Theorem ringinvdv 19179

Description: Write the inverse function in terms of division. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvdv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvdv.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
ringinvdv.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
ringinvdv.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvdv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringinvdv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) = ( 1 / 𝑋))

Proof of Theorem ringinvdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvdv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringinvdv.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 19053	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
4		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		ringinvdv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		ringinvdv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7		ringinvdv.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
8	1, 4, 5, 6, 7	dvrval 19170	. . 3 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ( 1 / 𝑋) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)))
9	3, 8	sylan 572	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ( 1 / 𝑋) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)))
10	5, 6, 1	ringinvcl 19161	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	1, 4, 2	ringlidm 19056	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))
12	10, 11	syldan 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))
13	9, 12	eqtr2d 2808	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) = ( 1 / 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  ._rcmulr 16420  1_rcur 18986  Ringcrg 19032  Unitcui 19124  inv_rcinvr 19156  /_rcdvr 19167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168

This theorem is referenced by:  cnfldinv  20293  cnsubdrglem  20313