Theorem hlhils1N 43110

Description: The scalar ring unity for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilsbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilsbase.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsbase.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
hlhilsbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsbase.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilsbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhils1.t	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
hlhils1N	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

Proof of Theorem hlhils1N

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhils1.t	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
2		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
3		hlhilsbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		hlhilsbase.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhilsbase.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
6		hlhilsbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7		hlhilsbase.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
8		hlhilsbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	hlhilsbase2 43106	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑅))
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	hlhilsmul2 43108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
13	12	oveqdr 7450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
14	2, 10, 13	rngidpropd 20652	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅))
15	1, 14	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  ._rcmulr 17436  Scalarcsca 17438  1_rcur 20414  HLchlt 40514  LHypclh 41148  DVecHcdvh 42242  HLHilchlh 43096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-0g 17619  df-mgp 20368  df-ur 20415  df-dvech 42243  df-hlhil 43097

This theorem is used by: (None)