Theorem sravsca 21026

Description: The scalar product operation of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
sravsca	⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))

Proof of Theorem sravsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V
2		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑊) ∈ V
3		vscaid 17266	. . . . . 6 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
4	3	setsid 17142	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
5	1, 2, 4	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6		slotsdifipndx 17281	. . . . . 6 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
7	6	simpli 483	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
8	3, 7	setsnid 17143	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
9	5, 8	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
10		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
12		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
13		sraval 21015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
14	12, 13	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
15	11, 14	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
16	15	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
17	9, 16	eqtr4id 2783	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
18	3	str0 17123	. . 3 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
19		fvprc 6874	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (.r‘𝑊) = ∅)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r‘𝑊) = ∅)
21		fv2prc 6927	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
22	10, 21	sylan9eqr 2786	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
23	22	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘∅))
24	18, 20, 23	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
25	17, 24	pm2.61ian 809	1 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315  ⟨cop 4627  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   sSet csts 17097  ndxcnx 17127  Basecbs 17145   ↾_s cress 17174  ._rcmulr 17199  Scalarcsca 17201   ·_𝑠 cvsca 17202  ·_𝑖cip 17203  subringAlg csra 21011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-sra 21013

This theorem is referenced by:  sralmod  21035  rlmvsca  21048  sraassab  21732  sraassaOLD  21734  sranlm  24525  drgextvsca  33159  drgextlsp  33162  fedgmullem1  33196  extdg1id  33224  ccfldsrarelvec  33228  ccfldextdgrr  33229  evls1maplmhm  33243