 20962	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		rlmplusg 20963	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
8		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅))
9	6, 7, 8	lsmfval 19547	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ V → (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅), 𝑢 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑡, 𝑦 ∈ 𝑢 ↦ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
10	5, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅), 𝑢 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑡, 𝑦 ∈ 𝑢 ↦ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
11	4, 10	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  𝒫 cpw 4602  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  LSSumclsm 19543  ringLModcrglmod 20927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-lsm 19545  df-sra 20930  df-rgmod 20931

This theorem is referenced by:  lsmidllsp  32772