Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclcu2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaclcu2 33796
Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclcu2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
Distinct variable group:   𝑆,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 5028 . . 3 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
21adantl 480 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
3 simpl 481 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
4 abid 2706 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴)
5 eleq1a 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → (𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
65ralimi 3073 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
7 r19.23v 3173 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑆) ↔ (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
86, 7sylib 217 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
98imp 405 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝑆)
109adantll 712 . . . . . . 7 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝑆)
114, 10sylan2b 592 . . . . . 6 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}) → 𝑥𝑆)
1211ralrimiva 3136 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥𝑆)
13 nfab1 2894 . . . . . 6 𝑥{𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}
14 nfcv 2892 . . . . . 6 𝑥𝑆
1513, 14dfss3f 3963 . . . . 5 ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥𝑆)
1612, 15sylibr 233 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆)
17 elpw2g 5341 . . . . 5 (𝑆 ran sigAlgebra → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
1817adantr 479 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
1916, 18mpbird 256 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆)
20 nnct 13978 . . . 4 ℕ ≼ ω
21 abrexct 32543 . . . 4 (ℕ ≼ ω → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
2220, 21mp1i 13 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
23 sigaclcu 33793 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
243, 19, 22, 23syl3anc 1368 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
252, 24eqeltrd 2825 1 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wral 3051  wrex 3060  wss 3939  𝒫 cpw 4598   cuni 4903   ciun 4991   class class class wbr 5143  ran crn 5673  ωcom 7868  cdom 8960  cn 12242  sigAlgebracsiga 33784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-siga 33785
This theorem is referenced by:  sigaclfu2  33797  sigaclcu3  33798  measiun  33894
  Copyright terms: Public domain W3C validator