Theorem srgbinomlem1 20278

Description: Lemma 1 for srgbinomlem 20282. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem srgbinomlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ SRing)
3		srgbinom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
4		srgbinom.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	mgpbas 20193	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
6		srgbinom.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7	3	srgmgp 20243	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
10		simprl 780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
11		srgbinomlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
12	11	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
13	5, 6, 9, 10, 12	mulgnn0cld 19139	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐷 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
14		simprr 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐸 ∈ ℕ0)
15		srgbinomlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
16	15	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
17	5, 6, 9, 14, 16	mulgnn0cld 19139	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐸 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
18		srgbinom.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
19	4, 18	srgcl 20245	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐷 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐸 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
20	2, 13, 17, 19	syl3anc 1392	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℕ₀cn0 12483  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  ._rcmulr 17289  Mndcmnd 18770  ._gcmg 19111  mulGrpcmgp 20188  SRingcsrg 20238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-seq 14017  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mulg 19112  df-mgp 20189  df-srg 20239

This theorem is referenced by:  srgbinomlem2  20279  srgbinomlem3  20280