Theorem subrgpropd 20893

Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
subrgpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
subrgpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
subrgpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
subrgpropd	⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝐾) = (SubRing‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrgpropd

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgpropd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		subrgpropd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		subrgpropd.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		subrgpropd.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20552	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6	1	ineq2d 4120	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)))
7		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ↾s 𝑠) = (𝐾 ↾s 𝑠)
8		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	7, 8	ressbas 17446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
10	9	elv 3459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠))
11	6, 10	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
12	2	ineq2d 4120	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)))
13		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ↾s 𝑠) = (𝐿 ↾s 𝑠)
14		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	13, 14	ressbas 17446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
16	15	elv 3459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠))
17	12, 16	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
18		elinel2 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		elinel2 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	18, 19	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
21		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
22	7, 21	ressplusg 17494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
23	22	elv 3459	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))
24	23	oveqi 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
25		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
26	13, 25	ressplusg 17494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
27	26	elv 3459	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))
28	27	oveqi 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
29	3, 24, 28	3eqtr3g 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
30	20, 29	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
31		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
32	7, 31	ressmulr 17510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
33	32	elv 3459	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))
34	33	oveqi 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
35		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
36	13, 35	ressmulr 17510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
37	36	elv 3459	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))
38	37	oveqi 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
39	4, 34, 38	3eqtr3g 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
40	20, 39	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
41	11, 17, 30, 40	ringpropd 20552	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring ↔ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring))
42	5, 41	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring)))
43	1, 2	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
44	43	sseq2d 3945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ↔ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
45	1, 2, 4	rngidpropd 20678	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
46	45	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐾) ∈ 𝑠 ↔ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠))
47	44, 46	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠)))
48	42, 47	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠)) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠))))
49		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
50	8, 49	issubrg 20856	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠)))
51		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
52	14, 51	issubrg 20856	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐿) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠)))
53	48, 50, 52	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝐿)))
54	53	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝐾) = (SubRing‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  +_gcplusg 17460  ._rcmulr 17461  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  SubRingcsubrg 20854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-subrg 20855

This theorem is used by:  ply1subrg  22548  subrgply1  22583  srasubrg  34299