Theorem sge0pnfmpt 46436

Description: If a term in the sum of nonnegative extended reals is +∞, then the value of the sum is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnfmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0pnfmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0pnfmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0pnfmpt.p	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnfmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnfmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnfmpt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0pnfmpt.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		sge0pnfmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7071	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0pnfmpt.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
7		eqcom 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ ↔ +∞ = 𝐵)
8	7	rexbii 3076	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 +∞ = 𝐵)
9	6, 8	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 +∞ = 𝐵)
10		pnfex 11203	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ V)
12	4, 9, 11	elrnmptd 5916	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13	1, 5, 12	sge0pnfval 46364	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  [,]cicc 13285  Σ^{^}csumge0 46353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-seq 13943  df-sum 15629  df-sumge0 46354

This theorem is referenced by:  voliunsge0lem  46463