Theorem fib5 34707

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12374	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6874	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12312	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 34703	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12314	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11146	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12310	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12373	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11390	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11535	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6874	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 34705	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 34706	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7412	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12304	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12379	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11390	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2792	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2790	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089   + caddc 11091   − cmin 11429  ℕcn 12221  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  5c5 12286  Fibcicfib 34698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-word 14539  df-lsw 14588  df-concat 14596  df-s1 14622  df-substr 14667  df-pfx 14697  df-s2 14873  df-sseq 34686  df-fib 34699

This theorem is referenced by:  fib6  34708