Theorem cvgcmpub 15833

Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
cvgcmp.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
cvgcmp.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmp.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmpub.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
cvgcmpub.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
cvgcmpub.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
cvgcmpub	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem cvgcmpub

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcmp.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		cvgcmp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3	2, 1	eleqtrdi 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzel2 12857	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		cvgcmpub.6	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
7		cvgcmpub.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
8		cvgcmp.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
9	1, 5, 8	serfre 14049	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
10	9	ffvelcdmda 7074	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ ℝ)
11		cvgcmp.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
12	1, 5, 11	serfre 14049	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
13	12	ffvelcdmda 7074	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
15	14, 1	eleqtrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝜑)
17		elfzuz 13537	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 1	eleqtrrdi 2845	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	16, 18, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
20	16, 18, 11	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
21		cvgcmpub.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
22	16, 18, 21	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
23	15, 19, 20, 22	serle 14075	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
24	1, 5, 6, 7, 10, 13, 23	climle 15656	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   + caddc 11132   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  seqcseq 14019   ⇝ cli 15500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505

This theorem is referenced by: (None)