Theorem srgbinomlem1 20135

Description: Lemma 1 for srgbinomlem 20139. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem srgbinomlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ SRing)
3		srgbinom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
4		srgbinom.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	mgpbas 20054	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
6		srgbinom.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7	3	srgmgp 20100	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
10		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
11		srgbinomlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
13	5, 6, 9, 10, 12	mulgnn0cld 19027	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐷 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
14		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐸 ∈ ℕ0)
15		srgbinomlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
17	5, 6, 9, 14, 16	mulgnn0cld 19027	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐸 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
18		srgbinom.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
19	4, 18	srgcl 20102	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐷 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐸 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
20	2, 13, 17, 19	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Mndcmnd 18661  ._gcmg 18999  mulGrpcmgp 20049  SRingcsrg 20095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mulg 19000  df-mgp 20050  df-srg 20096

This theorem is referenced by:  srgbinomlem2  20136  srgbinomlem3  20137