MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iserle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iserle 15608
Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iserle.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iserle.4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserle.5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
iserle.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
iserle.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
iserle.8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
iserle (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍

Proof of Theorem iserle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iserle.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 iserle.4 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4 iserle.5 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
5 iserle.6 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
61, 2, 5serfre 13998 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„)
76ffvelcdmda 7077 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
8 iserle.7 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
91, 2, 8serfre 13998 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺):π‘βŸΆβ„)
109ffvelcdmda 7077 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
11 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
1211, 1eleqtrdi 2835 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
13 simpll 764 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ πœ‘)
14 elfzuz 13498 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1514, 1eleqtrrdi 2836 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1615adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1713, 16, 5syl2anc 583 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1813, 16, 8syl2anc 583 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
19 iserle.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
2013, 16, 19syl2anc 583 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
2112, 17, 18, 20serle 14024 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))
221, 2, 3, 4, 7, 10, 21climle 15586 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106   + caddc 11110   ≀ cle 11248  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  ...cfz 13485  seqcseq 13967   ⇝ cli 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435
This theorem is referenced by:  iserge0  15609  isumle  15792  ege2le3  16036
  Copyright terms: Public domain W3C validator