Theorem fib5 34403

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12334	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6864	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12276	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 34399	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12278	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12274	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12333	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11373	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11518	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6864	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 34401	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 34402	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7402	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12268	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12339	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11373	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2757	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2755	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  Fibcicfib 34394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-s2 14821  df-sseq 34382  df-fib 34395

This theorem is referenced by:  fib6  34404