Theorem fib5 34562

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12286	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12228	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 34558	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12230	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11084	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12226	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12285	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11325	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11470	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 34560	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 34561	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7370	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12220	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12291	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11325	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2763	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2761	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  Fibcicfib 34553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-concat 14494  df-s1 14520  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-s2 14771  df-sseq 34541  df-fib 34554

This theorem is referenced by:  fib6  34563