Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellexlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellexlem1 41567
Description: Lemma for pellex 41573. Arithmetical core of pellexlem3, norm lower bound. This begins Dirichlet's proof of the Pell equation solution existence; the proof here follows theorem 62 of [vandenDries] p. 43. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellexlem1 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) โ‰  0)

Proof of Theorem pellexlem1
StepHypRef Expression
1 nncn 12220 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
213ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32sqcld 14109 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4 nncn 12220 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
543ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6 nncn 12220 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
763ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87sqcld 14109 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
95, 8mulcld 11234 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
103, 9subeq0ad 11581 . . . 4 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 0 โ†” (๐ดโ†‘2) = (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
11 nnne0 12246 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
12113ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โ‰  0)
13 sqne0 14088 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ต โ‰  0))
147, 13syl 17 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ตโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ต โ‰  0))
1512, 14mpbird 257 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰  0)
163, 5, 8, 15divmul3d 12024 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) = ๐ท โ†” (๐ดโ†‘2) = (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
17 sqdiv 14086 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด / ๐ต)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)))
1817fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด / ๐ต)โ†‘2)) = (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))))
192, 7, 12, 18syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด / ๐ต)โ†‘2)) = (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))))
20 nnre 12219 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21203ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
22 nnre 12219 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
23223ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2421, 23, 12redivcld 12042 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
25 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
2625nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
27263ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
28 nngt0 12243 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ต)
29283ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ต)
30 divge0 12083 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
3121, 27, 23, 29, 30syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
3224, 31sqrtsqd 15366 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ด / ๐ต)โ†‘2)) = (๐ด / ๐ต))
3319, 32eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))) = (๐ด / ๐ต))
34 nnq 12946 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
35343ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
36 nnq 12946 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
37363ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
38 qdivcl 12954 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š)
3935, 37, 12, 38syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š)
4033, 39eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„š)
41 fveq2 6892 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) = ๐ท โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))) = (โˆšโ€˜๐ท))
4241eleq1d 2819 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) = ๐ท โ†’ ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„š โ†” (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
4340, 42syl5ibcom 244 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) = ๐ท โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
4416, 43sylbird 260 . . . 4 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) = (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
4510, 44sylbid 239 . . 3 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 0 โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
4645necon3bd 2955 . 2 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) โ‰  0))
4746imp 408 1 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„šcq 12932  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182
This theorem is referenced by:  pellexlem3  41569
  Copyright terms: Public domain W3C validator