Theorem ipsstr 17427

Description: Lemma to shorten proofs of ipsbase 17428 through ipsvsca 17432. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ipspart.a	⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})

Assertion

Ref	Expression
ipsstr	⊢ 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩

Proof of Theorem ipsstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
3	2	rngstr 17389	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
4		5nn 12355	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		scandx 17405	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6		5lt6 12452	. . . 4 ⊢ 5 < 6
7		6nn 12358	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
8		vscandx 17410	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
9		6lt8 12464	. . . 4 ⊢ 6 < 8
10		8nn 12364	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		ipndx 17421	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	strle3 17258	. . 3 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩
13		3lt5 12449	. . 3 ⊢ 3 < 5
14	3, 12, 13	strleun 17255	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}) Struct ⟨1, 8⟩
15	1, 14	eqbrtri 5130	1 ⊢ 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∪ cun 3900  {ctp 4591  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  1c1 11129  3c3 12324  5c5 12326  6c6 12327  8c8 12329   Struct cstr 17244  ndxcnx 17291  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  ·_𝑖cip 17353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366

This theorem is used by:  ipsbase  17428  ipsaddg  17429  ipsmulr  17430  ipssca  17431  ipsvsca  17432  ipsip  17433  imasvalstr  17542