Theorem fib5 35148

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12528	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6919	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12466	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 35144	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12468	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12464	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12527	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11541	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11686	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6919	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 35146	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 35147	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7463	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12458	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12533	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11541	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2790	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2788	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242   − cmin 11580  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  Fibcicfib 35139

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-word 14700  df-lsw 14749  df-concat 14757  df-s1 14784  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-s2 15041  df-sseq 35127  df-fib 35140

This theorem is used by:  fib6  35149