Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilnvl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilnvl 40820
Description: The involution operation of the star division ring for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 20-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilnvl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhilnvl.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilnvl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hlhilnvl.i βˆ— = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilnvl.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
Assertion
Ref Expression
hlhilnvl (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜π‘…))

Proof of Theorem hlhilnvl
StepHypRef Expression
1 fvex 6904 . . 3 ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ V
2 hlhilnvl.i . . . 4 βˆ— = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
32fvexi 6905 . . 3 βˆ— ∈ V
4 starvid 17247 . . . 4 *π‘Ÿ = Slot (*π‘Ÿβ€˜ndx)
54setsid 17140 . . 3 ((((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ V ∧ βˆ— ∈ V) β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜(((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), βˆ— ⟩)))
61, 3, 5mp2an 690 . 2 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜(((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), βˆ— ⟩))
7 hlhilnvl.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 hlhilnvl.u . . . . 5 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 hlhilnvl.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 eqid 2732 . . . . 5 ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 eqid 2732 . . . . 5 (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), βˆ— ⟩) = (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), βˆ— ⟩)
127, 8, 9, 10, 2, 11hlhilsca 40801 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), βˆ— ⟩) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
13 hlhilnvl.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
1412, 13eqtr4di 2790 . . 3 (πœ‘ β†’ (((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), βˆ— ⟩) = 𝑅)
1514fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (*π‘Ÿβ€˜(((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) sSet ⟨(*π‘Ÿβ€˜ndx), βˆ— ⟩)) = (*π‘Ÿβ€˜π‘…))
166, 15eqtrid 2784 1 (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   sSet csts 17095  ndxcnx 17125  *π‘Ÿcstv 17198  Scalarcsca 17199  HLchlt 38215  LHypclh 38850  EDRingcedring 39619  HGMapchg 40749  HLHilchlh 40798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-hlhil 40799
This theorem is referenced by:  hlhilsrnglem  40823  hlhilphllem  40829
  Copyright terms: Public domain W3C validator