Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linevalexample Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linevalexample 48042
Description: The polynomial 𝑥 − 3 over evaluated for 𝑥 = 5 results in 2. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linevalexample.p 𝑃 = (Poly1‘ℤring)
linevalexample.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
linevalexample.x 𝑋 = (var1‘ℤring)
linevalexample.m = (-g𝑃)
linevalexample.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
linevalexample.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴‘3))
linevalexample.o 𝑂 = (eval1‘ℤring)
Assertion
Ref Expression
linevalexample ((𝑂‘(𝑋 (𝐴‘3)))‘5) = 2

Proof of Theorem linevalexample
StepHypRef Expression
1 zringcrng 21477 . . 3 ring ∈ CRing
2 linevalexample.p . . . 4 𝑃 = (Poly1‘ℤring)
3 linevalexample.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 zringbas 21482 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
5 linevalexample.x . . . 4 𝑋 = (var1‘ℤring)
6 linevalexample.m . . . 4 = (-g𝑃)
7 linevalexample.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8 eqid 2734 . . . 4 (𝑋 (𝐴‘3)) = (𝑋 (𝐴‘3))
9 3z 12672 . . . . 5 3 ∈ ℤ
109a1i 11 . . . 4 (ℤring ∈ CRing → 3 ∈ ℤ)
11 linevalexample.o . . . 4 𝑂 = (eval1‘ℤring)
12 id 22 . . . 4 (ℤring ∈ CRing → ℤring ∈ CRing)
13 5nn0 12569 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
1413nn0zi 12664 . . . . 5 5 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . 4 (ℤring ∈ CRing → 5 ∈ ℤ)
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15lineval 48041 . . 3 (ℤring ∈ CRing → ((𝑂‘(𝑋 (𝐴‘3)))‘5) = (5(-g‘ℤring)3))
171, 16ax-mp 5 . 2 ((𝑂‘(𝑋 (𝐴‘3)))‘5) = (5(-g‘ℤring)3)
18 eqid 2734 . . . 4 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
1918zringsubgval 21499 . . 3 ((5 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (5 − 3) = (5(-g‘ℤring)3))
2014, 9, 19mp2an 691 . 2 (5 − 3) = (5(-g‘ℤring)3)
21 5cn 12377 . . 3 5 ∈ ℂ
22 3cn 12370 . . 3 3 ∈ ℂ
23 2cn 12364 . . 3 2 ∈ ℂ
24 3p2e5 12440 . . 3 (3 + 2) = 5
2521, 22, 23, 24subaddrii 11621 . 2 (5 − 3) = 2
2617, 20, 253eqtr2i 2768 1 ((𝑂‘(𝑋 (𝐴‘3)))‘5) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2103  cfv 6572  (class class class)co 7445  cmin 11516  2c2 12344  3c3 12345  5c5 12347  cz 12635  Basecbs 17253  -gcsg 18970  CRingccrg 20256  ringczring 21475  algSccascl 21890  var1cv1 22191  Poly1cpl1 22192  eval1ce1 22332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-addf 11259
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-ofr 7711  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-sup 9507  df-oi 9575  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-seq 14049  df-hash 14376  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-submnd 18814  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-mulg 19103  df-subg 19158  df-ghm 19248  df-cntz 19352  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-srg 20209  df-ring 20257  df-cring 20258  df-rhm 20493  df-subrng 20567  df-subrg 20592  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22195  df-vr1 22196  df-ply1 22197  df-evl1 22334
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator