Theorem cznnring 49185

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
cznrng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cznnring	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
2		cznrng.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		cznrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		cznrng.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
5	2, 3, 4	cznrnglem 49182	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑋)
6	1, 5	mgpbas 20284	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
7	4	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
8	2	fvexi 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ V
9	3	fvexi 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9, 9	mpoex 8082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V
11		mulridx 17386	. . . . . . . . . 10 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
12	11	setsid 17305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)))
13	8, 10, 12	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
14	7, 13	mgpplusg 20283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
15	14	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
16		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
17		eluz2 12897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
18		1lt2 12441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
19		1red 11237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
20		2re 12343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
22		zre 12623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23		ltletr 11330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
25	24	expcomd 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁)))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁))))
27	26	3imp 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 → 1 < 𝑁))
28	18, 27	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
29	17, 28	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
30		eluz2nn 12941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
31	2, 3	znhash 21777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘𝐵) = 𝑁)
33	29, 32	breqtrrd 5137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (♯‘𝐵))
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 < (♯‘𝐵))
35	6, 15, 16, 34	copisnmnd 49092	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd)
36		df-nel 3064	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd ↔ ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
37	35, 36	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
38	37	intn3an2d 1511	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))(𝑏(+g‘𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑏)(+g‘𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)(+g‘𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)))))
39		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑋)
40	4	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩) = 𝑋
41	40	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)) = (.r‘𝑋)
42	5, 1, 39, 41	isring 20382	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))(𝑏(+g‘𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑏)(+g‘𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)(+g‘𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)))))
43	38, 42	sylnibr 332	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ Ring)
44		df-nel 3064	. 2 ⊢ (𝑋 ∉ Ring ↔ ¬ 𝑋 ∈ Ring)
45	43, 44	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3063  ∀wral 3078  Vcvv 3453  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  ℝcr 11127  1c1 11129   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  2c2 12323  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ♯chash 14398   sSet csts 17261  ndxcnx 17291  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  0_gc0g 17530  Mndcmnd 18842  Grpcgrp 19063  mulGrpcmgp 20279  Ringcrg 20378  ℤ/nℤczn 21721

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-hash 14399  df-dvds 16349  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-0g 17532  df-imas 17600  df-qus 17601  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-nsg 19253  df-eqg 19254  df-ghm 19347  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-rhm 20619  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-lidl 21401  df-rsp 21402  df-2idl 21458  df-cnfld 21592  df-zring 21666  df-zrh 21722  df-zn 21725

This theorem is used by: (None)