Theorem ply1mpl1 22486

Description: The univariate polynomial ring has the same one as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mpl1.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mpl1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mpl1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mpl1	⊢ 1 = (1r‘𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mpl1.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑃)
2		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3		ply1mpl1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22423	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		ply1mpl1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
7	6	fveq2i 6882	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8	5, 7	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
10		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
11	3, 6, 10	ply1mulr 22453	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑀)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (.r‘𝑃) = (.r‘𝑀))
13	12	oveqdr 7442	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))
14	2, 9, 13	rngidpropd 20559	. . 3 ⊢ (⊤ → (1r‘𝑃) = (1r‘𝑀))
15	14	mptru 1577	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑀)
16	1, 15	eqtri 2783	1 ⊢ 1 = (1r‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1_oc1o 8451  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346  1_rcur 20323   mPoly cmpl 22124  Poly₁cpl1 22405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-ple 17365  df-0g 17529  df-mgp 20277  df-ur 20324  df-psr 22127  df-mpl 22129  df-opsr 22131  df-psr1 22408  df-ply1 22410

This theorem is used by:  ply1ascl  22487  ply1nzb  26351