Theorem fib5 34375

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 5. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib5	⊢ (Fibci‘5) = 5

Proof of Theorem fib5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4p1e5 12287	. . 3 ⊢ (4 + 1) = 5
2	1	fveq2i 6829	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = (Fibci‘5)
3		4nn 12229	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
4		fibp1 34371	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ → (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4))
6		4cn 12231	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11086	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		3cn 12227	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3p1e4 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	8, 7, 9	addcomli 11326	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = 4
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11471	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
12	11	fveq2i 6829	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = (Fibci‘3)
13		fib3 34373	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘3) = 2
14	12, 13	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(4 − 1)) = 2
15		fib4 34374	. . . 4 ⊢ (Fibci‘4) = 3
16	14, 15	oveq12i 7365	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(4 − 1)) + (Fibci‘4)) = (2 + 3)
17		2cn 12221	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		3p2e5 12292	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
19	8, 17, 18	addcomli 11326	. . 3 ⊢ (2 + 3) = 5
20	5, 16, 19	3eqtri 2756	. 2 ⊢ (Fibci‘(4 + 1)) = 5
21	2, 20	eqtr3i 2754	1 ⊢ (Fibci‘5) = 5

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11365  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  5c5 12204  Fibcicfib 34366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-s2 14773  df-sseq 34354  df-fib 34367

This theorem is referenced by:  fib6  34376