Theorem fib5 32038

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 11941	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6698	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 11878	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 32034	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 11880	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 10752	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 11876	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 11940	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 10989	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11132	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6698	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 32036	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 32037	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7203	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 11870	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 11946	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 10989	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2763	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2761	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  1c1 10695   + caddc 10697   − cmin 11027  ℕcn 11795  2c2 11850  3c3 11851  4c4 11852  5c5 11853  Fibcicfib 32029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-n0 12056  df-xnn0 12128  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-hash 13862  df-word 14035  df-lsw 14083  df-concat 14091  df-s1 14118  df-substr 14171  df-pfx 14201  df-s2 14378  df-sseq 32017  df-fib 32030

This theorem is referenced by:  fib6  32039