Theorem sge0pnfmpt 43983

Description: If a term in the sum of nonnegative extended reals is +∞, then the value of the sum is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnfmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0pnfmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0pnfmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0pnfmpt.p	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnfmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnfmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnfmpt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0pnfmpt.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		sge0pnfmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 6991	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0pnfmpt.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
7		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ ↔ +∞ = 𝐵)
8	7	rexbii 3181	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 +∞ = 𝐵)
9	6, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 +∞ = 𝐵)
10		pnfex 11028	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ V)
12	4, 9, 11	elrnmptd 5870	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13	1, 5, 12	sge0pnfval 43911	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  [,]cicc 13082  Σ^{^}csumge0 43900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sum 15398  df-sumge0 43901

This theorem is referenced by:  voliunsge0lem  44010