Theorem sigaclcu2 34798

Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on ℕ (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclcu2	⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable group:   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 4987	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
3		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		abid 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴)
5		eleq1a 2855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
6	5	ralimi 3099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
7		r19.23v 3189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
8	6, 7	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
9	8	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
10	9	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
11	4, 10	sylan2b 606	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}) → 𝑥 ∈ 𝑆)
12	11	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥 ∈ 𝑆)
13		nfab1 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}
14		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
15	13, 14	dfss3f 3900	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥 ∈ 𝑆)
16	12, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆)
17		elpw2g 5294	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
19	16, 18	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆)
20		nnct 14127	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
21		abrexct 23778	. . . 4 ⊢ (ℕ ≼ ω → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
22	20, 21	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
23		sigaclcu 34795	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω) → ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
24	3, 19, 22, 23	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
25	2, 24	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ωcom 7877   ≼ cdom 8974  ℕcn 12338  sigAlgebracsiga 34786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-card 10023  df-acn 10026  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-siga 34787

This theorem is used by:  sigaclfu2  34799  sigaclcu3  34800  measiun  34897  boolesineq  35133