Theorem pellexlem1 41649

Description: Lemma for pellex 41655. Arithmetical core of pellexlem3, norm lower bound. This begins Dirichlet's proof of the Pell equation solution existence; the proof here follows theorem 62 of [vandenDries] p. 43. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellexlem1	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) ≠ 0)

Proof of Theorem pellexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	sqcld 14111	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4		nncn 12222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
6		nncn 12222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
9	5, 8	mulcld 11236	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
10	3, 9	subeq0ad 11583	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝐴↑2) = (𝐷 · (𝐵↑2))))
11		nnne0 12248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
12	11	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
13		sqne0 14090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
14	7, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
15	12, 14	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ≠ 0)
16	3, 5, 8, 15	divmul3d 12026	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 ↔ (𝐴↑2) = (𝐷 · (𝐵↑2))))
17		sqdiv 14088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
18	17	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (√‘((𝐴 / 𝐵)↑2)) = (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))))
19	2, 7, 12, 18	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴 / 𝐵)↑2)) = (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))))
20		nnre 12221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		nnre 12221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
23	22	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	21, 23, 12	redivcld 12044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
25		nnnn0 12481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
26	25	nn0ge0d 12537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐴)
27	26	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
28		nngt0 12245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
30		divge0 12085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
31	21, 27, 23, 29, 30	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
32	24, 31	sqrtsqd 15368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴 / 𝐵)↑2)) = (𝐴 / 𝐵))
33	19, 32	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
34		nnq 12948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)
35	34	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
36		nnq 12948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℚ)
37	36	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℚ)
38		qdivcl 12956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
39	35, 37, 12, 38	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
40	33, 39	eqeltrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∈ ℚ)
41		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (√‘𝐷))
42	41	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∈ ℚ ↔ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
43	40, 42	syl5ibcom 244	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 → (√‘𝐷) ∈ ℚ))
44	16, 43	sylbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) = (𝐷 · (𝐵↑2)) → (√‘𝐷) ∈ ℚ))
45	10, 44	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 0 → (√‘𝐷) ∈ ℚ))
46	45	necon3bd 2954	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) ≠ 0))
47	46	imp 407	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   < clt 11250   ≤ cle 11251   − cmin 11446   / cdiv 11873  ℕcn 12214  2c2 12269  ℚcq 12934  ↑cexp 14029  √csqrt 15182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184

This theorem is referenced by:  pellexlem3  41651