MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sravsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sravsca 19396
Description: The scalar product operation of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
sravsca (𝜑 → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))

Proof of Theorem sravsca
StepHypRef Expression
1 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
21adantl 467 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
3 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4 sraval 19390 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
53, 4sylan2 580 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
62, 5eqtrd 2805 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
76fveq2d 6337 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
8 ovex 6826 . . . . 5 (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) ∈ V
9 fvex 6344 . . . . 5 (.r𝑊) ∈ V
10 vscaid 16223 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
1110setsid 16120 . . . . 5 (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ (.r𝑊) ∈ V) → (.r𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
128, 9, 11mp2an 672 . . . 4 (.r𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
13 6re 11306 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
14 6lt8 11422 . . . . . . 7 6 < 8
1513, 14ltneii 10355 . . . . . 6 6 ≠ 8
16 vscandx 16222 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
17 ipndx 16229 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
1816, 17neeq12i 3009 . . . . . 6 (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 6 ≠ 8)
1915, 18mpbir 221 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
2010, 19setsnid 16121 . . . 4 ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2112, 20eqtri 2793 . . 3 (.r𝑊) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
227, 21syl6reqr 2824 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
2310str0 16117 . . 3 ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
24 fvprc 6327 . . . 4 𝑊 ∈ V → (.r𝑊) = ∅)
2524adantr 466 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ∅)
26 fvprc 6327 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (subringAlg ‘𝑊) = ∅)
2726fveq1d 6335 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (∅‘𝑆))
28 0fv 6370 . . . . . 6 (∅‘𝑆) = ∅
2927, 28syl6eq 2821 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
301, 29sylan9eqr 2827 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
3130fveq2d 6337 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠 ‘∅))
3223, 25, 313eqtr4a 2831 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
3322, 32pm2.61ian 813 1 (𝜑 → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063  cop 4323  cfv 6030  (class class class)co 6795  6c6 11279  8c8 11281  ndxcnx 16060   sSet csts 16061  Basecbs 16063  s cress 16064  .rcmulr 16149  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  ·𝑖cip 16153  subringAlg csra 19382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-sets 16070  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-sra 19386
This theorem is referenced by:  sralmod  19401  rlmvsca  19416  sraassa  19539  sranlm  22707
  Copyright terms: Public domain W3C validator