Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclcu2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaclcu2 31661
Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclcu2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
Distinct variable group:   𝑆,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 4918 . . 3 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
21adantl 485 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
3 simpl 486 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
4 abid 2721 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴)
5 eleq1a 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → (𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
65ralimi 3076 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
7 r19.23v 3190 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑆) ↔ (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
86, 7sylib 221 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
98imp 410 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝑆)
109adantll 714 . . . . . . 7 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝑆)
114, 10sylan2b 597 . . . . . 6 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}) → 𝑥𝑆)
1211ralrimiva 3097 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥𝑆)
13 nfab1 2902 . . . . . 6 𝑥{𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}
14 nfcv 2900 . . . . . 6 𝑥𝑆
1513, 14dfss3f 3869 . . . . 5 ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥𝑆)
1612, 15sylibr 237 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆)
17 elpw2g 5213 . . . . 5 (𝑆 ran sigAlgebra → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
1817adantr 484 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
1916, 18mpbird 260 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆)
20 nnct 13443 . . . 4 ℕ ≼ ω
21 abrexct 30629 . . . 4 (ℕ ≼ ω → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
2220, 21mp1i 13 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
23 sigaclcu 31658 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
243, 19, 22, 23syl3anc 1372 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
252, 24eqeltrd 2834 1 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  {cab 2717  wral 3054  wrex 3055  wss 3844  𝒫 cpw 4489   cuni 4797   ciun 4882   class class class wbr 5031  ran crn 5527  ωcom 7602  cdom 8556  cn 11719  sigAlgebracsiga 31649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-card 9444  df-acn 9447  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-siga 31650
This theorem is referenced by:  sigaclfu2  31662  sigaclcu3  31663  measiun  31759
  Copyright terms: Public domain W3C validator