Theorem fib5 33342

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12354	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12291	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 33338	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12293	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12289	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11402	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11545	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6891	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 33340	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 33341	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7416	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12283	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12359	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11402	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2765	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2763	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  5c5 12266  Fibcicfib 33333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-s2 14795  df-sseq 33321  df-fib 33334

This theorem is referenced by:  fib6  33343