Theorem cznnring 49303

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
cznrng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cznnring	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
2		cznrng.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		cznrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		cznrng.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
5	2, 3, 4	cznrnglem 49300	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑋)
6	1, 5	mgpbas 20345	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
7	4	fveq2i 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
8	2	fvexi 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ V
9	3	fvexi 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9, 9	mpoex 8081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V
11		mulridx 17446	. . . . . . . . . 10 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
12	11	setsid 17365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)))
13	8, 10, 12	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
14	7, 13	mgpplusg 20344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
15	14	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
16		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
17		eluz2 12952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
18		1lt2 12496	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
19		1red 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
20		2re 12398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
22		zre 12678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23		ltletr 11383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
25	24	expcomd 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁)))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁))))
27	26	3imp 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 → 1 < 𝑁))
28	18, 27	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
29	17, 28	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
30		eluz2nn 12996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
31	2, 3	znhash 21844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘𝐵) = 𝑁)
33	29, 32	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (♯‘𝐵))
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 < (♯‘𝐵))
35	6, 15, 16, 34	copisnmnd 49210	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd)
36		df-nel 3063	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd ↔ ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
37	35, 36	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
38	37	intn3an2d 1511	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))(𝑏(+g‘𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑏)(+g‘𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)(+g‘𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)))))
39		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑋)
40	4	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩) = 𝑋
41	40	fveq2i 6880	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)) = (.r‘𝑋)
42	5, 1, 39, 41	isring 20443	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))(𝑏(+g‘𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑏)(+g‘𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)(+g‘𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)))))
43	38, 42	sylnibr 332	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ Ring)
44		df-nel 3063	. 2 ⊢ (𝑋 ∉ Ring ↔ ¬ 𝑋 ∈ Ring)
45	43, 44	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℝcr 11180  1c1 11182   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12316  2c2 12378  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ♯chash 14454   sSet csts 17321  ndxcnx 17351  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903  Grpcgrp 19124  mulGrpcmgp 20340  Ringcrg 20439  ℤ/nℤczn 21788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-ec 8703  df-qs 8707  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-hash 14455  df-dvds 16403  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-0g 17592  df-imas 17660  df-qus 17661  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-nsg 19314  df-eqg 19315  df-ghm 19408  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-rsp 21467  df-2idl 21523  df-cnfld 21659  df-zring 21733  df-zrh 21789  df-zn 21792

This theorem is used by: (None)