MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtset Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngtset 23547
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tngtset ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))

Proof of Theorem tngtset
StepHypRef Expression
1 ovex 7246 . . 3 (𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) ∈ V
2 fvex 6730 . . 3 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) ∈ V
3 tsetid 16886 . . . 4 TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
43setsid 16758 . . 3 (((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) ∈ V ∧ (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) ∈ V) → (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩)))
51, 2, 4mp2an 692 . 2 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
6 tngtset.3 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7 tngtset.2 . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝑇)
8 tngbas.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9 eqid 2737 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
108, 9tngds 23546 . . . . . 6 (𝑁𝑊 → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
117, 10eqtr4id 2797 . . . . 5 (𝑁𝑊𝐷 = (𝑁 ∘ (-g𝐺)))
1211adantl 485 . . . 4 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐷 = (𝑁 ∘ (-g𝐺)))
1312fveq2d 6721 . . 3 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))))
146, 13syl5eq 2790 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))))
15 eqid 2737 . . . 4 (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (𝑁 ∘ (-g𝐺))
16 eqid 2737 . . . 4 (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺))) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))
178, 9, 15, 16tngval 23537 . . 3 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩))
1817fveq2d 6721 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ (-g𝐺))⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ (-g𝐺)))⟩)))
195, 14, 183eqtr4a 2804 1 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cop 4547  ccom 5555  cfv 6380  (class class class)co 7213   sSet csts 16716  ndxcnx 16744  TopSetcts 16808  distcds 16811  -gcsg 18367  MetOpencmopn 20353   toNrmGrp ctng 23476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-tset 16821  df-ds 16824  df-tng 23482
This theorem is referenced by:  tngtopn  23548
  Copyright terms: Public domain W3C validator