Theorem sravsca 21468

Description: The scalar product operation of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
sravsca	⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))

Proof of Theorem sravsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7460	. . . . 5 ⊢ (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V
2		fvex 6906	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) ∈ V
3		vscaid 17503	. . . . . 6 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
4	3	setsid 17397	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
5	1, 2, 4	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6		slotsdifipndx 17518	. . . . . 6 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
7	6	simpli 489	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
8	3, 7	setsnid 17398	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
9	5, 8	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
10		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
11	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
12		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
13		sraval 21462	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
14	12, 13	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
15	11, 14	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
16	15	fveq2d 6897	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
17	9, 16	eqtr4id 2817	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
18	3	str0 17379	. . 3 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
19		fvprc 6885	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (.r‘𝑊) = ∅)
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r‘𝑊) = ∅)
21		fv2prc 6935	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
22	10, 21	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
23	22	fveq2d 6897	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘∅))
24	18, 20, 23	3eqtr4a 2824	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
25	17, 24	pm2.61ian 824	1 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  ⟨cop 4837  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   sSet csts 17353  ndxcnx 17383  Basecbs 17399   ↾_s cress 17420  ._rcmulr 17441  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  ·_𝑖cip 17445  subringAlg csra 21458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-sra 21460

This theorem is used by:  sralmod  21474  rlmvsca  21487  sraassab  22188  evls1maplmhm  22707  sranlm  25015  drgextvsca  34276  drgextlsp  34279  fedgmullem1  34314  extdg1id  34351  ccfldsrarelvec  34356  ccfldextdgrr  34357  fldextrspunlsplem  34358  fldextrspunlsp  34359  extdgfialglem1  34377