| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | ttgval.n | . . . . 5
⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻) | 
| 2 | 1 | a1i 11 | . . . 4
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 𝐺 = (toTG‘𝐻)) | 
| 3 |  | elex 3500 | . . . . 5
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 𝐻 ∈ V) | 
| 4 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (Base‘𝑤) = (Base‘𝐻)) | 
| 5 |  | ttgval.b | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻) | 
| 6 | 4, 5 | eqtr4di 2794 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (Base‘𝑤) = 𝐵) | 
| 7 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (-g‘𝑤) = (-g‘𝐻)) | 
| 8 |  | ttgval.m | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢  − =
(-g‘𝐻) | 
| 9 | 7, 8 | eqtr4di 2794 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (-g‘𝑤) = − ) | 
| 10 | 9 | oveqd 7449 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (𝑧(-g‘𝑤)𝑥) = (𝑧 − 𝑥)) | 
| 11 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (
·𝑠 ‘𝑤) = ( ·𝑠
‘𝐻)) | 
| 12 |  | ttgval.s | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢  · = (
·𝑠 ‘𝐻) | 
| 13 | 11, 12 | eqtr4di 2794 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (
·𝑠 ‘𝑤) = · ) | 
| 14 |  | eqidd 2737 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑤 = 𝐻 → 𝑘 = 𝑘) | 
| 15 | 9 | oveqd 7449 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (𝑦(-g‘𝑤)𝑥) = (𝑦 − 𝑥)) | 
| 16 | 13, 14, 15 | oveq123d 7453 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (𝑘( ·𝑠
‘𝑤)(𝑦(-g‘𝑤)𝑥)) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))) | 
| 17 | 10, 16 | eqeq12d 2752 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 = 𝐻 → ((𝑧(-g‘𝑤)𝑥) = (𝑘( ·𝑠
‘𝑤)(𝑦(-g‘𝑤)𝑥)) ↔ (𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)))) | 
| 18 | 17 | rexbidv 3178 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝑤)𝑥) = (𝑘( ·𝑠
‘𝑤)(𝑦(-g‘𝑤)𝑥)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)))) | 
| 19 | 6, 18 | rabeqbidv 3454 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 = 𝐻 → {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝑤)𝑥) = (𝑘( ·𝑠
‘𝑤)(𝑦(-g‘𝑤)𝑥))} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) | 
| 20 | 6, 6, 19 | mpoeq123dv 7509 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑤), 𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝑤)𝑥) = (𝑘( ·𝑠
‘𝑤)(𝑦(-g‘𝑤)𝑥))}) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})) | 
| 21 | 20 | csbeq1d 3902 | . . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝐻 → ⦋(𝑥 ∈ (Base‘𝑤), 𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝑤)𝑥) = (𝑘( ·𝑠
‘𝑤)(𝑦(-g‘𝑤)𝑥))}) / 𝑖⦌((𝑤 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ (Base‘𝑤),
𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉) = ⦋(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) / 𝑖⦌((𝑤 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ (Base‘𝑤),
𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉)) | 
| 22 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (𝑤 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) = (𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉)) | 
| 23 | 6 | rabeqdv 3451 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 = 𝐻 → {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))}) | 
| 24 | 6, 6, 23 | mpoeq123dv 7509 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 = 𝐻 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑤), 𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))}) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})) | 
| 25 | 24 | opeq2d 4879 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 = 𝐻 → 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑤), 𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉 = 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉) | 
| 26 | 22, 25 | oveq12d 7450 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 𝐻 → ((𝑤 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ (Base‘𝑤),
𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉) = ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉)) | 
| 27 | 26 | csbeq2dv 3905 | . . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝐻 → ⦋(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) / 𝑖⦌((𝑤 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ (Base‘𝑤),
𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉) = ⦋(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) / 𝑖⦌((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉)) | 
| 28 | 21, 27 | eqtrd 2776 | . . . . . 6
⊢ (𝑤 = 𝐻 → ⦋(𝑥 ∈ (Base‘𝑤), 𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝑤)𝑥) = (𝑘( ·𝑠
‘𝑤)(𝑦(-g‘𝑤)𝑥))}) / 𝑖⦌((𝑤 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ (Base‘𝑤),
𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉) = ⦋(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) / 𝑖⦌((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉)) | 
| 29 |  | df-ttg 28883 | . . . . . 6
⊢ toTG =
(𝑤 ∈ V ↦
⦋(𝑥 ∈
(Base‘𝑤), 𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝑤)𝑥) = (𝑘( ·𝑠
‘𝑤)(𝑦(-g‘𝑤)𝑥))}) / 𝑖⦌((𝑤 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ (Base‘𝑤),
𝑦 ∈ (Base‘𝑤) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝑤) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉)) | 
| 30 |  | ovex 7465 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx),
𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉) ∈ V | 
| 31 | 30 | csbex 5310 | . . . . . 6
⊢
⦋(𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) / 𝑖⦌((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉) ∈ V | 
