Theorem fib5 33399

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12357	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12294	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 33395	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12296	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11167	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12292	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12356	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11405	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11548	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 33397	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 33398	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7420	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12362	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11405	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2764	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2762	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112   − cmin 11443  ℕcn 12211  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  Fibcicfib 33390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-s2 14798  df-sseq 33378  df-fib 33391

This theorem is referenced by:  fib6  33400