Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznnring 48106
Description: The ring constructed from a ℤ/n structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
cznrng.0 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cznnring ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
2 cznrng.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 cznrng.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
52, 3, 4cznrnglem 48103 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑋)
61, 5mgpbas 20158 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
74fveq2i 6910 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
82fvexi 6921 . . . . . . . . 9 𝑌 ∈ V
93fvexi 6921 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
109, 9mpoex 8103 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
11 mulridx 17340 . . . . . . . . . 10 .r = Slot (.r‘ndx)
1211setsid 17242 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)))
138, 10, 12mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
147, 13mgpplusg 20156 . . . . . . 7 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
1514eqcomi 2744 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
16 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
17 eluz2 12882 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
18 1lt2 12435 . . . . . . . . . 10 1 < 2
19 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
20 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
22 zre 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23 ltletr 11351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
2524expcomd 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁)))
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁))))
27263imp 1110 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 → 1 < 𝑁))
2818, 27mpi 20 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
2917, 28sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
30 eluz2nn 12922 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
312, 3znhash 21595 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘𝐵) = 𝑁)
3329, 32breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (♯‘𝐵))
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 1 < (♯‘𝐵))
356, 15, 16, 34copisnmnd 48013 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd)
36 df-nel 3045 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd ↔ ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
3735, 36sylib 218 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
3837intn3an2d 1479 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))(𝑏(+g𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑏)(+g𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)(+g𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)))))
39 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑋) = (+g𝑋)
404eqcomi 2744 . . . . 5 (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩) = 𝑋
4140fveq2i 6910 . . . 4 (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)) = (.r𝑋)
425, 1, 39, 41isring 20255 . . 3 (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))(𝑏(+g𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑏)(+g𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)(+g𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)))))
4338, 42sylnibr 329 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ Ring)
44 df-nel 3045 . 2 (𝑋 ∉ Ring ↔ ¬ 𝑋 ∈ Ring)
4543, 44sylibr 234 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wnel 3044  wral 3059  Vcvv 3478  cop 4637   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11152  1c1 11154   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  chash 14366   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  ℤ/nczn 21531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-hash 14367  df-dvds 16288  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator