Theorem hlhilnvl 39526

Description: The involution operation of the star division ring for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 20-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilnvl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilnvl.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilnvl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilnvl.i	⊢ ∗ = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilnvl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hlhilnvl	⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilnvl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6671	. . 3 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
2		hlhilnvl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
3	2	fvexi 6672	. . 3 ⊢ ∗ ∈ V
4		starvid 16682	. . . 4 ⊢ *𝑟 = Slot (*𝑟‘ndx)
5	4	setsid 16596	. . 3 ⊢ ((((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ V ∧ ∗ ∈ V) → ∗ = (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 691	. 2 ⊢ ∗ = (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩))
7		hlhilnvl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		hlhilnvl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
9		hlhilnvl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩) = (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩)
12	7, 8, 9, 10, 2, 11	hlhilsca 39511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩) = (Scalar‘𝑈))
13		hlhilnvl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
14	12, 13	eqtr4di 2811	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩) = 𝑅)
15	14	fveq2d 6662	. 2 ⊢ (𝜑 → (*𝑟‘(((EDRing‘𝐾)‘𝑊) sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩)) = (*𝑟‘𝑅))
16	6, 15	syl5eq 2805	1 ⊢ (𝜑 → ∗ = (*𝑟‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ⟨cop 4528  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ndxcnx 16538   sSet csts 16539  *_𝑟cstv 16625  Scalarcsca 16626  HLchlt 36926  LHypclh 37560  EDRingcedring 38329  HGMapchg 39459  HLHilchlh 39508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-plusg 16636  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-hlhil 39509

This theorem is referenced by:  hlhilsrnglem  39529  hlhilphllem  39535