Theorem rlmlsm 20549

Description: Subgroup sum of the ring module. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rlmlsm	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))

Proof of Theorem rlmlsm

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
4	1, 2, 3	lsmfval 19312	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LSSum‘𝑅) = (𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅), 𝑢 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑡, 𝑦 ∈ 𝑢 ↦ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
5		fvex 6824	. . 3 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
6		rlmbas 20537	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7		rlmplusg 20538	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅))
9	6, 7, 8	lsmfval 19312	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ V → (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅), 𝑢 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑡, 𝑦 ∈ 𝑢 ↦ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
10	5, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅), 𝑢 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↦ ran (𝑥 ∈ 𝑡, 𝑦 ∈ 𝑢 ↦ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
11	4, 10	eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘(ringLMod‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  𝒫 cpw 4545  ran crn 5608  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315   ∈ cmpo 7317  Basecbs 16982  +_gcplusg 17032  LSSumclsm 19308  ringLModcrglmod 20503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-plusg 17045  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-ip 17050  df-lsm 19310  df-sra 20506  df-rgmod 20507

This theorem is referenced by:  lsmidllsp  31693