Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznnring 46244
Description: The ring constructed from a ℤ/n structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
cznrng.0 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cznnring ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
2 cznrng.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 cznrng.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
52, 3, 4cznrnglem 46241 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑋)
61, 5mgpbas 19902 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
74fveq2i 6845 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
82fvexi 6856 . . . . . . . . 9 𝑌 ∈ V
93fvexi 6856 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
109, 9mpoex 8012 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
11 mulrid 17175 . . . . . . . . . 10 .r = Slot (.r‘ndx)
1211setsid 17080 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)))
138, 10, 12mp2an 690 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
147, 13mgpplusg 19900 . . . . . . 7 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
1514eqcomi 2745 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
16 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
17 eluz2 12769 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
18 1lt2 12324 . . . . . . . . . 10 1 < 2
19 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
20 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
22 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23 ltletr 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
2524expcomd 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁)))
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁))))
27263imp 1111 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 → 1 < 𝑁))
2818, 27mpi 20 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
2917, 28sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
30 eluz2nn 12809 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
312, 3znhash 20965 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘𝐵) = 𝑁)
3329, 32breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (♯‘𝐵))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 1 < (♯‘𝐵))
356, 15, 16, 34copisnmnd 46093 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd)
36 df-nel 3050 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd ↔ ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
3735, 36sylib 217 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
3837intn3an2d 1480 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))(𝑏(+g𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑏)(+g𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)(+g𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)))))
39 eqid 2736 . . . 4 (+g𝑋) = (+g𝑋)
404eqcomi 2745 . . . . 5 (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩) = 𝑋
4140fveq2i 6845 . . . 4 (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)) = (.r𝑋)
425, 1, 39, 41isring 19968 . . 3 (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))(𝑏(+g𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑏)(+g𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)(+g𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))𝑐)))))
4338, 42sylnibr 328 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ Ring)
44 df-nel 3050 . 2 (𝑋 ∉ Ring ↔ ¬ 𝑋 ∈ Ring)
4543, 44sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wnel 3049  wral 3064  Vcvv 3445  cop 4592   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cr 11050  1c1 11052   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  cuz 12763  chash 14230   sSet csts 17035  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  ℤ/nczn 20903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-hash 14231  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator