Theorem sge0pnfmpt 42269

Description: If a term in the sum of nonnegative extended reals is +∞, then the value of the sum is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnfmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0pnfmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0pnfmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0pnfmpt.p	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnfmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnfmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnfmpt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0pnfmpt.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		sge0pnfmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2795	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 6744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0pnfmpt.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
7		eqcom 2802	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ ↔ +∞ = 𝐵)
8	7	rexbii 3211	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 +∞ = 𝐵)
9	6, 8	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 +∞ = 𝐵)
10		pnfex 10540	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ V)
12	4, 9, 11	elrnmptd 40980	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13	1, 5, 12	sge0pnfval 42197	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522  Ⅎwnf 1765   ∈ wcel 2081  ∃wrex 3106  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5041  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  +∞cpnf 10518  [,]cicc 12591  Σ^{^}csumge0 42186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-seq 13220  df-sum 14877  df-sumge0 42187

This theorem is referenced by:  voliunsge0lem  42296