Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linevalexample Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linevalexample 46550
Description: The polynomial π‘₯ βˆ’ 3 over β„€ evaluated for π‘₯ = 5 results in 2. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linevalexample.p 𝑃 = (Poly1β€˜β„€ring)
linevalexample.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
linevalexample.x 𝑋 = (var1β€˜β„€ring)
linevalexample.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
linevalexample.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
linevalexample.g 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜3))
linevalexample.o 𝑂 = (eval1β€˜β„€ring)
Assertion
Ref Expression
linevalexample ((π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜3)))β€˜5) = 2

Proof of Theorem linevalexample
StepHypRef Expression
1 zringcrng 20887 . . 3 β„€ring ∈ CRing
2 linevalexample.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜β„€ring)
3 linevalexample.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 zringbas 20891 . . . 4 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
5 linevalexample.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜β„€ring)
6 linevalexample.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
7 linevalexample.a . . . 4 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
8 eqid 2737 . . . 4 (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜3)) = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜3))
9 3z 12543 . . . . 5 3 ∈ β„€
109a1i 11 . . . 4 (β„€ring ∈ CRing β†’ 3 ∈ β„€)
11 linevalexample.o . . . 4 𝑂 = (eval1β€˜β„€ring)
12 id 22 . . . 4 (β„€ring ∈ CRing β†’ β„€ring ∈ CRing)
13 5nn0 12440 . . . . . 6 5 ∈ β„•0
1413nn0zi 12535 . . . . 5 5 ∈ β„€
1514a1i 11 . . . 4 (β„€ring ∈ CRing β†’ 5 ∈ β„€)
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15lineval 46549 . . 3 (β„€ring ∈ CRing β†’ ((π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜3)))β€˜5) = (5(-gβ€˜β„€ring)3))
171, 16ax-mp 5 . 2 ((π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜3)))β€˜5) = (5(-gβ€˜β„€ring)3)
18 eqid 2737 . . . 4 (-gβ€˜β„€ring) = (-gβ€˜β„€ring)
1918zringsubgval 20907 . . 3 ((5 ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€) β†’ (5 βˆ’ 3) = (5(-gβ€˜β„€ring)3))
2014, 9, 19mp2an 691 . 2 (5 βˆ’ 3) = (5(-gβ€˜β„€ring)3)
21 5cn 12248 . . 3 5 ∈ β„‚
22 3cn 12241 . . 3 3 ∈ β„‚
23 2cn 12235 . . 3 2 ∈ β„‚
24 3p2e5 12311 . . 3 (3 + 2) = 5
2521, 22, 23, 24subaddrii 11497 . 2 (5 βˆ’ 3) = 2
2617, 20, 253eqtr2i 2771 1 ((π‘‚β€˜(𝑋 βˆ’ (π΄β€˜3)))β€˜5) = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   βˆ’ cmin 11392  2c2 12215  3c3 12216  5c5 12218  β„€cz 12506  Basecbs 17090  -gcsg 18757  CRingccrg 19972  β„€ringczring 20885  algSccascl 21274  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564  eval1ce1 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-evl1 21698
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator