MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgpropd 20354
Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
subrgpropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
subrgpropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
subrgpropd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
subrgpropd (πœ‘ β†’ (SubRingβ€˜πΎ) = (SubRingβ€˜πΏ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrgpropd
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpropd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2 subrgpropd.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3 subrgpropd.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
4 subrgpropd.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 20101 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
61ineq2d 4212 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΎ)))
7 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝐾 β†Ύs 𝑠) = (𝐾 β†Ύs 𝑠)
8 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
97, 8ressbas 17178 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΎ)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
109elv 3480 . . . . . . 7 (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΎ)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))
116, 10eqtrdi 2788 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
122ineq2d 4212 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΏ)))
13 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝐿 β†Ύs 𝑠) = (𝐿 β†Ύs 𝑠)
14 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
1513, 14ressbas 17178 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΏ)) = (Baseβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
1615elv 3480 . . . . . . 7 (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΏ)) = (Baseβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))
1712, 16eqtrdi 2788 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
18 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
19 elinel2 4196 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2018, 19anim12i 613 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
21 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜πΎ)
227, 21ressplusg 17234 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
2322elv 3480 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))
2423oveqi 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦)
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
2613, 25ressplusg 17234 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
2726elv 3480 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))
2827oveqi 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦)
293, 24, 283eqtr3g 2795 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
3020, 29sylan2 593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜πΎ)
327, 31ressmulr 17251 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
3332elv 3480 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))
3433oveqi 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜πΏ)
3613, 35ressmulr 17251 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
3736elv 3480 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))
3837oveqi 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦)
394, 34, 383eqtr3g 2795 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
4020, 39sylan2 593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
4111, 17, 30, 40ringpropd 20101 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring ↔ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring))
425, 41anbi12d 631 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring)))
431, 2eqtr3d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΏ))
4443sseq2d 4014 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ↔ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ)))
451, 2, 4rngidpropd 20228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΏ))
4645eleq1d 2818 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠 ↔ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠))
4744, 46anbi12d 631 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠)))
4842, 47anbi12d 631 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠)) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠))))
49 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΎ)
508, 49issubrg 20318 . . 3 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΎ) ↔ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠)))
51 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜πΏ) = (1rβ€˜πΏ)
5214, 51issubrg 20318 . . 3 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΏ) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠)))
5348, 50, 523bitr4g 313 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΎ) ↔ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΏ)))
5453eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ (SubRingβ€˜πΎ) = (SubRingβ€˜πΏ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  1rcur 20003  Ringcrg 20055  SubRingcsubrg 20314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316
This theorem is referenced by:  ply1subrg  21720  subrgply1  21754  srasubrg  32669
  Copyright terms: Public domain W3C validator