Theorem fib5 30807

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 11356	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6335	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 11389	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 30803	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 11300	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 10196	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 11355	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 10430	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 10572	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6335	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 30805	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 30806	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 6805	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 11293	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 11362	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 10430	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2797	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2795	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139   + caddc 10141   − cmin 10468  ℕcn 11222  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  Fibcicfib 30798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-s2 13802  df-sseq 30786  df-fib 30799

This theorem is referenced by:  fib6  30808