Theorem linevalexample 48262

Description: The polynomial 𝑥 − 3 over ℤ evaluated for 𝑥 = 5 results in 2. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linevalexample.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘ℤring)
linevalexample.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
linevalexample.x	⊢ 𝑋 = (var1‘ℤring)
linevalexample.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
linevalexample.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
linevalexample.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘3))
linevalexample.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
linevalexample	⊢ ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘3)))‘5) = 2

Proof of Theorem linevalexample

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringcrng 21483	. . 3 ⊢ ℤring ∈ CRing
2		linevalexample.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘ℤring)
3		linevalexample.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		zringbas 21488	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
5		linevalexample.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘ℤring)
6		linevalexample.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
7		linevalexample.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑋 − (𝐴‘3)) = (𝑋 − (𝐴‘3))
9		3z 12654	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ CRing → 3 ∈ ℤ)
11		linevalexample.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘ℤring)
12		id 22	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ CRing → ℤring ∈ CRing)
13		5nn0 12550	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	13	nn0zi 12646	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ CRing → 5 ∈ ℤ)
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15	lineval 48261	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ CRing → ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘3)))‘5) = (5(-g‘ℤring)3))
17	1, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘3)))‘5) = (5(-g‘ℤring)3)
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
19	18	zringsubgval 21505	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (5 − 3) = (5(-g‘ℤring)3))
20	14, 9, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ (5 − 3) = (5(-g‘ℤring)3)
21		5cn 12358	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
22		3cn 12351	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		2cn 12345	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		3p2e5 12421	. . 3 ⊢ (3 + 2) = 5
25	21, 22, 23, 24	subaddrii 11602	. 2 ⊢ (5 − 3) = 2
26	17, 20, 25	3eqtr2i 2770	1 ⊢ ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘3)))‘5) = 2

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435   − cmin 11496  2c2 12325  3c3 12326  5c5 12328  ℤcz 12617  Basecbs 17251  -_gcsg 18972  CRingccrg 20258  ℤ_ringczring 21481  algSccascl 21896  var₁cv1 22199  Poly₁cpl1 22200  eval₁ce1 22340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-addf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-se 5643  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-of 7701  df-ofr 7702  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-supp 8191  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-2o 8512  df-er 8750  df-map 8873  df-pm 8874  df-ixp 8943  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-fsupp 9406  df-sup 9486  df-oi 9554  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-4 12335  df-5 12336  df-6 12337  df-7 12338  df-8 12339  df-9 12340  df-n0 12531  df-z 12618  df-dec 12738  df-uz 12883  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-seq 14046  df-hash 14373  df-struct 17187  df-sets 17204  df-slot 17222  df-ndx 17234  df-base 17252  df-ress 17281  df-plusg 17317  df-mulr 17318  df-starv 17319  df-sca 17320  df-vsca 17321  df-ip 17322  df-tset 17323  df-ple 17324  df-ds 17326  df-unif 17327  df-hom 17328  df-cco 17329  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-mhm 18815  df-submnd 18816  df-grp 18973  df-minusg 18974  df-sbg 18975  df-mulg 19105  df-subg 19160  df-ghm 19250  df-cntz 19354  df-cmn 19821  df-abl 19822  df-mgp 20159  df-rng 20177  df-ur 20206  df-srg 20211  df-ring 20259  df-cring 20260  df-rhm 20495  df-subrng 20569  df-subrg 20593  df-lmod 20883  df-lss 20954  df-lsp 20994  df-cnfld 21389  df-zring 21482  df-assa 21897  df-asp 21898  df-ascl 21899  df-psr 21953  df-mvr 21954  df-mpl 21955  df-opsr 21957  df-evls 22122  df-evl 22123  df-psr1 22203  df-vr1 22204  df-ply1 22205  df-evl1 22342

This theorem is referenced by: (None)