Theorem ply1mpl1 20419

Description: The univariate polynomial ring has the same one as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mpl1.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mpl1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mpl1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mpl1	⊢ 1 = (1r‘𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mpl1.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑃)
2		eqidd 2822	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3		ply1mpl1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1bas 20357	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		ply1mpl1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
8	7	fveq2i 6667	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9	6, 8	eqtr4i 2847	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
11		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
12	3, 7, 11	ply1mulr 20389	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑀)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (.r‘𝑃) = (.r‘𝑀))
14	13	oveqdr 7178	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))
15	2, 10, 14	rngidpropd 19439	. . 3 ⊢ (⊤ → (1r‘𝑃) = (1r‘𝑀))
16	15	mptru 1540	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑀)
17	1, 16	eqtri 2844	1 ⊢ 1 = (1r‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1_oc1o 8089  Basecbs 16477  ._rcmulr 16560  1_rcur 19245   mPoly cmpl 20127  PwSer₁cps1 20337  Poly₁cpl1 20339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-dec 12093  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-ple 16579  df-0g 16709  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-psr 20130  df-mpl 20132  df-opsr 20134  df-psr1 20342  df-ply1 20344

This theorem is referenced by:  ply1ascl  20420  ply1nzb  24710