Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilnvl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilnvl 39526
 Description: The involution operation of the star division ring for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 20-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilnvl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilnvl.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilnvl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilnvl.i = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilnvl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hlhilnvl (𝜑 = (*𝑟𝑅))

Proof of Theorem hlhilnvl
StepHypRef Expression
1 fvex 6671 . . 3 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
2 hlhilnvl.i . . . 4 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
32fvexi 6672 . . 3 ∈ V
4 starvid 16682 . . . 4 *𝑟 = Slot (*𝑟‘ndx)
54setsid 16596 . . 3 ((((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ V ∧ ∈ V) → = (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩)))
61, 3, 5mp2an 691 . 2 = (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩))
7 hlhilnvl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 hlhilnvl.u . . . . 5 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
9 hlhilnvl.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 eqid 2758 . . . . 5 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2758 . . . . 5 (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩)
127, 8, 9, 10, 2, 11hlhilsca 39511 . . . 4 (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩) = (Scalar‘𝑈))
13 hlhilnvl.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
1412, 13eqtr4di 2811 . . 3 (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩) = 𝑅)
1514fveq2d 6662 . 2 (𝜑 → (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ⟩)) = (*𝑟𝑅))
166, 15syl5eq 2805 1 (𝜑 = (*𝑟𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ⟨cop 4528  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ndxcnx 16538   sSet csts 16539  *𝑟cstv 16625  Scalarcsca 16626  HLchlt 36926  LHypclh 37560  EDRingcedring 38329  HGMapchg 39459  HLHilchlh 39508 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-plusg 16636  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-hlhil 39509 This theorem is referenced by:  hlhilsrnglem  39529  hlhilphllem  39535
 Copyright terms: Public domain W3C validator