MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sravsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sravsca 20693
Description: The scalar product operation of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
srapart.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
Assertion
Ref Expression
sravsca (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π΄))

Proof of Theorem sravsca
StepHypRef Expression
1 ovex 7394 . . . . 5 (π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) ∈ V
2 fvex 6859 . . . . 5 (.rβ€˜π‘Š) ∈ V
3 vscaid 17209 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 β€˜ndx)
43setsid 17088 . . . . 5 (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) ∈ V ∧ (.rβ€˜π‘Š) ∈ V) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)))
51, 2, 4mp2an 691 . . . 4 (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
6 slotsdifipndx 17224 . . . . . 6 (( ·𝑠 β€˜ndx) β‰  (Β·π‘–β€˜ndx) ∧ (Scalarβ€˜ndx) β‰  (Β·π‘–β€˜ndx))
76simpli 485 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜ndx) β‰  (Β·π‘–β€˜ndx)
83, 7setsnid 17089 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)) = ( ·𝑠 β€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
95, 8eqtri 2761 . . 3 (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
10 srapart.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
1110adantl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
12 srapart.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
13 sraval 20682 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1412, 13sylan2 594 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1511, 14eqtrd 2773 . . . 4 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1615fveq2d 6850 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)))
179, 16eqtr4id 2792 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
183str0 17069 . . 3 βˆ… = ( ·𝑠 β€˜βˆ…)
19 fvprc 6838 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘Š) = βˆ…)
2019adantr 482 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = βˆ…)
21 fv2prc 6891 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = βˆ…)
2210, 21sylan9eqr 2795 . . . 4 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = βˆ…)
2322fveq2d 6850 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜βˆ…))
2418, 20, 233eqtr4a 2799 . 2 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
2517, 24pm2.61ian 811 1 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βŸ¨cop 4596  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   sSet csts 17043  ndxcnx 17073  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Β·π‘–cip 17146  subringAlg csra 20674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-sra 20678
This theorem is referenced by:  sralmod  20701  rlmvsca  20716  sraassa  21296  sranlm  24071  drgextvsca  32354  drgextlsp  32357  fedgmullem1  32388  extdg1id  32416  ccfldsrarelvec  32419  ccfldextdgrr  32420
  Copyright terms: Public domain W3C validator