MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sravsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sravsca 21064
Description: The scalar product operation of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
srapart.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
Assertion
Ref Expression
sravsca (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π΄))

Proof of Theorem sravsca
StepHypRef Expression
1 ovex 7447 . . . . 5 (π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) ∈ V
2 fvex 6904 . . . . 5 (.rβ€˜π‘Š) ∈ V
3 vscaid 17294 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 β€˜ndx)
43setsid 17170 . . . . 5 (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) ∈ V ∧ (.rβ€˜π‘Š) ∈ V) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)))
51, 2, 4mp2an 691 . . . 4 (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
6 slotsdifipndx 17309 . . . . . 6 (( ·𝑠 β€˜ndx) β‰  (Β·π‘–β€˜ndx) ∧ (Scalarβ€˜ndx) β‰  (Β·π‘–β€˜ndx))
76simpli 483 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜ndx) β‰  (Β·π‘–β€˜ndx)
83, 7setsnid 17171 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)) = ( ·𝑠 β€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
95, 8eqtri 2756 . . 3 (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
10 srapart.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
1110adantl 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
12 srapart.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
13 sraval 21053 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1412, 13sylan2 592 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1511, 14eqtrd 2768 . . . 4 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1615fveq2d 6895 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)))
179, 16eqtr4id 2787 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
183str0 17151 . . 3 βˆ… = ( ·𝑠 β€˜βˆ…)
19 fvprc 6883 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘Š) = βˆ…)
2019adantr 480 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = βˆ…)
21 fv2prc 6936 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = βˆ…)
2210, 21sylan9eqr 2790 . . . 4 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = βˆ…)
2322fveq2d 6895 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜βˆ…))
2418, 20, 233eqtr4a 2794 . 2 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
2517, 24pm2.61ian 811 1 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  Vcvv 3470   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  βŸ¨cop 4630  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   sSet csts 17125  ndxcnx 17155  Basecbs 17173   β†Ύs cress 17202  .rcmulr 17227  Scalarcsca 17229   ·𝑠 cvsca 17230  Β·π‘–cip 17231  subringAlg csra 21049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-sra 21051
This theorem is referenced by:  sralmod  21073  rlmvsca  21086  sraassab  21794  sraassaOLD  21796  sranlm  24594  drgextvsca  33280  drgextlsp  33283  fedgmullem1  33317  extdg1id  33345  ccfldsrarelvec  33349  ccfldextdgrr  33350  evls1maplmhm  33364
  Copyright terms: Public domain W3C validator