MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvgcmpub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvgcmpub 15759
Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
cvgcmp.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
cvgcmp.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
cvgcmp.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
cvgcmpub.5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
cvgcmpub.6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
cvgcmpub.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
cvgcmpub (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem cvgcmpub
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmp.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 cvgcmp.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
32, 1eleqtrdi 2843 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 eluzel2 12823 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 cvgcmpub.6 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
7 cvgcmpub.5 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
8 cvgcmp.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
91, 5, 8serfre 13993 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺):π‘βŸΆβ„)
109ffvelcdmda 7083 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
11 cvgcmp.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
121, 5, 11serfre 13993 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„)
1312ffvelcdmda 7083 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
14 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1514, 1eleqtrdi 2843 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
16 simpl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
17 elfzuz 13493 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1817, 1eleqtrrdi 2844 . . . 4 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1916, 18, 8syl2an 596 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2016, 18, 11syl2an 596 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
21 cvgcmpub.7 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
2216, 18, 21syl2an 596 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
2315, 19, 20, 22serle 14019 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›))
241, 5, 6, 7, 10, 13, 23climle 15580 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105   + caddc 11109   ≀ cle 11245  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  seqcseq 13962   ⇝ cli 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator