Theorem ipsstr 17258

Description: Lemma to shorten proofs of ipsbase 17259 through ipsvsca 17263. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ipspart.a	⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})

Assertion

Ref	Expression
ipsstr	⊢ 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩

Proof of Theorem ipsstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩})
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
3	2	rngstr 17220	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
4		5nn 12232	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
5		scandx 17236	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6		5lt6 12322	. . . 4 ⊢ 5 < 6
7		6nn 12235	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
8		vscandx 17241	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
9		6lt8 12334	. . . 4 ⊢ 6 < 8
10		8nn 12241	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
11		ipndx 17252	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	strle3 17089	. . 3 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨5, 8⟩
13		3lt5 12319	. . 3 ⊢ 3 < 5
14	3, 12, 13	strleun 17086	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), 𝐼⟩}) Struct ⟨1, 8⟩
15	1, 14	eqbrtri 5116	1 ⊢ 𝐴 Struct ⟨1, 8⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∪ cun 3903  {ctp 4583  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  1c1 11029  3c3 12202  5c5 12204  6c6 12205  8c8 12207   Struct cstr 17075  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  ·_𝑖cip 17184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197

This theorem is referenced by:  ipsbase  17259  ipsaddg  17260  ipsmulr  17261  ipssca  17262  ipsvsca  17263  ipsip  17264  imasvalstr  17373