Theorem hlhilnvl 41997

Description: The involution operation of the star division ring for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 20-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilnvl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilnvl.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilnvl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilnvl.i	⊢ ∗ = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilnvl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlhilnvl	⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilnvl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. . 3 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
2		hlhilnvl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
3	2	fvexi 6836	. . 3 ⊢ ∗ ∈ V
4		starvid 17207	. . . 4 ⊢ *𝑟 = Slot (*𝑟‘ndx)
5	4	setsid 17118	. . 3 ⊢ ((((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ V ∧ ∗ ∈ V) → ∗ = (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ ∗ = (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩))
7		hlhilnvl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		hlhilnvl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
9		hlhilnvl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩)
12	7, 8, 9, 10, 2, 11	hlhilsca 41982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩) = (Scalar‘𝑈))
13		hlhilnvl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
14	12, 13	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩) = 𝑅)
15	14	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝜑 → (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩)) = (*𝑟‘𝑅))
16	6, 15	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ⟨cop 4579  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   sSet csts 17074  ndxcnx 17104  *_𝑟cstv 17163  Scalarcsca 17164  HLchlt 39397  LHypclh 40031  EDRingcedring 40800  HGMapchg 41930  HLHilchlh 41979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-hlhil 41980

This theorem is referenced by:  hlhilsrnglem  42000  hlhilphllem  42006