Theorem subrgpropd 20551

Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
subrgpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
subrgpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
subrgpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
subrgpropd	⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝐾) = (SubRing‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrgpropd

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgpropd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		subrgpropd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		subrgpropd.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		subrgpropd.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6	1	ineq2d 4206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)))
7		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ↾s 𝑠) = (𝐾 ↾s 𝑠)
8		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	7, 8	ressbas 17214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
10	9	elv 3469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠))
11	6, 10	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
12	2	ineq2d 4206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)))
13		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ↾s 𝑠) = (𝐿 ↾s 𝑠)
14		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	13, 14	ressbas 17214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
16	15	elv 3469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠))
17	12, 16	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
18		elinel2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		elinel2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	18, 19	anim12i 611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
21		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
22	7, 21	ressplusg 17270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
23	22	elv 3469	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))
24	23	oveqi 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
25		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
26	13, 25	ressplusg 17270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
27	26	elv 3469	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))
28	27	oveqi 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
29	3, 24, 28	3eqtr3g 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
30	20, 29	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
31		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
32	7, 31	ressmulr 17287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
33	32	elv 3469	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))
34	33	oveqi 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
35		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
36	13, 35	ressmulr 17287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
37	36	elv 3469	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))
38	37	oveqi 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
39	4, 34, 38	3eqtr3g 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
40	20, 39	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
41	11, 17, 30, 40	ringpropd 20228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring ↔ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring))
42	5, 41	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring)))
43	1, 2	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
44	43	sseq2d 4005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ↔ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
45	1, 2, 4	rngidpropd 20358	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
46	45	eleq1d 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐾) ∈ 𝑠 ↔ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠))
47	44, 46	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠)))
48	42, 47	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠)) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠))))
49		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
50	8, 49	issubrg 20514	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠)))
51		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
52	14, 51	issubrg 20514	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐿) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠)))
53	48, 50, 52	3bitr4g 313	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝐿)))
54	53	eqrdv 2723	1 ⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝐾) = (SubRing‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179   ↾_s cress 17208  +_gcplusg 17232  ._rcmulr 17233  1_rcur 20125  Ringcrg 20177  SubRingcsubrg 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-subrg 20512

This theorem is referenced by:  ply1subrg  22125  subrgply1  22160  srasubrg  33341