Theorem pellexlem1 44027

Description: Lemma for pellex 44033. Arithmetical core of pellexlem3, norm lower bound. This begins Dirichlet's proof of the Pell equation solution existence; the proof here follows theorem 62 of [vandenDries] p. 43. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellexlem1	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) ≠ 0)

Proof of Theorem pellexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	sqcld 14311	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4		nncn 12367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
6		nncn 12367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	sqcld 14311	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
9	5, 8	mulcld 11353	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
10	3, 9	subeq0ad 11701	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝐴↑2) = (𝐷 · (𝐵↑2))))
11		nnne0 12396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
12	11	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
13		sqne0 14290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
14	7, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
15	12, 14	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ≠ 0)
16	3, 5, 8, 15	divmul3d 12151	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 ↔ (𝐴↑2) = (𝐷 · (𝐵↑2))))
17		sqdiv 14288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
18	17	fveq2d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (√‘((𝐴 / 𝐵)↑2)) = (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))))
19	2, 7, 12, 18	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴 / 𝐵)↑2)) = (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))))
20		nnre 12366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
22		nnre 12366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
23	22	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	21, 23, 12	redivcld 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
25		nnnn0 12637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
26	25	nn0ge0d 12694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐴)
27	26	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
28		nngt0 12393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
29	28	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
30		divge0 12210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
31	21, 27, 23, 29, 30	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
32	24, 31	sqrtsqd 15613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴 / 𝐵)↑2)) = (𝐴 / 𝐵))
33	19, 32	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
34		nnq 13113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)
35	34	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
36		nnq 13113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℚ)
37	36	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℚ)
38		qdivcl 13122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
39	35, 37, 12, 38	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
40	33, 39	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∈ ℚ)
41		fveq2 6905	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (√‘𝐷))
42	41	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∈ ℚ ↔ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
43	40, 42	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 𝐷 → (√‘𝐷) ∈ ℚ))
44	16, 43	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) = (𝐷 · (𝐵↑2)) → (√‘𝐷) ∈ ℚ))
45	10, 44	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 0 → (√‘𝐷) ∈ ℚ))
46	45	necon3bd 2973	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) ≠ 0))
47	46	imp 412	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224   · cmul 11229   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565   / cdiv 11997  ℕcn 12359  2c2 12421  ℚcq 13099  ↑cexp 14228  √csqrt 15426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428

This theorem is used by:  pellexlem3  44029