Theorem sigaclcu2 33796

Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on ℕ (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclcu2	⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable group:   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 5028	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
2	1	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
3		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		abid 2706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴)
5		eleq1a 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
6	5	ralimi 3073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
7		r19.23v 3173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
8	6, 7	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
9	8	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
10	9	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
11	4, 10	sylan2b 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}) → 𝑥 ∈ 𝑆)
12	11	ralrimiva 3136	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥 ∈ 𝑆)
13		nfab1 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}
14		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
15	13, 14	dfss3f 3963	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥 ∈ 𝑆)
16	12, 15	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆)
17		elpw2g 5341	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
18	17	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
19	16, 18	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆)
20		nnct 13978	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
21		abrexct 32543	. . . 4 ⊢ (ℕ ≼ ω → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
22	20, 21	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
23		sigaclcu 33793	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω) → ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
24	3, 19, 22, 23	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
25	2, 24	eqeltrd 2825	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4598  ∪ cuni 4903  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5143  ran crn 5673  ωcom 7868   ≼ cdom 8960  ℕcn 12242  sigAlgebracsiga 33784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-siga 33785

This theorem is referenced by:  sigaclfu2  33797  sigaclcu3  33798  measiun  33894