| 32 | 28, 29, 31 | fvmpt 7015 | . . . . 5
⊢ (𝐻 ∈ V →
(toTG‘𝐻) =
⦋(𝑥 ∈
𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) / 𝑖⦌((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉)) | 
| 33 | 3, 32 | syl 17 | . . . 4
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (toTG‘𝐻) = ⦋(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) / 𝑖⦌((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉)) | 
| 34 | 5 | fvexi 6919 | . . . . . . 7
⊢ 𝐵 ∈ V | 
| 35 | 34, 34 | mpoex 8105 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) ∈ V | 
| 36 | 35 | a1i 11 | . . . . 5
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) ∈ V) | 
| 37 |  | simpr 484 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})) → 𝑖 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})) | 
| 38 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑐 − 𝑎) = (𝑐 − 𝑥)) | 
| 39 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝑥)) | 
| 40 | 39 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑘 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑥))) | 
| 41 | 38, 40 | eqeq12d 2752 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎)) ↔ (𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑥)))) | 
| 42 | 41 | rexbidv 3178 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑥)))) | 
| 43 | 42 | rabbidv 3443 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑎 = 𝑥 → {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))} = {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑥))}) | 
| 44 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 − 𝑥) = (𝑦 − 𝑥)) | 
| 45 | 44 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑘 · (𝑏 − 𝑥)) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))) | 
| 46 | 45 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑥)) ↔ (𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)))) | 
| 47 | 46 | rexbidv 3178 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑥)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)))) | 
| 48 | 47 | rabbidv 3443 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 = 𝑦 → {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑥))} = {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) | 
| 49 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑐 − 𝑥) = (𝑧 − 𝑥)) | 
| 50 | 49 | eqeq1d 2738 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑐 = 𝑧 → ((𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) ↔ (𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)))) | 
| 51 | 50 | rexbidv 3178 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑐 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥)))) | 
| 52 | 51 | cbvrabv 3446 | . . . . . . . . 9
⊢ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))} | 
| 53 | 48, 52 | eqtrdi 2792 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = 𝑦 → {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑥))} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) | 
| 54 | 43, 53 | cbvmpov 7529 | . . . . . . 7
⊢ (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))}) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) | 
| 55 | 37, 54 | eqtr4di 2794 | . . . . . 6
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})) → 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) | 
| 56 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) | 
| 57 | 56, 54 | eqtrdi 2792 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → 𝑖 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})) | 
| 58 | 57 | opeq2d 4879 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉 = 〈(Itv‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) | 
| 59 | 58 | oveq2d 7448 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → (𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) = (𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉)) | 
| 60 | 57 | oveqd 7449 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → (𝑥𝑖𝑦) = (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦)) | 
| 61 | 60 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦))) | 
| 62 | 57 | oveqd 7449 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → (𝑧𝑖𝑦) = (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦)) | 
| 63 | 62 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → (𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦))) | 
| 64 | 57 | oveqd 7449 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → (𝑥𝑖𝑧) = (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧)) | 
| 65 | 64 | eleq2d 2826 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → (𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))) | 
| 66 | 61, 63, 65 | 3orbi123d 1436 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → ((𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧)))) | 
| 67 | 66 | rabbidv 3443 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))}) | 
| 68 | 67 | mpoeq3dv 7513 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))}) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})) | 
| 69 | 68 | opeq2d 4879 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉 = 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})〉) | 
| 70 | 59, 69 | oveq12d 7450 | . . . . . 6
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑎 ∈ 𝐵, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ {𝑐 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑐 − 𝑎) = (𝑘 · (𝑏 − 𝑎))})) → ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉) = ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) sSet 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})〉)) | 
