Theorem rlmbas 20035

Description: Base set of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmbas	⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmval 20031	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)))
3		ssidd 3915	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
4	2, 3	srabase 20018	. 2 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
5	4	mptru 1545	1 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1538  ⊤wtru 1539  ‘cfv 6335  Basecbs 16541  subringAlg csra 20008  ringLModcrglmod 20009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-sra 20012  df-rgmod 20013

This theorem is referenced by:  rlmsub  20038  rlmlsm  20047  rlmvneg  20048  rlmscaf  20049  ixpsnbasval  20050  lidlss  20051  islidl  20052  lidl1  20061  lidlacs  20062  rspcl  20063  rspssid  20064  lidlrsppropd  20071  rspsn  20095  ipcl  20398  isphld  20419  phlpropd  20420  frlmbas  20520  frlmsubgval  20530  frlmgsum  20537  rlmnm  23391  cnrbas  23843  rspsnel  31088  elrsp  31090  lsmidl  31110  mxidlprm  31161  idlsrgmulrss1  31177  idlsrgmulrss2  31178  frlmsnic  39770  islnr2  40431