Theorem hlhilnvl 40763

Description: The involution operation of the star division ring for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 20-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilnvl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilnvl.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilnvl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilnvl.i	⊢ ∗ = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilnvl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlhilnvl	⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilnvl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6901	. . 3 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
2		hlhilnvl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
3	2	fvexi 6902	. . 3 ⊢ ∗ ∈ V
4		starvid 17244	. . . 4 ⊢ *𝑟 = Slot (*𝑟‘ndx)
5	4	setsid 17137	. . 3 ⊢ ((((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ V ∧ ∗ ∈ V) → ∗ = (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 691	. 2 ⊢ ∗ = (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩))
7		hlhilnvl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		hlhilnvl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
9		hlhilnvl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩)
12	7, 8, 9, 10, 2, 11	hlhilsca 40744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩) = (Scalar‘𝑈))
13		hlhilnvl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
14	12, 13	eqtr4di 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩) = 𝑅)
15	14	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩)) = (*𝑟‘𝑅))
16	6, 15	eqtrid 2785	1 ⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ⟨cop 4633  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   sSet csts 17092  ndxcnx 17122  *_𝑟cstv 17195  Scalarcsca 17196  HLchlt 38158  LHypclh 38793  EDRingcedring 39562  HGMapchg 40692  HLHilchlh 40741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-hlhil 40742

This theorem is referenced by:  hlhilsrnglem  40766  hlhilphllem  40772