Theorem hlhils1N 38022

Description: The scalar ring unity for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilsbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilsbase.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsbase.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
hlhilsbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsbase.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilsbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhils1.t	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
hlhils1N	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

Proof of Theorem hlhils1N

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhils1.t	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
2		eqidd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
3		hlhilsbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		hlhilsbase.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhilsbase.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
6		hlhilsbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
7		hlhilsbase.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
8		hlhilsbase.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	hlhilsbase2 38018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑅))
11		eqid 2826	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	hlhilsmul2 38020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
13	12	oveqdr 6934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
14	2, 10, 13	rngidpropd 19050	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅))
15	1, 14	syl5eq 2874	1 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6124  Basecbs 16223  ._rcmulr 16307  Scalarcsca 16309  1_rcur 18856  HLchlt 35426  LHypclh 36060  DVecHcdvh 37154  HLHilchlh 38008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-0g 16456  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-dvech 37155  df-hlhil 38009

This theorem is referenced by: (None)