Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznnring 47212
Description: The ring constructed from a β„€/nβ„€ structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
cznrng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
cznrng.x 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
cznrng.0 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
cznnring ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 βˆ‰ Ring)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘‹) = (mulGrpβ€˜π‘‹)
2 cznrng.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
4 cznrng.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
52, 3, 4cznrnglem 47209 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‹)
61, 5mgpbas 20045 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹))
74fveq2i 6888 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘‹) = (mulGrpβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
82fvexi 6899 . . . . . . . . 9 π‘Œ ∈ V
93fvexi 6899 . . . . . . . . . 10 𝐡 ∈ V
109, 9mpoex 8065 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ V
11 mulridx 17248 . . . . . . . . . 10 .r = Slot (.rβ€˜ndx)
1211setsid 17150 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)))
138, 10, 12mp2an 689 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
147, 13mgpplusg 20043 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹))
1514eqcomi 2735 . . . . . 6 (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
16 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
17 eluz2 12832 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁))
18 1lt2 12387 . . . . . . . . . 10 1 < 2
19 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ ℝ)
20 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ ℝ)
22 zre 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
23 ltletr 11310 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((1 < 2 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 𝑁))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((1 < 2 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 𝑁))
2524expcomd 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 ≀ 𝑁 β†’ (1 < 2 β†’ 1 < 𝑁)))
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 ≀ 𝑁 β†’ (1 < 2 β†’ 1 < 𝑁))))
27263imp 1108 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (1 < 2 β†’ 1 < 𝑁))
2818, 27mpi 20 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 𝑁)
2917, 28sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑁)
30 eluz2nn 12872 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
312, 3znhash 21453 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π΅) = 𝑁)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (β™―β€˜π΅) = 𝑁)
3329, 32breqtrrd 5169 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < (β™―β€˜π΅))
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 1 < (β™―β€˜π΅))
356, 15, 16, 34copisnmnd 47119 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (mulGrpβ€˜π‘‹) βˆ‰ Mnd)
36 df-nel 3041 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜π‘‹) βˆ‰ Mnd ↔ Β¬ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd)
3735, 36sylib 217 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd)
3837intn3an2d 1476 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))(𝑏(+gβ€˜π‘‹)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑏)(+gβ€˜π‘‹)(π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘‹)𝑏)(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)(+gβ€˜π‘‹)(𝑏(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)))))
39 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘‹)
404eqcomi 2735 . . . . 5 (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩) = 𝑋
4140fveq2i 6888 . . . 4 (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)) = (.rβ€˜π‘‹)
425, 1, 39, 41isring 20142 . . 3 (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))(𝑏(+gβ€˜π‘‹)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑏)(+gβ€˜π‘‹)(π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘‹)𝑏)(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)(+gβ€˜π‘‹)(𝑏(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)))))
4338, 42sylnibr 329 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ Ring)
44 df-nel 3041 . 2 (𝑋 βˆ‰ Ring ↔ Β¬ 𝑋 ∈ Ring)
4543, 44sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 βˆ‰ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ‰ wnel 3040  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„cr 11111  1c1 11113   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β™―chash 14295   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  β„€/nβ„€czn 21389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-hash 14296  df-dvds 16205  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator