Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvgcmpub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvgcmpub 15184
 Description: An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgcmp.2 (𝜑𝑁𝑍)
cvgcmp.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmp.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
cvgcmpub.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
cvgcmpub.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
cvgcmpub.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
cvgcmpub (𝜑𝐵𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem cvgcmpub
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmp.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 cvgcmp.2 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
32, 1eleqtrdi 2900 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzel2 12256 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 cvgcmpub.6 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
7 cvgcmpub.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
8 cvgcmp.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
91, 5, 8serfre 13415 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
109ffvelrnda 6838 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ ℝ)
11 cvgcmp.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
121, 5, 11serfre 13415 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
1312ffvelrnda 6838 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ)
14 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
1514, 1eleqtrdi 2900 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
16 simpl 486 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝜑)
17 elfzuz 12918 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1817, 1eleqtrrdi 2901 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘𝑍)
1916, 18, 8syl2an 598 . . 3 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
2016, 18, 11syl2an 598 . . 3 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
21 cvgcmpub.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
2216, 18, 21syl2an 598 . . 3 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
2315, 19, 20, 22serle 13441 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
241, 5, 6, 7, 10, 13, 23climle 15008 1 (𝜑𝐵𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℝcr 10543   + caddc 10547   ≤ cle 10683  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  ...cfz 12905  seqcseq 13384   ⇝ cli 14853 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-seq 13385  df-exp 13446  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-rlim 14858 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator