Theorem fib5 34407

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12412	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12349	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 34403	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12351	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11213	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12411	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11453	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11598	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6909	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 34405	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 34406	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12341	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12417	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11453	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2769	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2767	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  Fibcicfib 34398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-s2 14887  df-sseq 34386  df-fib 34399

This theorem is referenced by:  fib6  34408