MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserle 15639
Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iserle.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iserle.4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserle.5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
iserle.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
iserle.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
iserle.8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
iserle (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍

Proof of Theorem iserle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iserle.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 iserle.4 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4 iserle.5 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
5 iserle.6 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
61, 2, 5serfre 14029 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„)
76ffvelcdmda 7094 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
8 iserle.7 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
91, 2, 8serfre 14029 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺):π‘βŸΆβ„)
109ffvelcdmda 7094 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
11 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
1211, 1eleqtrdi 2839 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
13 simpll 766 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ πœ‘)
14 elfzuz 13530 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1514, 1eleqtrrdi 2840 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1615adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1713, 16, 5syl2anc 583 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1813, 16, 8syl2anc 583 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
19 iserle.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
2013, 16, 19syl2anc 583 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
2112, 17, 18, 20serle 14055 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))
221, 2, 3, 4, 7, 10, 21climle 15617 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138   + caddc 11142   ≀ cle 11280  β„€cz 12589  β„€β‰₯cuz 12853  ...cfz 13517  seqcseq 13999   ⇝ cli 15461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466
This theorem is referenced by:  iserge0  15640  isumle  15823  ege2le3  16067
  Copyright terms: Public domain W3C validator