Theorem pellexlem1 42811

Description: Lemma for pellex 42817. Arithmetical core of pellexlem3, norm lower bound. This begins Dirichlet's proof of the Pell equation solution existence; the proof here follows theorem 62 of [vandenDries] p. 43. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellexlem1	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) ≠ 0)

Proof of Theorem pellexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12172	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	sqcld 14087	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4		nncn 12172	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
6		nncn 12172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
9	5, 8	mulcld 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
10	3, 9	subeq0ad 11521	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝐴↑2) = (𝐷 · (𝐵↑2))))
11		nnne0 12198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
12	11	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
13		sqne0 14066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
14	7, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
15	12, 14	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ≠ 0)
16	3, 5, 8, 15	divmul3d 11970	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 ↔ (𝐴↑2) = (𝐷 · (𝐵↑2))))
17		sqdiv 14064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
18	17	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (√‘((𝐴 / 𝐵)↑2)) = (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))))
19	2, 7, 12, 18	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴 / 𝐵)↑2)) = (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))))
20		nnre 12171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		nnre 12171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
23	22	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	21, 23, 12	redivcld 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
25		nnnn0 12427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
26	25	nn0ge0d 12484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐴)
27	26	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
28		nngt0 12195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
30		divge0 12030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
31	21, 27, 23, 29, 30	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
32	24, 31	sqrtsqd 15363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴 / 𝐵)↑2)) = (𝐴 / 𝐵))
33	19, 32	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
34		nnq 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)
35	34	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
36		nnq 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℚ)
37	36	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℚ)
38		qdivcl 12907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
39	35, 37, 12, 38	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
40	33, 39	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∈ ℚ)
41		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (√‘𝐷))
42	41	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∈ ℚ ↔ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
43	40, 42	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 → (√‘𝐷) ∈ ℚ))
44	16, 43	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) = (𝐷 · (𝐵↑2)) → (√‘𝐷) ∈ ℚ))
45	10, 44	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 0 → (√‘𝐷) ∈ ℚ))
46	45	necon3bd 2939	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) ≠ 0))
47	46	imp 406	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  ℝcr 11045  0cc0 11046   · cmul 11051   < clt 11186   ≤ cle 11187   − cmin 11383   / cdiv 11813  ℕcn 12164  2c2 12219  ℚcq 12885  ↑cexp 14004  √csqrt 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-seq 13945  df-exp 14005  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178

This theorem is referenced by:  pellexlem3  42813