Theorem sge0pnfmpt 46401

Description: If a term in the sum of nonnegative extended reals is +∞, then the value of the sum is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnfmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0pnfmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0pnfmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0pnfmpt.p	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnfmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnfmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnfmpt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0pnfmpt.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		sge0pnfmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7137	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0pnfmpt.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
7		eqcom 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ ↔ +∞ = 𝐵)
8	7	rexbii 3092	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞ ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 +∞ = 𝐵)
9	6, 8	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝐴 +∞ = 𝐵)
10		pnfex 11312	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ V)
12	4, 9, 11	elrnmptd 5977	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13	1, 5, 12	sge0pnfval 46329	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  [,]cicc 13387  Σ^{^}csumge0 46318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-seq 14040  df-sum 15720  df-sumge0 46319

This theorem is referenced by:  voliunsge0lem  46428