Theorem fib5 30984

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 11466	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6414	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 11397	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 30980	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 11399	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 10282	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 11394	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 11465	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 10518	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 10662	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6414	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 30982	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 30983	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 6890	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 11388	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 11471	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 10518	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2825	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2823	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  1c1 10225   + caddc 10227   − cmin 10556  ℕcn 11312  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  Fibcicfib 30975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-word 13535  df-lsw 13583  df-concat 13591  df-s1 13616  df-substr 13665  df-pfx 13714  df-s2 13933  df-sseq 30962  df-fib 30976

This theorem is referenced by:  fib6  30985