Theorem ringinvdv 19446

Description: Write the inverse function in terms of division. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvdv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvdv.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
ringinvdv.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
ringinvdv.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvdv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringinvdv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) = ( 1 / 𝑋))

Proof of Theorem ringinvdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvdv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringinvdv.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 19320	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
4		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		ringinvdv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6		ringinvdv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7		ringinvdv.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
8	1, 4, 5, 6, 7	dvrval 19437	. . 3 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ( 1 / 𝑋) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)))
9	3, 8	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ( 1 / 𝑋) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)))
10	5, 6, 1	ringinvcl 19428	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	1, 4, 2	ringlidm 19323	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))
12	10, 11	syldan 593	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘𝑋))
13	9, 12	eqtr2d 2859	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑋) = ( 1 / 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568  1_rcur 19253  Ringcrg 19299  Unitcui 19391  inv_rcinvr 19423  /_rcdvr 19434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435

This theorem is referenced by:  cnfldinv  20578  cnsubdrglem  20598