| 71 | 55, 70 | syldan 591 | . . . . 5
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})) → ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉) = ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) sSet 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})〉)) | 
| 72 | 36, 71 | csbied 3934 | . . . 4
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → ⦋(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) / 𝑖⦌((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), 𝑖〉) sSet
〈(LineG‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝑖𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝑖𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))})〉) = ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) sSet 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})〉)) | 
| 73 | 2, 33, 72 | 3eqtrd 2780 | . . 3
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) sSet 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})〉)) | 
| 74 | 73 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (Itv‘𝐺) = (Itv‘((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) sSet 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})〉))) | 
| 75 |  | itvid 28448 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ Itv =
Slot (Itv‘ndx) | 
| 76 |  | 1nn0 12544 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 1 ∈
ℕ0 | 
| 77 |  | 6nn 12356 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 6 ∈
ℕ | 
| 78 | 76, 77 | decnncl 12755 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ;16 ∈ ℕ | 
| 79 | 78 | nnrei 12276 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ;16 ∈ ℝ | 
| 80 |  | 6nn0 12549 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 6 ∈
ℕ0 | 
| 81 |  | 7nn 12359 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 7 ∈
ℕ | 
| 82 |  | 6lt7 12453 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 6 <
7 | 
| 83 | 76, 80, 81, 82 | declt 12763 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ;16 < ;17 | 
| 84 | 79, 83 | ltneii 11375 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ;16 ≠ ;17 | 
| 85 |  | itvndx 28446 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(Itv‘ndx) = ;16 | 
| 86 |  | lngndx 28447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(LineG‘ndx) = ;17 | 
| 87 | 85, 86 | neeq12i 3006 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((Itv‘ndx) ≠ (LineG‘ndx) ↔ ;16 ≠ ;17) | 
| 88 | 84, 87 | mpbir 231 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(Itv‘ndx) ≠ (LineG‘ndx) | 
| 89 | 75, 88 | setsnid 17246 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(Itv‘(𝐻 sSet
〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉)) = (Itv‘((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) sSet 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})〉)) | 
| 90 | 74, 89 | eqtr4di 2794 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (Itv‘𝐺) = (Itv‘(𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉))) | 
| 91 |  | ttgval.i | . . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) | 
| 92 | 91 | a1i 11 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (Itv‘𝐺)) | 
| 93 | 75 | setsid 17245 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) = (Itv‘(𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉))) | 
| 94 | 35, 93 | mpan2 691 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}) = (Itv‘(𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉))) | 
| 95 | 90, 92, 94 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})) | 
| 96 | 95 | oveqd 7449 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝑥𝐼𝑦) = (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦)) | 
| 97 | 96 | eleq2d 2826 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦))) | 
| 98 | 95 | oveqd 7449 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝑧𝐼𝑦) = (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦)) | 
| 99 | 98 | eleq2d 2826 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦))) | 
| 100 | 95 | oveqd 7449 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧)) | 
| 101 | 100 | eleq2d 2826 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))) | 
| 102 | 97, 99, 101 | 3orbi123d 1436 | . . . . . . 7
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧)))) | 
| 103 | 102 | rabbidv 3443 | . . . . . 6
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))} = {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))}) | 
| 104 | 103 | mpoeq3dv 7513 | . . . . 5
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})) | 
| 105 | 104 | opeq2d 4879 | . . . 4
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})〉 = 〈(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})〉) | 
| 106 | 105 | oveq2d 7448 | . . 3
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) sSet 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})〉) = ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) sSet 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})𝑧))})〉)) | 
| 107 | 73, 106 | eqtr4d 2779 | . 2
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) sSet 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})〉)) | 
| 108 | 107, 95 | jca 511 | 1
⊢ (𝐻 ∈ 𝑉 → (𝐺 = ((𝐻 sSet 〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))})〉) sSet 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})〉) ∧ 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 − 𝑥))}))) |