Theorem fib5 34387

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12410	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6910	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12347	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 34383	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12349	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12409	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11451	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11596	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6910	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 34385	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 34386	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12415	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11451	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2767	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2765	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490  ℕcn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  Fibcicfib 34378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-s2 14884  df-sseq 34366  df-fib 34379

This theorem is referenced by:  fib6  34388