MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sravsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sravsca 19950
Description: The scalar product operation of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
sravsca (𝜑 → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))

Proof of Theorem sravsca
StepHypRef Expression
1 ovex 7172 . . . . 5 (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) ∈ V
2 fvex 6662 . . . . 5 (.r𝑊) ∈ V
3 vscaid 16630 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
43setsid 16533 . . . . 5 (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ (.r𝑊) ∈ V) → (.r𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
51, 2, 4mp2an 691 . . . 4 (.r𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
6 6re 11719 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
7 6lt8 11822 . . . . . . 7 6 < 8
86, 7ltneii 10746 . . . . . 6 6 ≠ 8
9 vscandx 16629 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
10 ipndx 16636 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
119, 10neeq12i 3056 . . . . . 6 (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 6 ≠ 8)
128, 11mpbir 234 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
133, 12setsnid 16534 . . . 4 ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
145, 13eqtri 2824 . . 3 (.r𝑊) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
15 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
1615adantl 485 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
17 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
18 sraval 19944 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
1917, 18sylan2 595 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2016, 19eqtrd 2836 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2120fveq2d 6653 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
2214, 21eqtr4id 2855 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
233str0 16530 . . 3 ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
24 fvprc 6642 . . . 4 𝑊 ∈ V → (.r𝑊) = ∅)
2524adantr 484 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ∅)
26 fv2prc 6689 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
2715, 26sylan9eqr 2858 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
2827fveq2d 6653 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠 ‘∅))
2923, 25, 283eqtr4a 2862 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
3022, 29pm2.61ian 811 1 (𝜑 → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  Vcvv 3444  wss 3884  c0 4246  cop 4534  cfv 6328  (class class class)co 7139  6c6 11688  8c8 11690  ndxcnx 16475   sSet csts 16476  Basecbs 16478  s cress 16479  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  ·𝑖cip 16565  subringAlg csra 19936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-sets 16485  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-sra 19940
This theorem is referenced by:  sralmod  19955  rlmvsca  19970  sraassa  20559  sranlm  23293  drgextvsca  31081  drgextlsp  31084  fedgmullem1  31113  extdg1id  31141  ccfldsrarelvec  31144  ccfldextdgrr  31145
  Copyright terms: Public domain W3C validator