Theorem fib5 34442

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12391	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12328	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 34438	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12330	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11192	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12326	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12390	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11432	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11577	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 34440	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 34441	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7422	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12320	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12396	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11432	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2763	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2761	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11135   + caddc 11137   − cmin 11471  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  Fibcicfib 34433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-word 14537  df-lsw 14586  df-concat 14594  df-s1 14619  df-substr 14664  df-pfx 14694  df-s2 14872  df-sseq 34421  df-fib 34434

This theorem is referenced by:  fib6  34443