Theorem tngtset 24907

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tngtset	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))

Proof of Theorem tngtset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7449	. . 3 ⊢ (𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) ∈ V
2		fvex 6894	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) ∈ V
3		tsetid 17463	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
4	3	setsid 17324	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) ∈ V ∧ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) ∈ V) → (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
5	1, 2, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
6		tngtset.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7		tngtset.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
8		tngbas.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
10	8, 9	tngds 24906	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
11	7, 10	eqtr4id 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → 𝐷 = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐷 = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
13	12	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))))
14	6, 13	eqtrid 2807	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))))
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
17	8, 9, 15, 16	tngval 24897	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩))
18	17	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g‘𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))⟩)))
19	5, 14, 18	3eqtr4a 2821	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ⟨cop 4590   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   sSet csts 17280  ndxcnx 17310  TopSetcts 17373  distcds 17376  -_gcsg 19085  MetOpencmopn 21607   toNrmGrp ctng 24836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-tset 17386  df-ds 17389  df-tng 24842

This theorem is used by:  tngtopn  24908