Theorem tngtset 24775

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tngtset	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))

Proof of Theorem tngtset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7444	. . 3 ⊢ (𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) ∈ V
2		fvex 6895	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) ∈ V
3		tsetid 17406	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
4	3	setsid 17267	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) ∈ V ∧ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) ∈ V) → (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
5	1, 2, 4	mp2an 704	. 2 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6		tngtset.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7		tngtset.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
8		tngbas.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
10	8, 9	tngds 24774	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
11	7, 10	eqtr4id 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → 𝐷 = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
12	11	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐷 = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
13	12	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))))
14	6, 13	eqtrid 2816	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))))
15		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
16		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
17	8, 9, 15, 16	tngval 24765	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
18	17	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
19	5, 14, 18	3eqtr4a 2830	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟨cop 4600   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   sSet csts 17223  ndxcnx 17253  TopSetcts 17316  distcds 17319  -_gcsg 19002  MetOpencmopn 21481   toNrmGrp ctng 24704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-tset 17329  df-ds 17332  df-tng 24710

This theorem is referenced by:  tngtopn  24776