Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznnring 46340
Description: The ring constructed from a β„€/nβ„€ structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
cznrng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
cznrng.x 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
cznrng.0 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
cznnring ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 βˆ‰ Ring)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘‹) = (mulGrpβ€˜π‘‹)
2 cznrng.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
4 cznrng.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)
52, 3, 4cznrnglem 46337 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘‹)
61, 5mgpbas 19907 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹))
74fveq2i 6846 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘‹) = (mulGrpβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
82fvexi 6857 . . . . . . . . 9 π‘Œ ∈ V
93fvexi 6857 . . . . . . . . . 10 𝐡 ∈ V
109, 9mpoex 8013 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ V
11 mulrid 17180 . . . . . . . . . 10 .r = Slot (.rβ€˜ndx)
1211setsid 17085 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)))
138, 10, 12mp2an 691 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))
147, 13mgpplusg 19905 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹))
1514eqcomi 2742 . . . . . 6 (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘‹)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
16 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
17 eluz2 12774 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁))
18 1lt2 12329 . . . . . . . . . 10 1 < 2
19 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ ℝ)
20 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ ℝ)
22 zre 12508 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
23 ltletr 11252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((1 < 2 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 𝑁))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((1 < 2 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 𝑁))
2524expcomd 418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 ≀ 𝑁 β†’ (1 < 2 β†’ 1 < 𝑁)))
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 ≀ 𝑁 β†’ (1 < 2 β†’ 1 < 𝑁))))
27263imp 1112 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (1 < 2 β†’ 1 < 𝑁))
2818, 27mpi 20 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 < 𝑁)
2917, 28sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑁)
30 eluz2nn 12814 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
312, 3znhash 20981 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π΅) = 𝑁)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (β™―β€˜π΅) = 𝑁)
3329, 32breqtrrd 5134 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < (β™―β€˜π΅))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 1 < (β™―β€˜π΅))
356, 15, 16, 34copisnmnd 46189 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (mulGrpβ€˜π‘‹) βˆ‰ Mnd)
36 df-nel 3047 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜π‘‹) βˆ‰ Mnd ↔ Β¬ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd)
3735, 36sylib 217 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd)
3837intn3an2d 1481 . . 3 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))(𝑏(+gβ€˜π‘‹)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑏)(+gβ€˜π‘‹)(π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘‹)𝑏)(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)(+gβ€˜π‘‹)(𝑏(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)))))
39 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘‹)
404eqcomi 2742 . . . . 5 (π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩) = 𝑋
4140fveq2i 6846 . . . 4 (.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩)) = (.rβ€˜π‘‹)
425, 1, 39, 41isring 19973 . . 3 (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘‹) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))(𝑏(+gβ€˜π‘‹)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑏)(+gβ€˜π‘‹)(π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘‹)𝑏)(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)(+gβ€˜π‘‹)(𝑏(.rβ€˜(π‘Œ sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)⟩))𝑐)))))
4338, 42sylnibr 329 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ Ring)
44 df-nel 3047 . 2 (𝑋 βˆ‰ Ring ↔ Β¬ 𝑋 ∈ Ring)
4543, 44sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 βˆ‰ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  β„cr 11055  1c1 11057   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„•cn 12158  2c2 12213  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β™―chash 14236   sSet csts 17040  ndxcnx 17070  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561  Grpcgrp 18753  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  β„€/nβ„€czn 20919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-hash 14237  df-dvds 16142  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-0g 17328  df-imas 17395  df-qus 17396  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-nsg 18931  df-eqg 18932  df-ghm 19011  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-rnghom 20153  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator