Theorem fib5 33896

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12356	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12293	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 33892	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12295	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11165	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12291	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12355	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11404	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11547	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 33894	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 33895	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7414	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12285	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12361	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11404	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2756	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2754	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  1c1 11108   + caddc 11110   − cmin 11442  ℕcn 12210  2c2 12265  3c3 12266  4c4 12267  5c5 12268  Fibcicfib 33887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-n0 12471  df-xnn0 12543  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-word 14463  df-lsw 14511  df-concat 14519  df-s1 14544  df-substr 14589  df-pfx 14619  df-s2 14797  df-sseq 33875  df-fib 33888

This theorem is referenced by:  fib6  33897