Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sravsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sravsca 19950
 Description: The scalar product operation of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
sravsca (𝜑 → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))

Proof of Theorem sravsca
StepHypRef Expression
1 ovex 7172 . . . . 5 (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) ∈ V
2 fvex 6662 . . . . 5 (.r𝑊) ∈ V
3 vscaid 16630 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
43setsid 16533 . . . . 5 (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ (.r𝑊) ∈ V) → (.r𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
51, 2, 4mp2an 691 . . . 4 (.r𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
6 6re 11719 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
7 6lt8 11822 . . . . . . 7 6 < 8
86, 7ltneii 10746 . . . . . 6 6 ≠ 8
9 vscandx 16629 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
10 ipndx 16636 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
119, 10neeq12i 3056 . . . . . 6 (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 6 ≠ 8)
128, 11mpbir 234 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
133, 12setsnid 16534 . . . 4 ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
145, 13eqtri 2824 . . 3 (.r𝑊) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
15 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
1615adantl 485 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
17 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
18 sraval 19944 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
1917, 18sylan2 595 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2016, 19eqtrd 2836 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2120fveq2d 6653 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
2214, 21eqtr4id 2855 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
233str0 16530 . . 3 ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
24 fvprc 6642 . . . 4 𝑊 ∈ V → (.r𝑊) = ∅)
2524adantr 484 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ∅)
26 fv2prc 6689 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
2715, 26sylan9eqr 2858 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
2827fveq2d 6653 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠 ‘∅))
2923, 25, 283eqtr4a 2862 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
3022, 29pm2.61ian 811 1 (𝜑 → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  ⟨cop 4534  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  6c6 11688  8c8 11690  ndxcnx 16475   sSet csts 16476  Basecbs 16478   ↾s cress 16479  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  ·𝑖cip 16565  subringAlg csra 19936 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-sets 16485  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-sra 19940 This theorem is referenced by:  sralmod  19955  rlmvsca  19970  sraassa  20559  sranlm  23293  drgextvsca  31081  drgextlsp  31084  fedgmullem1  31113  extdg1id  31141  ccfldsrarelvec  31144  ccfldextdgrr  31145
 Copyright terms: Public domain W3C validator