Theorem prstcthin 49439

Description: The preordered set is equipped with a thin category. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )

Assertion

Ref	Expression
prstcthin	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem prstcthin

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶))
2		prstcnid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐶) = (le‘𝐶))
5	2, 3, 4	prstchomval 49437	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐶) × {1o}) = (Hom ‘𝐶))
6		ovex 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) ∈ V
7		0ex 5270	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
8		ccoid 17383	. . . . . 6 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
9	8	setsid 17183	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → ∅ = (comp‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩)))
10	6, 7, 9	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ∅ = (comp‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩))
11	2, 3	prstcval 49429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩))
12	11	fveq2d 6869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩)))
13	10, 12	eqtr4id 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ = (comp‘𝐶))
14	2, 3	prstcprs 49438	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )
15	1, 5, 13, 4, 14	prsthinc 49342	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ThinCat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ∅)))
16	15	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3455  ∅c0 4304  {csn 4597  ⟨cop 4603   ↦ cmpt 5196   × cxp 5644  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  1_oc1o 8436   sSet csts 17139  ndxcnx 17169  Basecbs 17185  lecple 17233  Hom chom 17237  compcco 17238  Idccid 17632   Proset cproset 18259  ThinCatcthinc 49295  ProsetToCatcprstc 49427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ple 17246  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-proset 18261  df-thinc 49296  df-prstc 49428

This theorem is referenced by:  prstchom2  49441  oduoppcciso  49444  postc  49447  discthin  49451