Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserle 15011
 Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserle.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iserle.4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserle.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
iserle.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
iserle.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
iserle.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
iserle (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iserle.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iserle.4 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4 iserle.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
5 iserle.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
61, 2, 5serfre 13399 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
76ffvelrnda 6832 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
8 iserle.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
91, 2, 8serfre 13399 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
109ffvelrnda 6832 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
11 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1211, 1eleqtrdi 2903 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
13 simpll 766 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
14 elfzuz 12902 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1514, 1eleqtrrdi 2904 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
1615adantl 485 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘𝑍)
1713, 16, 5syl2anc 587 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1813, 16, 8syl2anc 587 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
19 iserle.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
2013, 16, 19syl2anc 587 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
2112, 17, 18, 20serle 13425 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗))
221, 2, 3, 4, 7, 10, 21climle 14991 1 (𝜑𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529   + caddc 10533   ≤ cle 10669  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12889  seqcseq 13368   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841 This theorem is referenced by:  iserge0  15012  isumle  15194  ege2le3  15438
 Copyright terms: Public domain W3C validator