Theorem fib5 32372

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12119	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6777	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12056	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 32368	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12058	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 10929	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12054	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12118	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11167	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11310	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6777	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 32370	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 32371	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7287	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12048	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12124	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11167	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2770	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2768	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  Fibcicfib 32363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-s2 14561  df-sseq 32351  df-fib 32364

This theorem is referenced by:  fib6  32373