Theorem subrgpropd 20545

Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
subrgpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
subrgpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
subrgpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
subrgpropd	⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝐾) = (SubRing‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrgpropd

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgpropd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		subrgpropd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		subrgpropd.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		subrgpropd.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6	1	ineq2d 4173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)))
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ↾s 𝑠) = (𝐾 ↾s 𝑠)
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	7, 8	ressbas 17167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
10	9	elv 3446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠))
11	6, 10	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
12	2	ineq2d 4173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)))
13		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ↾s 𝑠) = (𝐿 ↾s 𝑠)
14		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	13, 14	ressbas 17167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
16	15	elv 3446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠))
17	12, 16	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
18		elinel2 4155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		elinel2 4155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	18, 19	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
21		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
22	7, 21	ressplusg 17215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
23	22	elv 3446	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))
24	23	oveqi 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
26	13, 25	ressplusg 17215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
27	26	elv 3446	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))
28	27	oveqi 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
29	3, 24, 28	3eqtr3g 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
30	20, 29	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
32	7, 31	ressmulr 17231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
33	32	elv 3446	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))
34	33	oveqi 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
35		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
36	13, 35	ressmulr 17231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
37	36	elv 3446	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))
38	37	oveqi 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
39	4, 34, 38	3eqtr3g 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
40	20, 39	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
41	11, 17, 30, 40	ringpropd 20227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring ↔ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring))
42	5, 41	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring)))
43	1, 2	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
44	43	sseq2d 3967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ↔ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
45	1, 2, 4	rngidpropd 20355	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
46	45	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐾) ∈ 𝑠 ↔ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠))
47	44, 46	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠)))
48	42, 47	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠)) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠))))
49		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
50	8, 49	issubrg 20508	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠)))
51		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
52	14, 51	issubrg 20508	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐿) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠)))
53	48, 50, 52	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝐿)))
54	53	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝐾) = (SubRing‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  +_gcplusg 17181  ._rcmulr 17182  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  SubRingcsubrg 20506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrg 20507

This theorem is referenced by:  ply1subrg  22142  subrgply1  22177  srasubrg  33721