Theorem sigaclcu2 34121

Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on ℕ (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaclcu2	⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable group:   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 5030	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		abid 2718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴)
5		eleq1a 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
6	5	ralimi 3083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
7		r19.23v 3183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
8	6, 7	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑆))
9	8	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
10	9	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
11	4, 10	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}) → 𝑥 ∈ 𝑆)
12	11	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥 ∈ 𝑆)
13		nfab1 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}
14		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑆
15	13, 14	dfss3f 3975	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥 ∈ 𝑆)
16	12, 15	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆)
17		elpw2g 5333	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
19	16, 18	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆)
20		nnct 14022	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
21		abrexct 32728	. . . 4 ⊢ (ℕ ≼ ω → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
22	20, 21	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
23		sigaclcu 34118	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω) → ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
24	3, 19, 22, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
25	2, 24	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4907  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5143  ran crn 5686  ωcom 7887   ≼ cdom 8983  ℕcn 12266  sigAlgebracsiga 34109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-siga 34110

This theorem is referenced by:  sigaclfu2  34122  sigaclcu3  34123  measiun  34219  boolesineq  34457