Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclcu2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaclcu2 34101
Description: A sigma-algebra is closed under countable union - indexing on (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
sigaclcu2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
Distinct variable group:   𝑆,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 5035 . . 3 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
21adantl 481 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴})
3 simpl 482 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
4 abid 2716 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴)
5 eleq1a 2834 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → (𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
65ralimi 3081 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
7 r19.23v 3181 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑥 = 𝐴𝑥𝑆) ↔ (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
86, 7sylib 218 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴𝑥𝑆))
98imp 406 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆 ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝑆)
109adantll 714 . . . . . . 7 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) ∧ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝑆)
114, 10sylan2b 594 . . . . . 6 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}) → 𝑥𝑆)
1211ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥𝑆)
13 nfab1 2905 . . . . . 6 𝑥{𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}
14 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥𝑆
1513, 14dfss3f 3987 . . . . 5 ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴}𝑥𝑆)
1612, 15sylibr 234 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆)
17 elpw2g 5339 . . . . 5 (𝑆 ran sigAlgebra → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
1817adantr 480 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → ({𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ⊆ 𝑆))
1916, 18mpbird 257 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆)
20 nnct 14019 . . . 4 ℕ ≼ ω
21 abrexct 32734 . . . 4 (ℕ ≼ ω → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
2220, 21mp1i 13 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω)
23 sigaclcu 34098 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ≼ ω) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
243, 19, 22, 23syl3anc 1370 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = 𝐴} ∈ 𝑆)
252, 24eqeltrd 2839 1 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   ciun 4996   class class class wbr 5148  ran crn 5690  ωcom 7887  cdom 8982  cn 12264  sigAlgebracsiga 34089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-siga 34090
This theorem is referenced by:  sigaclfu2  34102  sigaclcu3  34103  measiun  34199
  Copyright terms: Public domain W3C validator