MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgpropd 20510
Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
subrgpropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
subrgpropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
subrgpropd.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
subrgpropd (πœ‘ β†’ (SubRingβ€˜πΎ) = (SubRingβ€˜πΏ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrgpropd
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpropd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2 subrgpropd.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3 subrgpropd.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
4 subrgpropd.4 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 20187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
61ineq2d 4207 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΎ)))
7 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝐾 β†Ύs 𝑠) = (𝐾 β†Ύs 𝑠)
8 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
97, 8ressbas 17188 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΎ)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
109elv 3474 . . . . . . 7 (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΎ)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))
116, 10eqtrdi 2782 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
122ineq2d 4207 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΏ)))
13 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝐿 β†Ύs 𝑠) = (𝐿 β†Ύs 𝑠)
14 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
1513, 14ressbas 17188 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΏ)) = (Baseβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
1615elv 3474 . . . . . . 7 (𝑠 ∩ (Baseβ€˜πΏ)) = (Baseβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))
1712, 16eqtrdi 2782 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) = (Baseβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
18 elinel2 4191 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
19 elinel2 4191 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2018, 19anim12i 612 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
21 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜πΎ)
227, 21ressplusg 17244 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
2322elv 3474 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΎ) = (+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))
2423oveqi 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦)
25 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜πΏ)
2613, 25ressplusg 17244 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
2726elv 3474 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΏ) = (+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))
2827oveqi 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦)
293, 24, 283eqtr3g 2789 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
3020, 29sylan2 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
31 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜πΎ)
327, 31ressmulr 17261 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠)))
3332elv 3474 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΎ) = (.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))
3433oveqi 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯(.rβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦)
35 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜πΏ)
3613, 35ressmulr 17261 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ V β†’ (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠)))
3736elv 3474 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜πΏ) = (.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))
3837oveqi 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯(.rβ€˜πΏ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦)
394, 34, 383eqtr3g 2789 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
4020, 39sylan2 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑠 ∩ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐡))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝑠))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝐿 β†Ύs 𝑠))𝑦))
4111, 17, 30, 40ringpropd 20187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring ↔ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring))
425, 41anbi12d 630 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring)))
431, 2eqtr3d 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΏ))
4443sseq2d 4009 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ↔ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ)))
451, 2, 4rngidpropd 20317 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΏ))
4645eleq1d 2812 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠 ↔ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠))
4744, 46anbi12d 630 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠)))
4842, 47anbi12d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠)) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠))))
49 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΎ)
508, 49issubrg 20473 . . 3 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΎ) ↔ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝑠)))
51 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜πΏ) = (1rβ€˜πΏ)
5214, 51issubrg 20473 . . 3 (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΏ) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 β†Ύs 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΏ) ∧ (1rβ€˜πΏ) ∈ 𝑠)))
5348, 50, 523bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΎ) ↔ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜πΏ)))
5453eqrdv 2724 1 (πœ‘ β†’ (SubRingβ€˜πΎ) = (SubRingβ€˜πΏ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  1rcur 20086  Ringcrg 20138  SubRingcsubrg 20469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrg 20471
This theorem is referenced by:  ply1subrg  22071  subrgply1  22106  srasubrg  33189
  Copyright terms: Public domain W3C validator