Theorem cznnring 48183

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
cznrng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cznnring	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
2		cznrng.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		cznrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		cznrng.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
5	2, 3, 4	cznrnglem 48180	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑋)
6	1, 5	mgpbas 20143	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
7	4	fveq2i 6908	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
8	2	fvexi 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ V
9	3	fvexi 6919	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9, 9	mpoex 8105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V
11		mulridx 17339	. . . . . . . . . 10 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
12	11	setsid 17245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)))
13	8, 10, 12	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
14	7, 13	mgpplusg 20142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
15	14	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
17		eluz2 12885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
18		1lt2 12438	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
19		1red 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
20		2re 12341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
22		zre 12619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23		ltletr 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
25	24	expcomd 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁)))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁))))
27	26	3imp 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 → 1 < 𝑁))
28	18, 27	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
29	17, 28	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
30		eluz2nn 12925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
31	2, 3	znhash 21578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘𝐵) = 𝑁)
33	29, 32	breqtrrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (♯‘𝐵))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 < (♯‘𝐵))
35	6, 15, 16, 34	copisnmnd 48090	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd)
36		df-nel 3046	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd ↔ ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
37	35, 36	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
38	37	intn3an2d 1481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))(𝑏(+g‘𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑏)(+g‘𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)(+g‘𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)))))
39		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑋)
40	4	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩) = 𝑋
41	40	fveq2i 6908	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)) = (.r‘𝑋)
42	5, 1, 39, 41	isring 20235	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))(𝑏(+g‘𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑏)(+g‘𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)(+g‘𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)))))
43	38, 42	sylnibr 329	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ Ring)
44		df-nel 3046	. 2 ⊢ (𝑋 ∉ Ring ↔ ¬ 𝑋 ∈ Ring)
45	43, 44	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3045  ∀wral 3060  Vcvv 3479  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434  ℝcr 11155  1c1 11157   < clt 11296   ≤ cle 11297  ℕcn 12267  2c2 12322  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ♯chash 14370   sSet csts 17201  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485  Mndcmnd 18748  Grpcgrp 18952  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231  ℤ/nℤczn 21514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-hash 14371  df-dvds 16292  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-2idl 21261  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-zn 21518

This theorem is referenced by: (None)