Theorem subrgpropd 20636

Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
subrgpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
subrgpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
subrgpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
subrgpropd	⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝐾) = (SubRing‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrgpropd

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgpropd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		subrgpropd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		subrgpropd.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		subrgpropd.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6	1	ineq2d 4241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)))
7		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ↾s 𝑠) = (𝐾 ↾s 𝑠)
8		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	7, 8	ressbas 17293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
10	9	elv 3493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠))
11	6, 10	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
12	2	ineq2d 4241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)))
13		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ↾s 𝑠) = (𝐿 ↾s 𝑠)
14		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	13, 14	ressbas 17293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
16	15	elv 3493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠))
17	12, 16	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
18		elinel2 4225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		elinel2 4225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	18, 19	anim12i 612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
21		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
22	7, 21	ressplusg 17349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
23	22	elv 3493	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))
24	23	oveqi 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
25		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
26	13, 25	ressplusg 17349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
27	26	elv 3493	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))
28	27	oveqi 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
29	3, 24, 28	3eqtr3g 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
30	20, 29	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
31		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
32	7, 31	ressmulr 17366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
33	32	elv 3493	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))
34	33	oveqi 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
35		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
36	13, 35	ressmulr 17366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
37	36	elv 3493	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))
38	37	oveqi 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
39	4, 34, 38	3eqtr3g 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
40	20, 39	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
41	11, 17, 30, 40	ringpropd 20311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring ↔ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring))
42	5, 41	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring)))
43	1, 2	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
44	43	sseq2d 4041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ↔ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
45	1, 2, 4	rngidpropd 20441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
46	45	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐾) ∈ 𝑠 ↔ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠))
47	44, 46	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠)))
48	42, 47	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠)) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠))))
49		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
50	8, 49	issubrg 20599	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠)))
51		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
52	14, 51	issubrg 20599	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐿) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠)))
53	48, 50, 52	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝐿)))
54	53	eqrdv 2738	1 ⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝐾) = (SubRing‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  SubRingcsubrg 20595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrg 20597

This theorem is referenced by:  ply1subrg  22220  subrgply1  22255  srasubrg  33599