MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smu02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smu02 16461
Description: Multiplication of a sequence by 0 on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
smu02 (𝐴 ⊆ ℕ0 → (∅ smul 𝐴) = ∅)

Proof of Theorem smu02
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4397 . . 3 ∅ ⊆ ℕ0
21a1i 11 . 2 (𝐴 ⊆ ℕ0 → ∅ ⊆ ℕ0)
3 id 22 . 2 (𝐴 ⊆ ℕ0𝐴 ⊆ ℕ0)
4 noel 4331 . . . 4 ¬ 𝑘 ∈ ∅
54intnanr 487 . . 3 ¬ (𝑘 ∈ ∅ ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐴)
65a1i 11 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ¬ (𝑘 ∈ ∅ ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐴))
72, 3, 6smu01lem 16459 1 (𝐴 ⊆ ℕ0 → (∅ smul 𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  c0 4323  (class class class)co 7420  cmin 11474  0cn0 12502   smul csmu 16395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-had 1588  df-cad 1601  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-sad 16425  df-smu 16450
This theorem is referenced by:  smumullem  16466
  Copyright terms: Public domain W3C validator