Theorem slotsdifipndx 17499

Description: The slot for the scalar is not the index of other slots. Formerly part of proof for srasca 21448 and sravsca 21449. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifipndx	⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifipndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 12426	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
2		6lt8 12531	. . . 4 ⊢ 6 < 8
3	1, 2	ltneii 11416	. . 3 ⊢ 6 ≠ 8
4		vscandx 17483	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
5		ipndx 17494	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
6	4, 5	neeq12i 3022	. . 3 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 6 ≠ 8)
7	3, 6	mpbir 234	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
8		5re 12423	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
9		5lt8 12532	. . . 4 ⊢ 5 < 8
10	8, 9	ltneii 11416	. . 3 ⊢ 5 ≠ 8
11		scandx 17478	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12	11, 5	neeq12i 3022	. . 3 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 5 ≠ 8)
13	10, 12	mpbir 234	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
14	7, 13	pm3.2i 476	1 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ≠ wne 2956  ‘cfv 6537  5c5 12393  6c6 12394  8c8 12396  ndxcnx 17364  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  ·_𝑖cip 17426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439

This theorem is used by:  srasca  21448  sravsca  21449