Theorem prstcthin 49827

Description: The preordered set is equipped with a thin category. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )

Assertion

Ref	Expression
prstcthin	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem prstcthin

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶))
2		prstcnid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐶) = (le‘𝐶))
5	2, 3, 4	prstchomval 49825	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((le‘𝐶) × {1o}) = (Hom ‘𝐶))
6		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) ∈ V
7		0ex 5252	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
8		ccoid 17336	. . . . . 6 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
9	8	setsid 17136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → ∅ = (comp‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩)))
10	6, 7, 9	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ∅ = (comp‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩))
11	2, 3	prstcval 49817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩))
12	11	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘((𝐾 sSet ⟨(Hom ‘ndx), ((le‘𝐾) × {1o})⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), ∅⟩)))
13	10, 12	eqtr4id 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ = (comp‘𝐶))
14	2, 3	prstcprs 49826	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )
15	1, 5, 13, 4, 14	prsthinc 49730	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ThinCat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ∅)))
16	15	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285  {csn 4580  ⟨cop 4586   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1_oc1o 8390   sSet csts 17092  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  lecple 17186  Hom chom 17190  compcco 17191  Idccid 17590   Proset cproset 18217  ThinCatcthinc 49683  ProsetToCatcprstc 49815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ple 17199  df-hom 17203  df-cco 17204  df-cat 17593  df-cid 17594  df-proset 18219  df-thinc 49684  df-prstc 49816

This theorem is referenced by:  prstchom2  49829  oduoppcciso  49832  postc  49835  discthin  49839