Theorem srgbinomlem2 19283

Description: Lemma 2 for srgbinomlem 19286. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐶 · ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem srgbinomlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgmnd 19251	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
4	3	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Mnd)
5		simpr1 1189	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
6		srgbinom.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
7		srgbinom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
8		srgbinom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
9		srgbinom.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
10		srgbinom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
11		srgbinom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
12		srgbinomlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
13		srgbinomlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
14		srgbinomlem.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
15		srgbinomlem.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15	srgbinomlem1 19282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
17	16	3adantr1 1164	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
18	6, 8	mulgnn0cl 18236	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆) → (𝐶 · ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)
19	4, 5, 17, 18	syl3anc 1366	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐶 · ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵))) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℕ₀cn0 11889  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  Mndcmnd 17903  ._gcmg 18216  mulGrpcmgp 19231  SRingcsrg 19247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-seq 13362  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mulg 18217  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-srg 19248

This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  19284  srgbinomlem4  19285