MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgpropd 20273
Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
subrgpropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
subrgpropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
subrgpropd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
subrgpropd (πœ‘ β†’ (SubRingβ€˜πΎ) = (SubRingβ€˜πΏ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrgpropd
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpropd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2 subrgpropd.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3 subrgpropd.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
4 subrgpropd.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 20013 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
61ineq2d 4177 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΎ)))
7 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝐾 β†Ύs 𝑠) = (𝐾 β†Ύs 𝑠)
8 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
97, 8ressbas 17125 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΎ)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
109elv 3454 . . . . . . 7 (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΎ)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))
116, 10eqtrdi 2793 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
122ineq2d 4177 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΏ)))
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝐿 β†Ύs 𝑠) = (𝐿 β†Ύs 𝑠)
14 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
1513, 14ressbas 17125 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΏ)) = (Baseβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
1615elv 3454 . . . . . . 7 (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΏ)) = (Baseβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))
1712, 16eqtrdi 2793 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
18 elinel2 4161 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
19 elinel2 4161 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2018, 19anim12i 614 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜πΎ)
227, 21ressplusg 17178 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
2322elv 3454 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))
2423oveqi 7375 . . . . . . . 8 (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦)
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
2613, 25ressplusg 17178 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
2726elv 3454 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))
2827oveqi 7375 . . . . . . . 8 (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦)
293, 24, 283eqtr3g 2800 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
3020, 29sylan2 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜πΎ)
327, 31ressmulr 17195 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
3332elv 3454 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))
3433oveqi 7375 . . . . . . . 8 (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦)
35 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜πΏ)
3613, 35ressmulr 17195 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
3736elv 3454 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))
3837oveqi 7375 . . . . . . . 8 (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦)
394, 34, 383eqtr3g 2800 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
4020, 39sylan2 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
4111, 17, 30, 40ringpropd 20013 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring ↔ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring))
425, 41anbi12d 632 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring)))
431, 2eqtr3d 2779 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΏ))
4443sseq2d 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ↔ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ)))
451, 2, 4rngidpropd 20133 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΏ))
4645eleq1d 2823 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠 ↔ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠))
4744, 46anbi12d 632 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠)))
4842, 47anbi12d 632 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠)) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠))))
49 eqid 2737 . . . 4 (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΎ)
508, 49issubrg 20238 . . 3 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΎ) ↔ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠)))
51 eqid 2737 . . . 4 (1rβ€˜πΏ) = (1rβ€˜πΏ)
5214, 51issubrg 20238 . . 3 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΏ) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠)))
5348, 50, 523bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΎ) ↔ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΏ)))
5453eqrdv 2735 1 (πœ‘ β†’ (SubRingβ€˜πΎ) = (SubRingβ€˜πΏ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  1rcur 19920  Ringcrg 19971  SubRingcsubrg 20234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-subrg 20236
This theorem is referenced by:  ply1subrg  21584  subrgply1  21620  srasubrg  32328
  Copyright terms: Public domain W3C validator