Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznnring 47420
Description: The ring constructed from a β„€/nβ„€ structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
cznrng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
cznrng.x 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
cznrng.0 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
cznnring ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 βˆ‰ Ring)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘‹) = (mulGrpβ€˜π‘‹)
2 cznrng.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
4 cznrng.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
52, 3, 4cznrnglem 47417 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‹)
61, 5mgpbas 20094 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹))
74fveq2i 6905 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘‹) = (mulGrpβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
82fvexi 6916 . . . . . . . . 9 π‘Œ ∈ V
93fvexi 6916 . . . . . . . . . 10 𝐡 ∈ V
109, 9mpoex 8092 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ V
11 mulridx 17284 . . . . . . . . . 10 .r = Slot (.rβ€˜ndx)
1211setsid 17186 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)))
138, 10, 12mp2an 690 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
147, 13mgpplusg 20092 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹))
1514eqcomi 2737 . . . . . 6 (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
16 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
17 eluz2 12868 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁))
18 1lt2 12423 . . . . . . . . . 10 1 < 2
19 1red 11255 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ ℝ)
20 2re 12326 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ ℝ)
22 zre 12602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
23 ltletr 11346 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((1 < 2 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 𝑁))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((1 < 2 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 𝑁))
2524expcomd 415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 ≀ 𝑁 β†’ (1 < 2 β†’ 1 < 𝑁)))
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 ≀ 𝑁 β†’ (1 < 2 β†’ 1 < 𝑁))))
27263imp 1108 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (1 < 2 β†’ 1 < 𝑁))
2818, 27mpi 20 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 𝑁)
2917, 28sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑁)
30 eluz2nn 12908 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
312, 3znhash 21506 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π΅) = 𝑁)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (β™―β€˜π΅) = 𝑁)
3329, 32breqtrrd 5180 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < (β™―β€˜π΅))
3433adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 1 < (β™―β€˜π΅))
356, 15, 16, 34copisnmnd 47327 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (mulGrpβ€˜π‘‹) βˆ‰ Mnd)
36 df-nel 3044 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜π‘‹) βˆ‰ Mnd ↔ Β¬ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd)
3735, 36sylib 217 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd)
3837intn3an2d 1476 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))(𝑏(+gβ€˜π‘‹)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑏)(+gβ€˜π‘‹)(π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘‹)𝑏)(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)(+gβ€˜π‘‹)(𝑏(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)))))
39 eqid 2728 . . . 4 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘‹)
404eqcomi 2737 . . . . 5 (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩) = 𝑋
4140fveq2i 6905 . . . 4 (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)) = (.rβ€˜π‘‹)
425, 1, 39, 41isring 20191 . . 3 (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))(𝑏(+gβ€˜π‘‹)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑏)(+gβ€˜π‘‹)(π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘‹)𝑏)(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)(+gβ€˜π‘‹)(𝑏(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)))))
4338, 42sylnibr 328 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ Ring)
44 df-nel 3044 . 2 (𝑋 βˆ‰ Ring ↔ Β¬ 𝑋 ∈ Ring)
4543, 44sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 βˆ‰ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ‰ wnel 3043  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  β„cr 11147  1c1 11149   < clt 11288   ≀ cle 11289  β„•cn 12252  2c2 12307  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  β™―chash 14331   sSet csts 17141  ndxcnx 17171  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243  0gc0g 17430  Mndcmnd 18703  Grpcgrp 18904  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  β„€/nβ„€czn 21442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-hash 14332  df-dvds 16241  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-0g 17432  df-imas 17499  df-qus 17500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-nsg 19093  df-eqg 19094  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21158  df-cnfld 21294  df-zring 21387  df-zrh 21443  df-zn 21446
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator