Theorem cznnring 44307

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with 1 < 𝑛 by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
cznrng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cznnring	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznnring

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
2		cznrng.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		cznrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		cznrng.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)
5	2, 3, 4	cznrnglem 44304	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑋)
6	1, 5	mgpbas 19223	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
7	4	fveq2i 6654	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
8	2	fvexi 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ V
9	3	fvexi 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9, 9	mpoex 7758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V
11		mulrid 16594	. . . . . . . . . 10 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
12	11	setsid 16516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)))
13	8, 10, 12	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))
14	7, 13	mgpplusg 19221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
15	14	eqcomi 2829	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
16		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
17		eluz2 12231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
18		1lt2 11790	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
19		1red 10623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
20		2re 11693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
22		zre 11967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
23		ltletr 10713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
25	24	expcomd 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁)))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (1 < 2 → 1 < 𝑁))))
27	26	3imp 1107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 → 1 < 𝑁))
28	18, 27	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
29	17, 28	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
30		eluz2nn 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
31	2, 3	znhash 20683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘𝐵) = 𝑁)
33	29, 32	breqtrrd 5075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (♯‘𝐵))
34	33	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 < (♯‘𝐵))
35	6, 15, 16, 34	copisnmnd 44156	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd)
36		df-nel 3119	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑋) ∉ Mnd ↔ ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
37	35, 36	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd)
38	37	intn3an2d 1476	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))(𝑏(+g‘𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑏)(+g‘𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)(+g‘𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)))))
39		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑋)
40	4	eqcomi 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩) = 𝑋
41	40	fveq2i 6654	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩)) = (.r‘𝑋)
42	5, 1, 39, 41	isring 19279	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Ring ↔ (𝑋 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))(𝑏(+g‘𝑋)𝑐)) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑏)(+g‘𝑋)(𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)) ∧ ((𝑎(+g‘𝑋)𝑏)(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐) = ((𝑎(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)(+g‘𝑋)(𝑏(.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)⟩))𝑐)))))
43	38, 42	sylnibr 331	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 ∈ Ring)
44		df-nel 3119	. 2 ⊢ (𝑋 ∉ Ring ↔ ¬ 𝑋 ∈ Ring)
45	43, 44	sylibr 236	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∉ Ring)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3118  ∀wral 3133  Vcvv 3481  ⟨cop 4554   class class class wbr 5047  ‘cfv 6336  (class class class)co 7137   ∈ cmpo 7139  ℝcr 10517  1c1 10519   < clt 10656   ≤ cle 10657  ℕcn 11619  2c2 11674  ℤcz 11963  ℤ_≥cuz 12225  ♯chash 13675  ndxcnx 16458   sSet csts 16459  Basecbs 16461  +_gcplusg 16543  ._rcmulr 16544  0_gc0g 16691  Mndcmnd 17889  Grpcgrp 18081  mulGrpcmgp 19217  Ringcrg 19275  ℤ/nℤczn 20628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7442  ax-cnex 10574  ax-resscn 10575  ax-1cn 10576  ax-icn 10577  ax-addcl 10578  ax-addrcl 10579  ax-mulcl 10580  ax-mulrcl 10581  ax-mulcom 10582  ax-addass 10583  ax-mulass 10584  ax-distr 10585  ax-i2m1 10586  ax-1ne0 10587  ax-1rid 10588  ax-rnegex 10589  ax-rrecex 10590  ax-cnre 10591  ax-pre-lttri 10592  ax-pre-lttrn 10593  ax-pre-ltadd 10594  ax-pre-mulgt0 10595  ax-pre-sup 10596  ax-addf 10597  ax-mulf 10598

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3012  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7095  df-ov 7140  df-oprab 7141  df-mpo 7142  df-om 7562  df-1st 7670  df-2nd 7671  df-tpos 7873  df-wrecs 7928  df-recs 7989  df-rdg 8027  df-1o 8083  df-oadd 8087  df-er 8270  df-ec 8272  df-qs 8276  df-map 8389  df-en 8491  df-dom 8492  df-sdom 8493  df-fin 8494  df-sup 8887  df-inf 8888  df-card 9349  df-pnf 10658  df-mnf 10659  df-xr 10660  df-ltxr 10661  df-le 10662  df-sub 10853  df-neg 10854  df-div 11279  df-nn 11620  df-2 11682  df-3 11683  df-4 11684  df-5 11685  df-6 11686  df-7 11687  df-8 11688  df-9 11689  df-n0 11880  df-xnn0 11950  df-z 11964  df-dec 12081  df-uz 12226  df-rp 12372  df-fz 12878  df-fzo 13019  df-fl 13147  df-mod 13223  df-seq 13355  df-hash 13676  df-dvds 15588  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-0g 16693  df-imas 16759  df-qus 16760  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-mulg 18203  df-subg 18254  df-nsg 18255  df-eqg 18256  df-ghm 18334  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-cring 19278  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-rnghom 19445  df-subrg 19511  df-lmod 19614  df-lss 19682  df-lsp 19722  df-sra 19922  df-rgmod 19923  df-lidl 19924  df-rsp 19925  df-2idl 19983  df-cnfld 20524  df-zring 20596  df-zrh 20629  df-zn 20632

This theorem is referenced by: (None)